Ecuaciones racionales (2)

La principal dificultad a la hora de eliminar los denominadores de una ecuación racional se encuentra en la obtención de su mínimo común múltiplo (MCM). A esto hay que añadir otro inconveniente, ya que las expresiones polinómicas de dichos denominadores pueden no estar factorizadas. En los siguientes ejemplos intentaremos aclarar algunos casos que suelen entrañar cierta dificultad.

Ejemplo #1| 3/(x^2+4x+4) - 6/(x^2-4) = 5/(x+2)

En primer lugar, debemos descomponer factorialmente todos los denominadores:

El MCM será (x+2)^2·(x-2), por lo que podemos reducir a común denominador:

Tras eliminar los denominadores logramos una ecuación polinómica de 2º grado que podemos resolver por el método que queramos:

3x - 6 - 6x -12 = 5x^2 - 20

Tras pasar todos los términos al miembro de la derecha y agrupar, se consigue la siguiente ecuación:

5x^2 + 3x - 2 = 0

Obtenemos dos soluciones, x = -1 y x = 2/5. Tras llevar ambas a la ecuación original, vemos que ambas son válidas.

Ejemplo #2| (x+6)/(x^2+x-2) + 4/(x+2) - 1/(x-1) = 2

En primer lugar, debemos descomponer factorialmente todos los denominadores:

El MCM será (x+2)·(x-1), por lo que podemos reducir a común denominador:

Tras eliminar los denominadores logramos una ecuación polinómica de 2º grado:

x + 6 + 4x - 4 - x^2 - x + 2 = 2x^2 + 2x - 4

Pasamos todos los términos al miembro de la derecha y agrupamos, consiguiendo la siguiente ecuación:

2x^2 - 2x - 4 = 0;
x^2 - x - 2 = 0

Obtenemos dos soluciones, x = -1 y x = 2. Tras llevar ambas a la ecuación original, vemos que ambas son válidas.

Ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales son aquellas en las que al menos una incógnita aparece en el denominador de una fracción algebraica. Para resolverlas es necesario llevar a cabo una serie de transformaciones que nos permitan obtener finalmente una ecuación polinómica. Como con cualquier otro tipo de ecuación, resulta conveniente poner a prueba nuestras soluciones en la expresión de la ecuación original.

Ejemplo #1| 2/(x+1) + 3x = 4

Para resolver esta ecuación debemos eliminar los denominadores, por lo que arrancamos calculando el mínimo común múltiplo de todos los denominadores: (x+1). Obtenemos entonces la siguiente ecuación:

2/(x+1) + 3x·(x+1)/(x+1) = 4·(x+1)/(x+1)

Tras eliminar los denominadores logramos una ecuación polinómica de 2º grado que podemos resolver por el método que queramos:

2 + 3x^2 + 3x = 4x + 4

Tras pasar todos los términos al miembro de la izquierda y agrupar, se consigue la siguiente ecuación:

3x^2 - x -2 = 0

Obtenemos dos soluciones, x = 1 y x = -2/3. Tras llevar ambas a la ecuación original, vemos que ambas son válidas.