Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales (2)

Mientras intento pasar estos ejemplos a formato electrónico, aquí os dejo temporalmente la resolución hecha de mi puño y letra.

 Ejemplo # 1 

 Ejemplo #2 

Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Tal y como hemos visto en clase, algunos sistemas de ecuaciones pueden contener una ecuación logarítmica y otra exponencial. Suelen ser sistemas aparentemente difíciles, pero que en realidad son bastante sencillos. El motivo es que, para que seamos capaces de resolverlos en nuestro nivel, tienen que venir preparados.

 Ejemplo # 1 | log2(x) + 2·log2(y) = 1 ; 2^x · 4^y = 16 [ Sol.: x = 2, y = 1 ]. 

En primer lugar, se trata de realizar todas las transformaciones necesarias en ambas ecuaciones para convertirlas en ecuaciones algebraicas.

• 1ª Ecuación: log2(x) + 2·log2(y) = 1 ⇔ log2(x·y^2) = 1 ⇔ x·y^2 = 2^1 ⇔ x·y^2 = 2
• 2ª Ecuación: 2^x · 4^y = 16 ⇔ 2^x · 2^(2y) = 2^4 ⇔ 2^(x+2y) = 2^4 ⇔ x+2y = 4

 Si observamos bien, el sistema que debemos resolver es un sistema de ecuaciones no lineales:

x·y^2 = 2 ; x+2y = 4

Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución, despejando "x" en la segunda ecuación:

 x = 4 - 2y 

Y sustituimos en la primera:

(4 - 2y)·y^2 = 2

Después de agrupar y ordenar obtenemos una ecuación de tercer grado:

2y^3 - 4y^2 + 2 = 0 ;

y^3 - 2y^2 + 1 = 0

De esa ecuación obtenemos una única solución, y = 1 (aplicando Ruffini, por ejemplo). Para ese valor de "y", calculamos el valor correspondiente de "x". Así, obtenemos una pareja de soluciones, x = 2 e y = 1. Al comprobarlas en el sistema original, vemos que son correctas.

 Ejemplo #2 | 9^x · 3^y = 9 ; log2(x+4) + log2(y) = 3 [ Sol.: x = 0, y = 2 ]. 

En primer lugar, se trata de realizar todas las transformaciones necesarias en ambas ecuaciones para convertirlas en ecuaciones algebraicas.

• 1ª Ecuación: 9^x · 3^y = 9 ⇔ 3^(2x) · 3^y = 3^2 ⇔ 3^(2x+y) = 3^2 ⇔ 2x+y = 2
• 2ª Ecuación: log2(x+4) + log2(y) = 3 ⇔ log2[(x+4)·y] = 3 ⇔ (x+4)·y = 2^3 ⇔ (x+4)·y = 8

 Si observamos bien, el sistema que debemos resolver es un sistema de ecuaciones no lineales:

2x+y = 2 ; (x+4)·y = 8

Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 y = 2 - 2x 

Y sustituimos en la segunda:

(x+4)·(2-2x) = 8

Después de operar, agrupar y ordenar obtenemos una ecuación de 2º grado:

2x - 2x^2 + 8 - 8x = 8 ;

-2x^2 - 6x = 0 ;
-2x·(x+3) = 0

De esa ecuación de 2º grado incompleta obtenemos dos soluciones: x = 0 y x = -3. Para estos valores de "x", calculamos los valores correspondientes de "y". Así, obtenemos dos parejas de soluciones:

• x1 = 0 , y1 = 2.
• x2 = -3 , y2 = 8.

Al comprobarlas en el sistema original, vemos que ambas parejas son correctas.

Ejercicios de repaso

A raíz de las peticiones de muchos de vosotros hoy en clase, en esta entrada disponéis de varios tipos de ejercicios que forman parte de los contenidos a evaluar en la prueba de mañana martes. No prometo nada, pero intentaré dejar resueltos algunos de ellos en otra entrada de este blog.

