Sistemas de inecuaciones (5). Dos variables.

 Ejemplo #1 | 4x-y < 1 ; 2x+3y > 2. Marta Pérez Puentes. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• 4x-y = 1 →  y = 4x-1  → Puntos  A(1, 3) y B(0, -1) 
• 2x+3y = 2 →  y = (2-2x) / 3  → Puntos  C(1, 0) y D(-2, 2) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = 4x - 1 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Habrá una región válida, que cumple la condición 4x - y < 1  y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 4x - y < 1. El punto O(0, 0) se encuentra por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 4·0-0 < 1, por lo que sí cumple la inecuación y forma parte de la región válida.
3. Tomamos el punto Q(0, -2) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-2, vemos que 4·0-(-2) > 1, por lo que no verifica la inecuación y debemos tachar este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = (2-2x) / 3 ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 2x+3y > 2 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 2x+3y > 2. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 2·0+3·0 < 2, por lo que no cumple la inecuación y debemos tachar este semiplano.
3. Tomamos el punto S(0, 2), que está por encima. Al sustituir x=0 e y=2, 2·0+3·2 > 2, por lo que verifica la inecuación y esta es la región válida.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

 Ejemplo #2 | x-2y < -1 ; 3x+y < 3. Marta Pérez Puentes y Pablo Rivero Mohedano. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• x - 2y = -1 →  y = (x+1) / 2  → Puntos  A(1, 1) y B(3, 2) 
• 3x + y = 3 →  y = 3-3x  → Puntos  C(1, 0) y D(0, 3) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = (x+1)/2 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Al igual que en las inecuaciones polinómicas de primer grado, habrá una región válida, que cumple la condición x -2y < -1 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión x -2y < -1. El punto Q(1, 2) se encuentra a la izquierda y por encima de la recta azul. Al sustituir x=1 e y=2 vemos que 1-2·2 < -1. Como verifica la inecuación, esta es la región válida.
3. Tomamos el punto Q(1, -2) se encuentra a la derecha y por debajo de la recta azul. Al sustituir x=1 e y=-2 vemos que 1-2·(-2) > -1. Como no verifica la inecuación, tachamos este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 3-3x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 3x + y < 3 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 3x + y < 3. El punto R(-3, 2) se encuentra a la izquierda de la recta roja. Al sustituir x=-3 e y=2, vemos que 3·(-3)+2 < 3, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(3, 2). Al sustituir x=3 e y=2, 3·3+2 < 3, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

Inecuaciones racionales (4)

Aquí disponéis de una nueva serie de ejemplos aportados por nuestros compañeros. Seguro que os ayudan a comprender mejor cómo resolver este tipo de inecuaciones.

 Ejemplo #1 | (x^2-x+1) / (2-x) ≥ 1. Clara Vélez Martínez. 

Primero tenemos que dejar en unos de los miembros 0, para ello pasamos el 1 al primer miembro y realizamos el mcm de los denominadores dejando una sola fracción:

[(x^2 -x + 1) / (2 - x)] -1 ≥ 0;
[ (x^2 -x + 1) - (2 - x) ] / (2 - x) ≥ 0;
 (x^2 - 1) / (2 - x) ≥ 0 

A continuación factorizamos por separado el numerador (identidad notable) y el denominador:

• Numerador: x^2-1 = 0 →  x = 1 ,  x = -1  →  (x + 1)·(x - 1) 
• Denominador: 2-x = 0 →  x = 2 * →  -1·(x - 2) 

Obtenidos los valores de "x" hacemos la representación gráfica en una tabla:

Si miramos la inecuación vemos que el resultado tiene que ser mayor o igual que 0 (positivo). La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-∞, -1] U [1, 2)
• Comprobar en Google:  y = (x^2-1) / (2-x)   

 Ejemplo #2 | 3 / (2 - x) ≤ 1 / (x - 4). Clara Vélez Martínez. 

Pasamos la segunda fracción al primer miembro para dejar 0 en el de la derecha, después reducimos el primer miembro a una sola fracción haciendo MCM:

3 / (2 - x) - 1 / (x - 4) ≤ 0;
[ 3(x-4( - (2-x) ] / ((2-x)·(x-4) ≤ 0;

 (4x - 14) / [(2-x)·(x-4)] ≤ 0   o  (4x-14) / (-x^2+6x-8) ≤ 0 

Factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: 4x - 14 = 0 →  x = 7/2  →  4·(x + 7/2) o (4x-14) 
• Denominador: (2-x)·(x-4) →  x = 4 *,  x = 2 * →  (x-4)·(2-x) 

Con los valores de "x" que hemos obtenido hacemos la representación gráfica en una tabla:

Al observar la inecuación vemos que el resultado tiene que ser menor o igual que cero (negativo). La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (2, 7/2] U (4, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (4x-14) / (-x^2+6x-8) 

Inecuaciones racionales (2)

En la entrada anterior hemos resuelto un ejemplo muy sencillo. Lo habitual es encontrarse con expresiones más complicadas. Vamos a analizar ejemplos mas difíciles.

