Ecuaciones polinómicas (3)

Estos son más ejemplos aportados por nuestros compañeros sobre ecuaciones polinómicas. Se trata de dos ecuaciones bicuadradas.

 Ejemplo #1 | x^4 - 13x^2 + 36 = 0. María Campos Gómez. 

En primer lugar debemos fijarnos en el grado de la ecuación, en este caso es de grado 4. Como es una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x^2; t^2 = x^4. Así conseguimos una ecuación de 2º grado en "t":

t^2 - 13t + 36 = 0

Ahora realizamos la ecuación de segundo grado mediante su fórmula. Obtenemos dos soluciones, t = 9 y t = 4 . Debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = ±3
• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = ±2

Obtenemos cuatro soluciones reales para una ecuación de 4º grado, que son x = 2, x = -2, x = 3, x = -3.

 Ejemplo #2 | x^4 - 5x^2 - 36 = 0. María Campos Gómez. 

Se trata de otra ecuación bicuadrada. Resolvemos por el mismo método del ejemplo anterior. Hacemos el cambio de variable t = x^2:

t^2 - 5t - 36 = 0

Ahora realizamos la ecuación de segundo grado mediante su fórmula. Obtenemos dos soluciones, t = 9 y t = -4. Debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = ±3
• Si t = -4 ==> x = sqrt(-4) ==> No tiene solución.

Obtenemos dos soluciones reales para una ecuación de 4º grado, que son x = 3 y x = -3. Las otras dos soluciones son no reales (NR).

 Ejemplo #3 | 3x^4 - 15x^2 + 36 = 0. María Ángeles Castro Luque. 

Se trata de otra ecuación bicuadrada. En primer lugar simplificamos la ecuación por 3 para conseguir coeficientes más sencillos. Resolvemos por el mismo método del ejemplo anterior. Hacemos el cambio de variable t = x^2:

x^4 - 5x^2 + 12 =0;
t^2 - 5t + 4 = 0

La ecuación obtenida puede ser resuelta mediante la fórmula de la ecuación de 2º grado. Alcanzamos dos soluciones, t = 4 y t = 1. Para encontrar la solución en "x" es necesario deshacer el cambio de variable:

• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = ±2
• Si t = 1 ==> x = sqrt(1) ==> x = ±1

Obtenemos las cuatro soluciones reales: x = 2, x = -2, x = 1, x = -1.

Ecuaciones polinómicas (2)

Estos son varios ejemplos sobre ecuaciones polinómicas enviados por varios de nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | x^2 - 9x + 18 = 0. Ana López Pérez. 

En primer lugar nos basamos en la fórmula de las ecuaciones de 2º grado:

x = [ -b ± sqrt( b^2 - 4·a·c) ] / (2·a)

A continuación sustituimos los coeficientes a = 1, b = -9 y c = 18. Nos dan dos resultados, x = 6 y x = 3. Antes de dar por terminada la operación comprobamos los resultados con la ecuación original para verificar qué soluciones son correctas. En este caso, ambas lo son.

 Ejemplo #2 | 3x^4 - 15x^2 + 12 = 0. Ana López Pérez. 

Se trata de una ecuación bicuadrada. En primer lugar debemos saber que resolveremos mediante un cambio de variable, es decir, t = x^2.Por lo que tendríamos que:

3t^2 - 15t + 12 = 0

Como observamos se ha convertido en una ecuación de 2º grado, por lo que aplicamos su fórmula. Al acabar tenemos dos resultados t = 4 y t = 1, como el ejercicio nos pide "x" y tenemos "t", cambiamos la variable, sabiendo que t = sqrt(x).

Conseguimos cuatro soluciones distintas: x = +2, x = -2, x = +1, x = -1.

Para terminar llevamos esos resultados a la ecuación original para comprobar que son correctos. En este caso, todos son válidos.

Ejercicios de repaso de la Unidad 2

En el siguiente enlace podréis encontrar una colección de ejercicios de repaso de la Unidad 2.

Ejercicios de Repaso de la Unidad 2

Ecuaciones polinómicas

Las ecuaciones polinómicas son aquellas en las que a ambos lados del signo igual solamente aparecen expresiones polinómicas, sean del grado que sean. El grado de la ecuación vendrá marcado por el monomio de mayor grado.

A la hora de resolverlas podemos usar distintos métodos (fórmula de la ecuación de 2º grado, regla de Ruffini, sacar factor común, identidades notables, cambio de variable, etc.). El método a elegir dependerá del tipo y la dificultad de la ecuación, aunque en muchos casos se podrá o deberá emplear más de un método diferente. 

Ejemplo#1 | x^3 - 4x = 0.

Para resolver esta ecuación de 3er grado deberíamos aplicar la regla de Ruffini. Sin embargo, al no tener término independiente, debemos sacar factor común:

x·(x^2 - 4) = 0

Por tanto, para que ese producto dé cero, debe ser cero alguno de los dos factores que lo componen:

x = 0;

x^2 - 4 = 0;

La primera expresión directamente nos dice que x = 0 debe ser solución de nuestra ecuación. En la segunda, nos aparece una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"). Tras resolverla, se obtienen dos soluciones: x = -2 y x = +2.Tras comprobar las tres soluciones en la ecuación original, vemos que son válidas.

Ejemplo#2 | x^4 - 6x^2 + 5 = 0.

Para resolver esta ecuación de 4º grado podríamos aplicar la regla de Ruffini, ya que posee término independiente. Los posibles divisores de dicho término son únicamente 1 y 5 (tomando ambos signos, + y -).

Sin embargo, la ecuación anterior pertenece a un grupo de ecuaciones conocidas como ecuaciones bicuadradas, ya que el exponente de mayor grado es el doble del menor. Para resolverlas se aplica un método llamado cambio de variable, que consiste en introducir una nueva incógnita que reemplace a la potencia de menor grado. En nuestro caso, el cambio será t = x^2. Así la ecuación queda:

t^2 - 6t + 5 = 0

Al aplicar la fórmula de la ecuación de 2º grado obtenemos dos soluciones: t = 5 y t = 1. No obstante, esas soluciones no son las soluciones de la ecuación original, planteada con la variable "x".

Para finalizar cualquier ecuación donde se haya aplicado un cambio de variable es necesario deshacer el cambio y volver a la incógnita inicial. Debido a esto, al final de este tipo de ecuaciones razonaremos lo siguiente: si t = x^2, entonces x = sqrt(t)

• si t = 1 -> x = sqrt(1) -> x = -1 y x = +1
• si t = 5 -> x = sqrt(5) -> x = -sqrt(5) y x = +sqrt(5)

Hemos obtenido las cuatro soluciones de una ecuación de 4º grado. Resulta interesante comentar que por el método de Ruffini solamente habríamos encontrado las soluciones +1 y -1. Las otras dos soluciones sólo podríamos haberlas logrado haciendo la ecuación de 2º grado obtenida tras dividir por Ruffini.