• Sistemas de ecuaciones logarítmicas/exponenciales:
• log2(x) - 2·log2(y) = 1 ; 2^x · 4^y = 16 [ Sol.: x = 2, y = 1 ]
• 9^x · 3^y = 9 ; log2(x+4) + log2(y) = 3 [ Sol.: x = 0, y = 2 ]
• 5^x · 5^(2y-1) = 625 ; log2(x) - log2(y) = -1 [ Sol.: x = 1, y = 2 ]
• log3(2+x) + log3(y) = 2 ; 2^x · 2^(4-y) = 4 [Sol.: x = 1, y = 3 ]
• Sistemas de inecuaciones con dos variables:
• 2x+5y < 3 ; 3x-2y > -1
• 3x+y > 0 ; 4x-3y < 5
• y < 5 ; 2x-3y < 4
• y > -2 ; x+2y < 6
• Sistemas de inecuaciones con una variable:
• x^3 - 16x ≥ 0 ; 2x + 1 > 5
• x^2 - 5x - 6 < 0 ; x^3 - 2x^2 ≤ 0
• x^2 - 4x > 0 ; x^3 + 1 ≤ 0
• 2x + 7 > 1 ; x^2 - x - 12 ≤ 0

Actividades V Centenario de Santa Teresa de Jesús

Durante estos días, en el colegio estamos llevando a cabo actividades en todas las asignaturas para celebrar el V Centenario del nacimiento de Santa Teresa de Jesús.

En la asignatura de Matemáticas vamos a realizar una serie de problemas de sistemas de ecuaciones lineales donde las soluciones serán fechas importantes de su biografía.

Puedes consultar una línea temporal con los hechos más importantes de su vida en este enlace.

 Ejemplo #1 | Santa Teresa de Jesús nació en Ávila durante el siglo XVI. El año de su nacimiento es un número de dos cifras cuya suma es 6. Si invertimos las cifras de ese número y le restamos 6, obtenemos el triple de dicho número.  ¿En qué año nació? 

Vamos a comenzar expresando adecuadamente el número que buscamos. Los números con los que trabajamos siguen el sistema de numeración decimal, en el que la posición que ocupa cada cifra (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas, etc. ) determina por qué potencia de 10 debemos multiplicar dicho número.

Por ejemplo, el número 247 se obtiene como 200 + 40 + 7, es decir, 2·10^2 + 4·10^1 + 7·10^0 (de ahí que el 2 sean las centenas, 4 las decenas y 7 las unidades). Lo mismo ocurre con los números que poseen cifras decimales, en las que dichas posiciones aparecen multiplicadas por potencias negativas de 10.

Si queremos expresar adecuadamente un número "xy", donde "x" son las decenas e "y" las unidades, debemos escribirlo como 10x + y. Si además queremos invertir sus cifras, esto es, conseguir el número "yx", debemos escribirlo como 10y + x.

A continuación debemos codificar el enunciado y expresar en lenguaje algebraico:

• La suma de sus cifras es 6:  x + y = 6 
• Si invertimos las cifras y restamos 6, obtenemos el triple del número:  10y + x - 6 = 3·(10x + y) 

Si reordenamos y agrupamos términos obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 6 ; 7y - 29x = 6

Podemos resolver este sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso, emplearemos sustitución, despejando "x" en la primera ecuación:

 x = 6 - y 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

7y - 29·(6 - y) = 6 ;

7y - 174 + 29y = 6 ;

36y = 180

Obtenemos una solución, y = 5. Si la llevamos a la expresión que despejamos antes, logramos que x = 1.

Solución: Santa Teresa de Jesús nació en el año 1515.

 Ejemplo #2 | Santa Teresa de Jesús murió en Alba de Tormes también en el siglo XVI. El año de su muerte es un número de dos cifras cuya diferencia  entre las decenas y las unidades es 6. Si invertimos las cifras de ese número y lo multiplicamos por 3, obtenemos dicho número más 2 unidades.  ¿En qué año murió? 