 Ejemplo #1 | (x-1) / (x^2+5x+6) ≥ 0. 

En primer lugar, siempre debemos dejar cero en uno de los dos miembros de la desigualdad. En este caso, no es necesario, ya que nuestra inecuación cumple ese requisito. Ahora factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: x - 1 = 0 →  x = 1  →  (x-1) 
• Denominador: x^2+5x+6 = 0 →  x = -3 *,  x = -2 * →  (x+3)·(x+2) 

Marcamos los valores que anulan el denominador con un asterisco, ya que "x" no puede tomar dichos valores. A partir de esos tres valores elaboraremos una tabla como se muestra a continuación:

A la vista de los datos de la tabla y dado que debemos tomar por válidos aquellos intervalos cuyo resultado sea positivo, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-3, -2) U [1, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (x-1) / (x^2+5x+6) 

 Ejemplo #2 | (3x - 1) / (x^2 - 4) < 0. Milagros Ruiz de Maio (Mili). 

Vamos a factorizar por separado el numerador y el denominador. El denominador es un producto notable, lo desarrollamos y queda (x - 2)(x + 2). Sabiendo esto podemos deducir que los valores para "x" son 2 y -2.

• Numerador: 3x - 1 = 0 →  x = 1/3   →  3·(x-1/3) o (3x-1) 
• Denominador: x^2 - 4 →  x = -2 *,  x = 2 * →  (x + 2)·(x - 2) 

Una vez que tenemos los valores de "x" hacemos la representación gráfica en una tabla:

Miramos la desigualdad que indica que el valor debe ser menor que 0, es decir, negativo. La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-∞, -2) U (1/3, 2)
• Comprobar en Google:  y = (3x - 1) / (x^2 - 4) 

Atención al momento de poner paréntesis o corchetes. En el caso de esta inecuación sí o sí se usa paréntesis porque el signo de desigualdad es sólo <. Si fuera también =, los valores de la x que salen adecuados para el denominador no se podrían poner con corchete porque anularían la desigualdad.

Inecuaciones (8)

En esta serie de entradas se irán añadiendo los ejemplos resueltos sobre inecuaciones que envíen nuestros compañeros. Para reconocer su esfuerzo, incluiremos su nombre junto al enunciado y su colaboración será tenida en cuenta a la hora de evaluar.

De ahora en adelante, todas las entradas del blog que contengan cualquier contenido aportado por los alumnos irán identificadas a través de la etiqueta Colabora.

 Ejemplo #1 | x^3 - 6x^2 + 12x - 8 ≤ 0. Milagros Ruiz de Maio. 

Se comienza convirtiendo a ecuación:

x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0

Al no poder reducir ni sacando factor común, se busca por el método de Ruffini:

| 1 -6 12 -8  2 |    2 -8  8  x=2    | 1 -4  4  0   2 |    2 -4     x=2                       | 1 -2  0   2 |    2        x=2      1  0

Haciendo Ruffini se llega a la conclusión de que x = 2 es solución triple. Observando el signo de la desigualdad inicial vemos que lo que necesitamos son números negativos, que son menores que 0, o el mismo 0.

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, 2]
• Comprobar en Google:  y = x^3 - 6x^2 + 12x - 8  

 Ejemplo #2 | x^4 - x^2 - 6 > 0. Cristina Esparza. 

Convertimos nuestra inecuación en una ecuación:

x^4 - x^2 - 6 = 0

Al ser una ecuación bicuadrada, hay que hacer un cambio de variable, es decir sustituir el x^2 por t. Así la ecuación queda:

t^2 - t - 6 = 0

Al ser una simple ecuación de segundo grado, utilizamos la fórmula general, de la cual obtenemos dos soluciones, t = 3 y t =-2. Para conseguir las soluciones en "x", debemos deshacer el cambio (tomar la raíz cuadrada de esas soluciones). Se obtienen dos soluciones, x = sqrt(3) y x = -sqrt(3), ya que la raíz cuadrada de -2, no tiene solución. Las llevamos a la recta real y al haber dos soluciones para x, marcamos dos cortes en la recta y obtenemos dos trozos. Al ser sqrt(3) = 1'73 tomamos un valor al azar de cada intervalo. Como la expresión tienen que ser mayor o igual que 0, la solucion será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, -√3) U (√3, +∞)
• Comprobar en Google:  y = x^4 - x^2 - 6