Ecuaciones logarítmicas (6)

En esta entrada podéis encontrar más ejemplos sobre ecuaciones logarítmicas realizados por varios compañeros. Los autores de los mismos aparecen junto a cada ejercicio. Seguro que os resultan muy útiles.

 Ejemplo #1 | log7(x-2) - log7(x+2) = 1 - log7(2x-7). Pablo Rivero Mohedano. 

Lo primero que vamos a hacer es cambiar el numero uno por un logaritmo (de base 7), y así poder agruparlos todos.

log7 (x-2) - log7 (x+2) = log7 7 - log7 (2x-7)

A continuación, agrupamos cada miembro de la ecuación logarítmica en un único logaritmo de base 7.

log7 [(x-2) / (x+2)] = log7 [ 7 / (2x-7) ]

Al haber un único logaritmo de base 7 en cada miembro, podemos razonar que dos logaritmos que son iguales y poseen la misma base, deben tener el mismo argumento. Así:

(x-2) / (x+2) = (7) / (2x-7)

Multiplicamos en cruz para quitar denominadores:

7·(x+2) = (x-2)·(2x-7)

Aplicamos la propiedad distributiva en ambos miembros:

2x^2 – 7x -4x + 14 = 7x +14

Reducimos la expresión obtenida agrupando y ordenando, obteniendo una ecuación incompleta de 2º grado.

2x^2 -18x = 0 ;

Simplificamos la ecuación polinómica y sacamos factor común:

x^2 – 9x = 0 ;

x·(x- 9) = 0

Obtenemos las siguientes soluciones, x = 0 y x = 9. Si comprobamos en la ecuación inicial, observamos que la solución x = 0 no es válida, mientras que la solución x = 9 es correcta.

 Ejemplo #2 | log x + log (x+3) = 2·log (x+1). María Gómez Marín. 

Colocamos todos los logaritmos en el miembro de la izquierda:

log x + log (x+3) - 2·log (x+1) = 0

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

log [ x·(x+3) / (x+1)^2 ] = 0

Desarrollamos la identidad notable del denominador y aplicamos la definición de logaritmo para transformarlo en potencia:

(x^2 + 3x) / (x^2 + 2x + 1) = 10^0;

(x^2 + 3x) / (x^2 + 2x + 1) = 1;

x^2 + 3x = x^2 + 2x + 1;

3x = 2x + 1

Pasamos todos los términos en "x" al miembro de la izquierda:

3x - 2x = 1

Obtenemos una única solución que es x = 1 y al comprobarla vemos que es correcta.

  Ejemplo #3 | log (x^2 - 4x + 3) = log (3 - 2x). María Gómez Marín. 

Cuando dos logaritmos que poseen la misma base son iguales, necesariamente deben tener el mismo argumento. Tras agrupar y ordenar se logra la siguiente ecuación:

x^2 - 4x + 3 = 3 - 2x;

x^2 -2x = 0;

x·(x-2) = 0

Si el producto de dos números es cero se debe a que uno de ellos es 0, por tanto, conseguimos dos soluciones, x = 0, y x = 2. Al comprobarlas en la ecuación original vemos que x = 0 es la única solución válida, ya que al sustituir por x = 2, los argumentos de ambos logaritmos salen negativos. No existen logaritmos en base positiva de números negativos.