Debemos codificar el enunciado y expresar en lenguaje algebraico:

• La diferencia entre sus decenas y sus unidades es 6:  x - y = 6 
• Si invertimos las cifras y lo multiplicamos por 3, obtenemos dicho número más 2:  3·(10y + x) = 10x + y + 2 

Si reordenamos y agrupamos términos obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x - y = 6 ; 29y - 7x = 2

Podemos resolver este sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso, emplearemos sustitución, despejando "x" en la primera ecuación:

 x = 6 + y 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

29y - 7·(6+y) = 2 ;

29y - 42 - 7y = 2 ;

22y = 44

Obtenemos una solución, y = 2. Si la llevamos a la expresión que despejamos antes, logramos que x = 8.

Solución: Santa Teresa de Jesús murió en el año 1582.

 Ejemplo #3 | Santa Teresa de Jesús conoció a San Juan de la Cruz en Medina del Campo en un año del siglo XVI. Ese año es un número de dos cifras cuya suma es 13. Si invertimos las cifras de ese número y le restamos 9, obtenemos dicho número.  ¿En qué año se conocieron? 

Debemos codificar el enunciado y expresar en lenguaje algebraico:

• La suma de sus cifras es 13:  x + y = 13 
• Si invertimos las cifras y le restamos 9, obtenemos dicho número:  10y + x - 9 = 10x + y 

Si reordenamos, agrupamos términos y simplificamosobtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

y + x = 13 ; y - x = 1

Podemos resolver este sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso, emplearemos sustitución, despejando "x" en la primera ecuación:

 x = 13 - y 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

y - (13 - y) = 1 ;

2y = 14

Obtenemos una solución, y = 7. Si la llevamos a la expresión que despejamos antes, logramos que x = 6.

Solución: Santa Teresa de Jesús conoció a San Juan de la Cruz en el año 1567.

 Ejemplo #4 | Santa Teresa de Jesús fundó gran cantidad de conventos a lo largo de su vida. El número está formado por dos cifras cuya suma es 8. Si multiplicamos por 4 ese número y le sumamos 3, obtenemos el número que resulta de invertir sus cifras. ¿Cuántos conventos fundó? 

Transformamos la información del enunciado y la expresamos en lenguaje algebraico:

• La suma de sus cifras es 8:  x + y = 8 
• Si multiplicamos el número por 4 y le sumamos 3, obtenemos el número que resulta de invertir sus cifras:  4·(10x + y) + 3 = 10y + x 

Si reordenamos, agrupamos términos y simplificamos obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 8 ; 13x - 2y = -1

Podemos resolver este sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso, emplearemos reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos. Así conseguimos que:

15x = 15

Obtenemos una solución, x = 1. Si la llevamos a la primera ecuación y despejamos "y", logramos que y = 7.

Solución: Santa Teresa de Jesús fundó 17 conventos, el primero de ellos el de San José (Ávila) en 1562.

 Ejemplo #5 | Santa Teresa de Jesús conoció a San Juan de la Cruz en 1567, y le convenció para unirse a la reforma que había iniciado. La diferencia entre sus edades era entonces de 28 años. En ese momento, el doble de la edad de San Juan de la Cruz más cuatro años era igual al de Santa Teresa. 

Comenzamos identificando nuestras incógnitas:

• "x" : edad de Santa Teresa
• "y" : edad de San Juan de la Cruz

Transformamos la información del enunciado y la expresamos en lenguaje algebraico:

• La diferencia entre sus edades era de 28 años:  x - y = 28 
• El doble de la edad de San Juan de la Cruz más cuatro era igual a la edad de Santa Teresa:  2y + 4 = x 

Si, directamente, resolvemos por sustitución conseguimos que:

(2y + 4) - y = 28

Obtenemos una solución, y = 24. Si la llevamos a la primera ecuación y despejamos "x", logramos que x = 52.

Solución: Las edades de Santa Teresa de Jesús y de San Juan de la Cruz eran, respectivamente, 52 y 24 años.

 Ejercicio final de la actividad | Lleva todos los datos anteriores a una línea temporal que incluya 10 fechas relevantes de la vida de Santa Teresa. Puedes usar cualquier programa que te permita crear un timeline. 

