Idea para los vídeos del MOOC

Hola a todos. Aquí os dejo el enlace al vídeo de nuestro compañero Juan Garrido. Está genial y seguro que os sirve como idea para la elaboración de los vídeos sobre ejemplos de inecuaciones que incluiremos en el MOOC.

https://www.youtube.com/watch?v=oEZkoVMdGbU&feature=autoshare

Inecuaciones racionales (4)

Aquí disponéis de una nueva serie de ejemplos aportados por nuestros compañeros. Seguro que os ayudan a comprender mejor cómo resolver este tipo de inecuaciones.

 Ejemplo #1 | (x^2-x+1) / (2-x) ≥ 1. Clara Vélez Martínez. 

Primero tenemos que dejar en unos de los miembros 0, para ello pasamos el 1 al primer miembro y realizamos el mcm de los denominadores dejando una sola fracción:

[(x^2 -x + 1) / (2 - x)] -1 ≥ 0;
[ (x^2 -x + 1) - (2 - x) ] / (2 - x) ≥ 0;
 (x^2 - 1) / (2 - x) ≥ 0 

A continuación factorizamos por separado el numerador (identidad notable) y el denominador:

• Numerador: x^2-1 = 0 →  x = 1 ,  x = -1  →  (x + 1)·(x - 1) 
• Denominador: 2-x = 0 →  x = 2 * →  -1·(x - 2) 

Obtenidos los valores de "x" hacemos la representación gráfica en una tabla:

Si miramos la inecuación vemos que el resultado tiene que ser mayor o igual que 0 (positivo). La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-∞, -1] U [1, 2)
• Comprobar en Google:  y = (x^2-1) / (2-x)   

 Ejemplo #2 | 3 / (2 - x) ≤ 1 / (x - 4). Clara Vélez Martínez. 

Pasamos la segunda fracción al primer miembro para dejar 0 en el de la derecha, después reducimos el primer miembro a una sola fracción haciendo MCM:

3 / (2 - x) - 1 / (x - 4) ≤ 0;
[ 3(x-4( - (2-x) ] / ((2-x)·(x-4) ≤ 0;

 (4x - 14) / [(2-x)·(x-4)] ≤ 0   o  (4x-14) / (-x^2+6x-8) ≤ 0 

Factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: 4x - 14 = 0 →  x = 7/2  →  4·(x + 7/2) o (4x-14) 
• Denominador: (2-x)·(x-4) →  x = 4 *,  x = 2 * →  (x-4)·(2-x) 

Con los valores de "x" que hemos obtenido hacemos la representación gráfica en una tabla:

Al observar la inecuación vemos que el resultado tiene que ser menor o igual que cero (negativo). La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (2, 7/2] U (4, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (4x-14) / (-x^2+6x-8) 

Inecuaciones racionales (3)

Seguimos presentando ejemplos resueltos para profundizar en el problema de las inecuaciones racionales. Cada vez serán casos más complejos.

 Ejemplo #1 | (2x-1) / (x^2+4) ≥ 0. 

En primer lugar, siempre debemos dejar cero en uno de los dos miembros de la desigualdad. En este caso, no es necesario, ya que nuestra inecuación cumple ese requisito. Ahora factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: 2x - 1 = 0 →  x = 1/2  →   2·(x-1/2) o (2x-1) 
• Denominador: x^2+4 = 0 → No tiene solución → El polinomio es irreducible

Hay que comentar varios detalles. El polinomio del numerador no tiene coeficiente principal 1, por lo que podemos hacer dos cosas: factorizarlo como 2·(x-1/2) o, simplemente, expresarlo como (2x-1).

Por otra parte, el polinomio del denominador no tiene raíces reales, es decir, al intentar resolver x^2+4 = 0, la ecuación no tiene solución. Esto tiene dos consecuencias de cara a aplicar nuestro método. La primera es que no logramos ningún valor que haga cero el denominador y solo marcaremos los ceros del numerador. La segunda es que habrá que incluir en la tabla x^2+4 como factor, ya que no podemos descomponerlo.

En base al razonamiento anterior, elaboraremos la siguiente tabla:

A la vista de los datos de la tabla y dado que debemos tomar por válidos aquellos intervalos cuyo resultado sea positivo, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ [1/2, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (2x-1) / (x^2+4) 

 Ejemplo #2 | (x^2-7x+6) / (3-x) < 0. 

Vamos a factorizar por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: x^2-7x+6 = 0 →  x = 1 ,  x = 6  →  (x - 1)·(x - 6) 
• Denominador: 3 - x = 0 →  x = 3 * →  -1·(x -3) o (3-x) 

Al factorizar el polinomio del denominador nos damos cuenta de que su coeficiente principal no es 1, sino -1, y debemos indicarlo de algún modo. Hay dos opciones, poner -1 y (x-3) por separado o expresarlos directamente como (3-x).

