Intervalos, entornos y semirrectas (3)

En la entrada anterior abordamos el problema de la unión e intersección de intervalos considerados como conjuntos de números reales.

En esta entrada vamos a resolver varios ejemplos en los que, empleando otras palabras, se nos pide obtener la unión y/o intersección de varios intervalos, con la dificultad añadida de hacerlo con tres o más intervalos distintos.

Para seguir el método más sencillo, como indicamos antes, comenzaremos representando sobre la recta real cada uno de los intervalos (intentando usar la misma escala en cada una de las rectas). Posteriormente, según debamos obtener la unión, la intersección o ambas, expresaremos la solución gráficamente, mediante desigualdades o usando paréntesis y corchetes.

 Ejemplo #1 | Halla los números que se encuentran simultáneamente en los intervalos E(1, 4), x > -6 y (-5, 2]. 

Cada intervalo aparece expresado de manera distinta. Comenzamos representando cada uno de ellos sobre la recta real:

En el enunciado se nos pide en realidad que obtengamos la intersección de esos tres intervalos, ya que precisamente la intersección es el conjunto de números que se encuentran simultáneamente en los tres intervalos.

El único grupo de números que está marcado en los tres casos es el siguiente:

Si queremos expresarlo de forma alternativa:

• Paréntesis y corchetes: (-3, 2]
• Desigualdad: -3 < x ≤ 2

Intervalos, entornos y semirrectas (2)

Cuando comencemos la próxima unidad de nuestra programación, la unidad 4, haremos uso de los intervalos para expresar adecuadamente las soluciones de inecuaciones. Esto se debe a que, a diferencia de las ecuaciones (cuyas soluciones son una cantidad finita de valores reales), las soluciones de las inecuaciones son conjuntos que contienen una cantidad infinita de números reales.

La unión y la intersección de intervalos.

Al igual que con cualquier otro tipo de conjuntos, sea cual sea la naturaleza de los elementos que los componen, podemos calcular la unión y la intersección de dos o más conjuntos de números reales.

La unión de dos conjuntos A y B, expresada como A ∪ B, es un nuevo conjunto de números formado por los elementos que se encuentran en alguno de ellos o simultáneamente en ambos. Por tanto, cuando realicemos la unión de dos intervalos, el intervalo resultante incluye tanto a los que están incluidos en A como a los que están incluidos en B. Podemos aplicar esta definición a tres o más conjuntos.

La intersección de dos conjuntos A y B, expresada como A ∩ B, es un nuevo conjunto de números formado únicamente por los elementos que se encuentran simultáneamente en ambos conjuntos. Por tanto, cuando realicemos la intersección de dos intervalos, el intervalo resultante incluye solamente a los números que se hallan al mismo tiempo tanto en A como en B. Podemos aplicar esta definición a tres o más conjuntos.

 Ejemplo #1 | Halla la unión y la intersección de los intervalos [-1, 5) y (-3, 4). 

La manera más sencilla de hallar la unión y la intersección de dos o más intervalos es representarlos sobre la recta real.

Una vez representados, para obtener la unión debemos tomar todos los valores que se encuentran en el primer o en el segundo intervalo. Para conseguir la intersección, se tomarán únicamente los valores que se hallan tanto en el primer como en el segundo intervalos. Así pues:

• Unión:

• Intersección:

 Ejemplo #2 | Halla la unión y la intersección de los intervalos [-2, 7) y (1, 8]. 

Al igual que en el ejemplo anterior, representamos los intervalos sobre la recta real.

Una vez representados, para obtener la unión debemos tomar todos los valores que se encuentran en el primer o en el segundo intervalo. Para conseguir la intersección, se tomarán únicamente los valores que se hallan tanto en el primer como en el segundo intervalos. Así pues:

• Unión:

• Intersección:

Intervalos, entornos y semirrectas

Las legiones romanas al final de cada jornada, incluso aunque no fueran a establecerse de forma permanente en un lugar, levantaban un complejo sistema de fortificaciones, que desmantelaban en el momento de reiniciar la marcha. Alrededor del campamento creaban un foso en V de 4m de anchura y 3m de profundidad, y junto a él construían una empalizada de madera (de mayor o menor altura según la percepción de peligro que estos tuvieran de sus enemigos). Para mantener alejadas de posibles proyectiles las tiendas en las que descansaban los legionarios, se dejaba vacía una zona amplia de terreno, que además les permitiría formar las tropas antes de enfrentarse al enemigo en campo abierto.

Precisamente, la palabra intervalo procede del término latino intervallum, que significa "espacio entre vallas", refiriéndose a esa zona de nadie entre la empalizada y las tiendas. Para nosotros, en Matemáticas, un intervalo es un subconjunto de números de números reales que se encuentran comprendidos entre dos valores dados, llamados extremos del intervalo.

Existen diferentes maneras de expresar un intervalo en Matemáticas, y en esta entrada del blog repasaremos algunas ideas que ya fueron tratadas en la unidad 1: la representación sobre la recta real, el uso de paréntesis y corchetes, las desigualdades, etc.

Recta de los números reales.

 Intervalos abiertos y cerrados.

Se dice que un intervalo es abierto en uno de sus extremos si dicho extremo no está incluido en el intervalo dado. Por contra, se dice que está cerrado si el extremo sí está incluido.

• Abiertos: (  ), <   >, o (punto vacío)
• Cerrados: [  ], ≤   ≥, ● (punto relleno)

Semirrectas.

En algunos casos, uno de los extremos de nuestro intervalo será +∞ o -∞. Esto quiere decir que nuestro intervalo no tiene fin por uno de los dos extremos.

Entornos.

Un entorno es un conjunto de números que se encuentra en torno a otro llamado centro (c) y a una distancia menor (o menor o igual) que otro valor llamado radio (r). A la hora de expresarlos hay dos opciones:

• Entorno abierto: E(c, r) o | x - c | <  r
• Entorno cerrado: E[c, r] o | x - c | ≤  r

 Ejemplo #1 | Expresa de varias maneras el intervalo (1, 5]. 

El intervalo ya aparece expresado mediante paréntesis y corchetes. Por tanto solo nos falta hacerlo gráficamente y en forma de desigualdad.

• Gráficamente:

 

• Desigualdad: 1 <  x  ≤  5

 Ejemplo #2 | Expresa de varias maneras el intervalo -2 ≤ x < 7.  

El intervalo ya aparece expresado en forma de desigualdad. Por tanto solo nos falta hacerlo gráficamente y usando paréntesis y corchetes.

• Gráficamente:

 

• Paréntesis y corchetes: [ -2, 7 )

 Ejemplo #3 | Expresa de varias maneras el intervalo cuya representación sobre la recta real es: 

Nuestro intervalo se trata de una semirrecta, ya que hacia -∞ se prolonga indefinidamente. Las otras formas que tenemos de expresarlo son:

• Paréntesis y corchetes: ( -∞, 4 ]
• Desigualdad: x ≤ 4

 Ejemplo #4 | Expresa de varias maneras el entorno | x - 2 | <  3.  

La forma más sencilla, según mi opinión, de expresar un entorno comienza representándolo gráficamente sobre la recta real. Un vez conseguido esto, resultará muy fácil expresarlo de otros modos.

Para empezar, identificamos el centro del intervalo, +2 (cambiamos el signo al número que acompaña a la "x" en el valor absoluto), y el radio, 3.

• Gráficamente:

• Paréntesis y corchetes: ( -1, 5 )
• Desigualdad: -1 < x < 5