Sistemas de ecuaciones logarítmicas (4)

Más ejemplos sobre sistemas de ecuaciones logarítmicas, alguno de ellos de mayor dificultad. Otros, sin embargo, pueden incluir alguna ecuación en la que no aparecen logaritmos, esdecir, donde una de sus ecuaciones es algebraica. En algunos sistemas, incluso pueden presentarse combinaciones de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

 Ejemplo #1 | log2x + log2y = 4 ; 5·log2x - log2(y-6) = 4. 

Comenzamos transformando las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log2x + log2y = 4 ; log2(x·y) = 4 ⇔ x·y = 2^4 ; x·y = 16
• 5·log2x - log2(y-6) = 4 ; log2[ x^5 / (y-6) ] = 4 ⇔ x^5 / (y-6) = 2^4 ; x^5 / (y-6) = 16

Nuestro sistema de ecuaciones queda:

x·y = 16 ; x^5 / (y-6) = 16

 Vamos a resolverlo mediante sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 y = 16 / x 

Ahora sustituimos en la segunda ecuación:

x^5 / (16 / x - 6) = 16 ;

x^5 / [ (16 - 6x) / x ] = 16 ;

x^6 / ( 16 - 6x ) = 16 ;

x^6 = 256 - 96x ;

x^6 + 96x - 256 = 0

Obtenemos una ecuación de 6º grado, que solamente podemos resolver mediante Ruffini. De esa ecuación conseguimos una solución, x = 2. Si queremos encontrar la solución correspondiente de "y", llevamos ese resultado a la expresión que despejamos antes. Por tanto, obtenemos una sola pareja válida de soluciones, que verifican el sistema de ecuaciones original:

• x = 2 → y = 8.

 Ejemplo #2 | log3x - log3y = 1 ; x + y^2 = 4. 

Comenzamos transformando la única ecuación logarítmica en algebraica:

log3x - log3y = 1 ; log3 (x / y) = 1 ⇔ x / y = 3^1 ; x / y = 3

Por tanto, nuestro sistema queda:

x / y = 3 ; x + y^2 = 4

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "x" en la primera ecuación:

 x = 3y 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

3y + y ^2 = 4 ;

y^2 + 3y - 4 = 0

De esa ecuación de 2º grado obtenemos dos soluciones, y = -4 e y = 1. Para calcular los valores correspondientes de "x", acudimos a la expresión que despejamos antes:

• Si y1 = -4 → x1 = -12
• Si y2 = 1 → x2 = 3

De ambas parejas de soluciones, únicamente x = 3 e y = 1 son válidas, ya que la otra pareja hace que en la comprobación aparezcan los logaritmos en base 3 de números negativos.

 Ejemplo #3 | 2·log5x - log5y = 2 ; 2^(x+y) = 64. 

Comenzamos transformando la única ecuación logarítmica en algebraica:

2·log5x - log5y = 2 ; log5 (x^2 / y ) = 2 ⇔ x^2 / y = 5^2 ; x^2 / y = 25

A continuación, hacemos lo mismo con la ecuación exponencial.

 2^(x+y) = 64 ; 2^(x+y) = 2^6 ⇔ x + y = 6

Por tanto, nuestro sistema queda:

x^2 / y = 25 ; x + y = 6

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la segunda ecuación:

 y = 6 - x 

Y sustituimos en la primera ecuación:

x^2 / ( 6 - x ) = 25 ;

x^2 = 150 - 25x ;

x^2 + 25x - 150 = 0

De esa ecuación de 2º grado obtenemos dos soluciones, x = -30 y x = 5. Para calcular los valores correspondientes de "y", acudimos a la expresión que despejamos antes:

• Si x1 = -30 → y1 = 36
• Si x2 = 5 → y2 = 1

De ambas parejas de soluciones, únicamente x = 5 e y = 1 es válida, ya que la otra pareja hace que en la comprobación aparezca el log3(-30).

Sistemas de ecuaciones logarítmicas (3)

En esta entrada resolveremos otros dos sistemas de ecuaciones logarítmicas que nos servirán como ejemplo para comprender mejor este tipo de sistemas.