Una vez que tenemos los tres valores de "x" que anulan esos polinomios, hacemos el análisis del signo en una tabla:

Miramos la desigualdad que indica que el valor debe ser menor que 0, es decir, negativo. La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (1, 3) U (6, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (x^2-7x+6) / (3 - x) 

Inecuaciones racionales (2)

En la entrada anterior hemos resuelto un ejemplo muy sencillo. Lo habitual es encontrarse con expresiones más complicadas. Vamos a analizar ejemplos mas difíciles.

 Ejemplo #1 | (x-1) / (x^2+5x+6) ≥ 0. 

En primer lugar, siempre debemos dejar cero en uno de los dos miembros de la desigualdad. En este caso, no es necesario, ya que nuestra inecuación cumple ese requisito. Ahora factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: x - 1 = 0 →  x = 1  →  (x-1) 
• Denominador: x^2+5x+6 = 0 →  x = -3 *,  x = -2 * →  (x+3)·(x+2) 

Marcamos los valores que anulan el denominador con un asterisco, ya que "x" no puede tomar dichos valores. A partir de esos tres valores elaboraremos una tabla como se muestra a continuación:

A la vista de los datos de la tabla y dado que debemos tomar por válidos aquellos intervalos cuyo resultado sea positivo, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-3, -2) U [1, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (x-1) / (x^2+5x+6) 

 Ejemplo #2 | (3x - 1) / (x^2 - 4) < 0. Milagros Ruiz de Maio (Mili). 

Vamos a factorizar por separado el numerador y el denominador. El denominador es un producto notable, lo desarrollamos y queda (x - 2)(x + 2). Sabiendo esto podemos deducir que los valores para "x" son 2 y -2.

• Numerador: 3x - 1 = 0 →  x = 1/3   →  3·(x-1/3) o (3x-1) 
• Denominador: x^2 - 4 →  x = -2 *,  x = 2 * →  (x + 2)·(x - 2) 

Una vez que tenemos los valores de "x" hacemos la representación gráfica en una tabla:

Miramos la desigualdad que indica que el valor debe ser menor que 0, es decir, negativo. La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-∞, -2) U (1/3, 2)
• Comprobar en Google:  y = (3x - 1) / (x^2 - 4) 

Atención al momento de poner paréntesis o corchetes. En el caso de esta inecuación sí o sí se usa paréntesis porque el signo de desigualdad es sólo <. Si fuera también =, los valores de la x que salen adecuados para el denominador no se podrían poner con corchete porque anularían la desigualdad.

Inecuaciones racionales

Hasta el momento, todas las inecuaciones que hemos analizado en las entradas previas solamente incluían expresiones polinómicas. Disponemos de varios métodos para resolverlas, de modo que podemos elegir en cada situación cuál de esos métodos nos resulta más adecuado, rápido o sencillo.

Sin embargo, algunas inecuaciones contienen expresiones racionales, esto es, poseen fracciones algebraicas en cuyo denominador se encuentra la variable "x". El hecho de que aparezca "x" en el denominador resulta muy importante cuando estudiamos el signo que toma una expresión dada, ya que los resultados dependen tanto del numerador como del denominador.

Cuando estudiemos este tipo de expresiones emplearemos métodos distintos a los anteriores. La mayor complejidad de las expresiones y la gran cantidad de cálculos que debemos efectuar para conseguir los resultados hacen necesario descomponer los polinomios de numeradores y denominadores, y para ello utilizaremos una técnica de factorización.

Es fundamental tener la destreza necesaria para poder factorizar cualquier polinomio, por complicada que resulte su expresión (coeficiente principal distinto a 1, polinomios irreducibles, soluciones no enteras, etc.).

Al margen de las cuestiones descritas antes, vamos a reemplazar la representación mediante la recta real por una tabla de valores más completa, debido a que tendremos que analizar el signo de cada uno de los factores en que se descomponen numerador y denominador.

A lo largo de los siguientes ejemplos, intentaremos aclarar todas las dudas que pueden surgir cuando nos enfrentamos a una inecuación racional.

 Ejemplo #1 | (x+1) / (x-4) ≥ 0. 

En primer lugar, siempre debemos dejar cero en uno de los dos miembros de la desigualdad. En este caso, no es necesario, ya que nuestra inecuación cumple ese requisito. Ahora factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: x + 1 = 0 →  x = -1 
• Denominador: x - 4 = 0 →  x = 4 *

Marcamos los valores que anulan el denominador con un asterisco, ya que "x" no puede tomar dichos valores. En Matemáticas está terminantemente prohibido dividir por cero. Por lo tanto, cuando haya la posibilidad de incluir el valor x = 4 en la solución de nuestra inecuación, deberemos desecharla. En los ceros del denominador siempre tendremos un extremo abierto de intervalo (punto vacío, paréntesis). A partir de esos dos valores elaboraremos una tabla como se muestra a continuación:

A la vista de los datos de la tabla y dado que debemos tomar por válidos aquellos intervalos cuyo resultado sea positivo, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, -1] U (4, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (x+1) / (x-4)