Ecuaciones radicales (2)

Algunas de las ecuaciones radicales que debemos resolver incluyen más de una raíz. El proceso, aunque más largo y con mayor dificultad de cálculo, no presenta grandes diferencias con las ecuaciones radicales vistas en el apartado anterior.

 Ejemplo #1 | sqrt(x-2) + 1 = sqrt(2x+3) - 1 

Para resolver esta ecuación debemos, en primer lugar, aislar una de las dos raíces cuadradas:

sqrt(x-2) = sqrt(2x+3) - 2

A continuación elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad para eliminar la expresión radical de la izquierda. Hay que recordar que el miembro de la derecha es una identidad notable y que, por tanto, debemos desarrollarlo siguiendo alguna de las fórmulas estudiadas en la unidad anterior. Obtenemos que:

x - 2 = (2x+3) + 4 - 2·2·sqrt(2x+3)

La ecuación obtenida es otra ecuación radical, pero que incluye solamente una raíz. Si nos fijamos, se trata de una ecuación radical sencilla que podemos resolver como vimos en otra de las entradas de este blog.

Por lo tanto, debemos agrupar todos los términos y aislar nuevamente la raíz, obteniendo:

4·sqrt(2x+3) = x + 9

Elevamos al cuadrado ambos miembros, de modo que conseguimos una ecuación polinómica de 2º grado:

16·(2x+3) = x^2 + 18x + 81;

x^2 - 14x + 33 = 0

Se logran dos soluciones: x = 11 y x = 3. Tras llevarlas a la ecuación original, vemos que ambas son válidas.

Ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales son aquellas en las que al menos una incógnita aparece en el denominador de una fracción algebraica. Para resolverlas es necesario llevar a cabo una serie de transformaciones que nos permitan obtener finalmente una ecuación polinómica. Como con cualquier otro tipo de ecuación, resulta conveniente poner a prueba nuestras soluciones en la expresión de la ecuación original.

Ejemplo #1| 2/(x+1) + 3x = 4

Para resolver esta ecuación debemos eliminar los denominadores, por lo que arrancamos calculando el mínimo común múltiplo de todos los denominadores: (x+1). Obtenemos entonces la siguiente ecuación:

2/(x+1) + 3x·(x+1)/(x+1) = 4·(x+1)/(x+1)

Tras eliminar los denominadores logramos una ecuación polinómica de 2º grado que podemos resolver por el método que queramos:

2 + 3x^2 + 3x = 4x + 4

Tras pasar todos los términos al miembro de la izquierda y agrupar, se consigue la siguiente ecuación:

3x^2 - x -2 = 0

Obtenemos dos soluciones, x = 1 y x = -2/3. Tras llevar ambas a la ecuación original, vemos que ambas son válidas.

Ecuaciones radicales

Las ecuaciones radicales son aquellas ecuaciones en las que al menos una incógnita aparece en una expresión radical. Para resolverlas es necesario transformarlas en ecuaciones polinómicas. En dicha transformación debemos seguir una serie de pasos muy concretos. Resulta fundamental comprobar los resultados obtenidos en la ecuación original.

 Ejemplo #1 | sqrt(x-1) + 3 = x 

Para resolver esta ecuación debemos, en primer lugar, aislar la raíz cuadrada en la que aparece la incógnita "x":

sqrt(x-1) = x - 3

A continuación elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad para eliminar la expresión radical. Hay que recordar que el miembro de la derecha es una identidad notable y que, por tanto, debemos desarrollar siguiendo alguna de las fórmulas estudiadas en la unidad anterior. Obtenemos que:

x - 1 = x^2 - 6x + 9

La ecuación obtenida es una ecuación polinómica, en concreto de 2º grado, que podemos resolver por cualquiera de los métodos vistos anteriormente (fórmula de la ecuación de 2º grado, tanteo por Cardano-Vietta, regla de Ruffini, etc.). Optamos por enviar todos los términos al miembro de la derecha y agrupar los del mismo grado. Así:

x^2 - 7x + 10 = 0

Se logran dos soluciones: x = 2 y x = 5. Tras llevar ambas a la ecuación original, vemos que solamente x = 5 es válida.