 Ejemplo #1 | log x + log (y+8) = 2 ; log (x^2) - log (5y) = 1. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log x + log (y+8) = 2 ; log [ x·(y+8)] = 2 ⇔ x·(y+8) = 10^2 ; x·(y+8) = 100
• log (x^2) - log (5y) = 1 ; log ( x^2 / 5y ) = 1 ⇔ x^2 / 5y  = 10^1 ; x^2 / 5y = 10

Nuestro sistema queda:

 x·(y+8) = 100 ; x^2 = 50y

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la segunda ecuación:

 y = x^2 / 50 

Y sustituimos en la primera ecuación:

x·( x^2/50 + 8 ) = 100;

x^3/50 + 8x = 100;

x^3 + 400x - 5000 = 0

De esa ecuación de tercer grado logramos un único valor de "x" (las otras dos soluciones son no reales, NR). Se trata de x = 10. Para calcular el valor correspondiente de "y", sustituimos en la expresión que depejamos antes. Así pues, conseguimos una sola pareja de soluciones, que además verifica el sistema de ecuaciones logarítmicas original:

• x = 10 → y = 2.

 Ejemplo #2 | 2·log y - log x = 2 ; log y + log (x+9) = 2. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• 2·log y - log x = 2 ; log ( y^2 / x ) = 2 ⇔ y^2 / x = 10^2 ; y^2 = 100x
• log y + log (x+9) = 2 ; log [ y·(x+9) ] = 2 ⇔ y·(x+9) = 10^2 ; y·(x+9) = 100

Nuestro sistema queda:

 y^2 = 100x ; y·(x+9) = 100

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 x = y^2 / 100 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

y · ( y^2/100 + 9 ) = 100 ;

y^3/100 + 9y - 100 = 0 ;
y^3 + 900y - 10000 = 0

De esa ecuación de tercer grado logramos un único valor de "y" (las otras dos soluciones son no reales, NR). Se trata de y = 10. Para calcular el valor correspondiente de "x", sustituimos en la expresión que depejamos antes. Así pues, conseguimos una sola pareja de soluciones, que además verifica el sistema de ecuaciones logarítmicas original:

• x = 1 → y = 10.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas (2)

En esta entrada resolveremos otros dos sistemas de ecuaciones logarítmicas que nos servirán como ejemplo para comprender mejor este tipo de sistemas.

 Ejemplo #1 | log2x + log2y = 4 ; 2·log2(2x) - log2(y) = 1. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log2x + log2y = 4 ; log2(x·y) = 4 ⇔ x·y = 2^4 ; x·y = 16
• 2·log2(2x) - log2(y) = 1 ; log2[(2x)^2 / y ] = 1 ⇔ 4x^2 / y = 2^1 ; 4x^2 / y = 2

Nuestro sistema queda:

 x·y = 16 ; 4x^2 / y = 2

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la segunda ecuación:

 y = 2x^2 

Y sustituimos en la primera ecuación:

x·2x^2 = 16;

2x^3 = 16;

x^3 = 8

De esa ecuación logramos un único valor de "x" (las otras dos soluciones son no reales, NR). Se trata de x = 2. Para calcular el valor correspondiente de "y", sustituimos en la expresión que depejamos antes. Así pues, conseguimos una sola pareja de soluciones, que además verifica el sistema de ecuaciones logarítmicas original:

• x = 2 → y = 8.

 Ejemplo #2 | log x - log (2y) = 0 ; log (5x) + log y = 1. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log x - log 2y = 0 ; log (x / 2y) = 0 ⇔ x / 2y = 10^0 ; x / 2y = 1 ; x = 2y
• log (5x) + log y = 1 ; log (5xy) = 1 ⇔ 5xy = 10^1 ; 5xy = 10 ; xy = 2

Nuestro sistema queda:

 x = 2y  ; xy = 2

Vamos a resolver mediante sustitución, llevando la "x" de la primera ecuación a la segunda ecuación:

2y·y = 2 ;
 y^2 = 1

De esa ecuación logramos dos soluciones, y = -1 e y = 1. Para calcular el valor correspondiente de "y", sustituimos en la expresión que depejamos antes, obteniendo dos parejas de soluciones:

• y1 = -1 → x1 = 2.
• y2 = 1 → x2 = -2.

