Ecuaciones logarítmicas (2)

Algunas ecuaciones logarítmicas requieren aplicar más de una de las propiedades mencionadas en la entrada anterior de este blog. Aunque el proceso resulte más largo y se compliquen los cálculos, no se diferencia demasiado de otras ecuaciones más sencillas.

 Ejemplo #1 | log3(7x+6) - 2·log3(x) = 1 

En primer lugar, debemos agrupar todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión. Esto incluye el factor 2 que tiene el segundo logaritmo. Para ello aplicaremos aplicaremos las propiedades citadas anteriormente.

log3(7x+6) - log3(x^2) = 1;

 log3[ (7x+6) / x^2 ] = 1

A continuación, vamos a transformar la expresión en una potencia:

(7x+6) / x^2 = 3^1

Tras eliminar denominadores (multiplicamos en cruz), obtenemos una ecuación polinómica de 2º grado:

3x^2 - 7x - 6 = 0

Tras aplicar la fórmula de la ecuación de 2º grado conseguimos dos soluciones, que son x = 3 y x = -2/3. Tras comprobarlas en la ecuación original solamente x = 3 es válida. Para x = -2/3 nos encontramos con que la segunda expresión logarítmica no se puede calcular, ya que no existe el logaritmo (en base positiva) de un número negativo.

 Ejemplo #2 | log3(5x^2+7) - 2·log3(x+1) = 1 

En primer lugar, debemos agrupar todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión. Esto incluye el factor 2 que tiene el segundo logaritmo. Para ello aplicaremos aplicaremos las propiedades citadas anteriormente.

log3(5x^2+7) - log3[(x+1)^2)] = 1;

 log3[ (5x^2+7) / (x^2+2x+1) ] = 1

A continuación, vamos a transformar la expresión en una potencia:

(5x^2+7) / (x^2+2x+1) = 3^1

Tras eliminar denominadores (multiplicamos en cruz), obtenemos una ecuación polinómica de 2º grado:

5x^2 + 7 = 3x^2 + 6x + 3;
2x^2 - 6x + 4 = 0;
x^2 - 3x + 2 = 0

Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de 2º grado y conseguimos dos soluciones, que son x = 1 y x = 2. Tras comprobarlas en la ecuación original, ambas son válidas.