Ejercicios de repaso de la Unidad 1

En el siguiente enlace podréis encontrar una colección de ejercicios de repaso de la Unidad 1.

Ejercicios de Repaso de la Unidad 1

Sistemas de ecuaciones no lineales

Los sistemas de ecuaciones pueden clasificarse en dos grupos bien diferenciados: los sistemas lineales y los no lineales.

Para que un sistema de ecuaciones se considere lineal, los monomios que contienen a las incógnitas deben tener grado 1. Es decir, cada incógnita puede aparecer, a lo sumo, multiplicada por un número o coeficiente, pero nunca elevada a un exponente 2 o superior ni en un producto con otras incógnitas.

Estos sistemas ya se han estudiado en cursos anteriores y pueden resolverse por cualquiera de los métodos vistos entonces: sustitución, igualación, reducción, doble reducción, representación gráfica para localizar la intersección, etc.

Cualquier otro sistema que no cumpla esos requisitos se considera no lineal. A la hora de resolverlos no hay una norma general que nos permita a priori saber qué camino es más ventajoso o nos permite alcanzar la solución más rápidamente.

Mi consejo es intentar resolver por sustitución, echando un vistazo a la forma que poseen las ecuaciones para despejar la incógnita que resulte más fácil. También hay que tener en cuenta que, al sustituir en la otra ecuación, la expresión obtenida no sea excesivamente compleja.

 Ejemplo #1 | x·y = 6 ; x^2 + y^2 = 13 

Este es un sistema de ecuaciones no lineal, ya que en la primera ecuación aparece el producto de las dos incógnitas "x" e "y" y en la segunda ecuación ambas aparecen elevadas al cuadrado.

Para resolverlo hay multitud de opciones. En nuestro caso, vamos a despejar "y" en la primera ecuación para sustituirla en la segunda. Así pues:

 y = 6 / x 

x^2 + (6/x)^2 = 13;

x^2 + 36 / x^2 = 13

Obtenemos una ecuación racional (hay una "x" en un denominador). Sin embargo, haciendo el MCM podemos transformarla en una ecuación polinómica de 4º grado. Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda:

x^4 - 13x^2 + 36 = 0

Vemos que se trata de una ecuación bicuadrada, que podemos resolver aplicando un cambio de variable, t = x^2. Tras ese cambio, la ecuación resultante es de 2º grado en "t":

t^2 - 13t + 36 = 0

Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de 2º grado, obteniendo dos soluciones para la incógnita "t", que son t = 4 y t = 9. Ahora debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = -2 y x = +2
• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = -3 y x = +3

Con esas cuatro soluciones debemos irnos a la expresión resaltada y sustituir para obtener los valores correspondientes de la "y":

• x1 = -2 ; y1 = -3
• x2 = 2 ; y2 = 3
• x3 = -3 ; y3 = -2
• x4 = 3 ; y4 = 2

Como siempre, podemos comprobar esas cuatro parejas de soluciones en el sistema de ecuaciones original.

 Ejemplo #2 | x + y = 7 ; x · y = 10 

Este es un sistema de ecuaciones no lineal, ya que en la segunda ecuación aparece el producto de las dos incógnitas "x" e "y". Vamos a resolverlo despejando "y" en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:

 y = 7 - x 

x·(7 - x) = 10;

Logramos una ecuación de 2º grado. Tras operar y pasar todos los términos a uno de los dos miembros, conseguimos la siguiente ecuación:

x^2 - 7x + 10 = 0

Aplicamos la fórmula de la ecuación de 2º grado, de modo que alcanzamos dos soluciones, x = 2 y x = 5. Las llevamos a la expresión resaltada y obtenemos dos parejas de soluciones:

• x1 = 2 ; y1 = 5
• x2 = 5 ; y1 = 2

Como siempre, podemos comprobar esas cuatro parejas de soluciones en el sistema de ecuaciones original. 

Ecuaciones logarítmicas (2)

Algunas ecuaciones logarítmicas requieren aplicar más de una de las propiedades mencionadas en la entrada anterior de este blog. Aunque el proceso resulte más largo y se compliquen los cálculos, no se diferencia demasiado de otras ecuaciones más sencillas.

 Ejemplo #1 | log3(7x+6) - 2·log3(x) = 1 

En primer lugar, debemos agrupar todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión. Esto incluye el factor 2 que tiene el segundo logaritmo. Para ello aplicaremos aplicaremos las propiedades citadas anteriormente.

log3(7x+6) - log3(x^2) = 1;

 log3[ (7x+6) / x^2 ] = 1

A continuación, vamos a transformar la expresión en una potencia:

(7x+6) / x^2 = 3^1

Tras eliminar denominadores (multiplicamos en cruz), obtenemos una ecuación polinómica de 2º grado:

3x^2 - 7x - 6 = 0

Tras aplicar la fórmula de la ecuación de 2º grado conseguimos dos soluciones, que son x = 3 y x = -2/3. Tras comprobarlas en la ecuación original solamente x = 3 es válida. Para x = -2/3 nos encontramos con que la segunda expresión logarítmica no se puede calcular, ya que no existe el logaritmo (en base positiva) de un número negativo.

 Ejemplo #2 | log3(5x^2+7) - 2·log3(x+1) = 1 

En primer lugar, debemos agrupar todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión. Esto incluye el factor 2 que tiene el segundo logaritmo. Para ello aplicaremos aplicaremos las propiedades citadas anteriormente.

log3(5x^2+7) - log3[(x+1)^2)] = 1;

 log3[ (5x^2+7) / (x^2+2x+1) ] = 1

A continuación, vamos a transformar la expresión en una potencia:

(5x^2+7) / (x^2+2x+1) = 3^1

Tras eliminar denominadores (multiplicamos en cruz), obtenemos una ecuación polinómica de 2º grado:

5x^2 + 7 = 3x^2 + 6x + 3;
2x^2 - 6x + 4 = 0;
x^2 - 3x + 2 = 0

Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de 2º grado y conseguimos dos soluciones, que son x = 1 y x = 2. Tras comprobarlas en la ecuación original, ambas son válidas.