Si llevamos ambas parejas a las ecuaciones originales, solamente x = 2 e y = 1 son válidas.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Los sistemas de ecuaciones logarítmicas son el último caso de sistemas de ecuaciones no lineales que estudiaremos en esta unidad. Se trata de sistemas de ecuaciones en los que una de las incógnitas aparece en el argumento de al menos un logaritmo. En su resolución vamos a aplicar la mayoría de las técnicas que hemos venido empleando a la hora de resolver tanto las ecuaciones logarítmicas (las propiedades y la definición de logaritmo) como sistemas de ecuaciones (métodos de sustitución o reducción).

 Ejemplo #1 | log2x + log2y = 4; 3·log2x - log2y = 8. 

Este es uno de los casos más sencillos de sistemas de ecuaciones logarítmicas que nos podemos encontrar, ya que aparecen los mismos logaritmos en ambas ecuaciones. Podemos seguir varios caminos, pero el más simple en este caso es realizar un doble cambio de variable, donde a = log2x y b = log2y. Así, el sistema queda listo para resolver por reducción:

  a + b = 4

3a  - b = 8   + 

-------------------

4a       = 12

De esa ecuación obtenemos que a = 3, y al sustituir su valor en la primera ecuación, alcanzamos también que b = 1. Para concluir, debemos deshacer el cambio de variable:

• Si a = 3 → log2x = 3 → x = 2^3 → x = 8
• Si b = 1 → log2y = 1 → y = 2^1 → y = 2

Por tanto, se obtiene una pareja de soluciones, x = 8 e y = 2, que son válidas ya que verifica las ecuaciones originales.

Este sistema puede ser resuelto utilizando otro método, que es el que habitualmente pondremos en práctica. Consiste en transformar nuestras ecuaciones logarítmicas en ecuaciones algebraicas mediante una serie de transformaciones.

La primera ecuación, aplicando las propiedades y la definición de logaritmo queda:

log2x + log2y = 4 ; log2(x·y) = 4 ⇔ x·y = 2^4 ; x·y = 16

Del mismo modo, la segunda ecuación queda:

3·log2x - log2y = 4 ; log2[x^3 / y] = 8 ⇔ x^3 / y = 2^8; x^3 / y = 256

Por lo tanto, el sistema que debemos resolver es el siguiente:

x·y = 16; x^3 / y = 256

Para resolverlo, podemos despejar y en la primera ecuación:

 y = 16 / x 

Y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

x^3 / ( 16 / x ) = 256;

x^4 / 16 = 256;

x^4 = 4096

De esa ecuación obtenemos dos soluciones, x = 8 y x = -8. Pero para finalizar debemos sustituir en la expresión de y:

• Si x = 8 → y = 2
• Si x = -8 → y = -2

Si llevamos ambas parejas al sistema de ecuaciones logarítmicas original, solamente la pareja x = 8 e y = 2 es válida. La otra pareja de soluciones hace que tengamos que calcular el logaritmo en base 2 de un número negativo.

Vemos que se logran los mismos resultados que por el primer método, pero siguiendo un proceso más largo y complicado.

Sistemas de ecuaciones exponenciales

Hasta ahora, los sistemas de ecuaciones no lineales vistos en las entradas anteriores de este blog contenían solamente ecuaciones algebraicas. Cuando en alguna de las ecuaciones del sistema (o en ambas) aparece alguna expresión exponencial o logarítmica, el sistema de ecuaciones dejará automáticamente de ser lineal.

A la hora resolverlos disponemos de diferentes métodos. En cada caso nos tendremos que adaptar a la forma que presenten las ecuaciones. A lo largo de los siguientes ejemplos intentaremos analizar varios sistemas de ecuaciones exponenciales y optar por el método más adecuado.

 Ejemplo #1 | 2^x + 5^y = 9, 2^(x+2) - 5^(y-1) = 15 

Para comenzar, aplicaremos las propiedades de las potencias para dejar las expresiones exponenciales en la forma más simple posible. Así:

       2^x +   5^y  =  9

2^x·2^2 - 5^y/5  = 15

A continuación vamos a aplicar un doble cambio de variable, a = 2^x y b = 5^y, de modo que tras introducir ese cambio obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:

  a +     b =  9

4a - b / 5 = 15

Para resolver este sistema vamos a eliminar el denominador de la segunda ecuación multiplicando por 5. El sistema resultante puede ser resuelto directamente por reducción:

    a + b = 9

20a  - b = 75    +  

------------------------

 21a     =  84

Se consigue una solución, a = 4. Si sustituimos en la primera ecuación y despejamos "b" logramos la solución correspondiente b = 5.

Para concuir el ejemplo es necesario deshacer los dos cambios de variable:

• Si a = 4 → 2^x = 4 → 2^x = 2^2 → x = 2
• Si b = 5 → 5^y = 5 → 5^y = 5^1 → y = 1

Por tanto, hemos obtenido una pareja de soluciones, x = 2 e y = 1, que verifican las dos ecuaciones del sistema original.

Sistemas de ecuaciones no lineales (8)

En esta entrada se incluyen más ejemplos fruto de la colaboración de nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | x^2 +y^2 = 25; x + y = 7. Vania Navarro Lazarte. David Vaca Haro. 

En primer lugar despejamos "y" en la segunda ecuación:

 

 y = 7 - x 

Sustituimos en la primera ecuación y operamos:

x^2 + (7 - x )^2 = 25;

x^2 + 49 - 14x + 24 = 0;

x^2 - 7x + 12 = 0

Se realiza la ecuación de segundo grado, consiguiendo dos soluciones, x = 4 y x = 3. Las llevamos a la expresión que despejamos al principio para calcular los valores correspondientes de "y", logrando dos parejas de soluciones :

• x1 = 3 → y1 = 3
• x2 = 4 → y2 = 4

 Ejemplo #2 | x^2 - y^2 = 21 ; x + y = 7. 

La resolución de estos sistemas no lineales se suele realizar mediante el método de sustitución, siguiendo los siguientes pasos.En primer lugar se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente la de 1º grado, dado que es mas fácil:

 y = 7 - x 

Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación:

x^2 - (7 - x)^2  = 21

Se resuelve la ecuación resultante conseguida al operar y agrupar términos. Hemos de realizar la identidad notable (7 - x)^2 y pasar el 25 al otro miembro:

    

x^2 - 49 + 14x - x^2 = 21;

14x = 70

Obtenemos una ecuación de 1er grado y, por tanto, una única solución, x = 5. Al llevarla a la expresión para obtener la solución correspondiente en "y" conseguimos una pareja de soluciones:

• x = 5 → y = 2

Resumen de la unidad 3

Estos son los diagramas realizados con dos aplicaciones distintas, MindMup y LucidChart donde se incluyen todos los contenidos de la Unidad 3.

Diagrama elaborado con MindMup.

Diagrama elaborado con LucidChart.

¿Alguna idea para completarlos?

También podéis acceder a una lista donde se incluyen todas las entradas correspondientes a la Unidad 3 a través de este enlace:

Entradas de la Unidad 3

Ecuaciones logarítmicas (9)

Aquí tenéis más ejemplos aportados por dos de nuestros compañeros sobre ecuaciones logarítmicas.

 Ejemplo #1 | log 4 + 2·log (x-3) = log x. Elena Berenguel Díaz. 

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

log [ 4·(x-3)^2 ] = log x

Como sólo nos ha quedado un log en cada lado del igual, podemos igualar los argumentos:

4·(x-3)^2 = x

Se realizan las operaciones del paréntesis en el que aparece una identidad notable, el cuadrado de un binomio:

4x^2 - 25x + 36 = 0

Se resuelve la ecuación de 2º grado mediante la fórmula general. Las soluciones son x = 4 y x = 9/4. Se comprueban sustituyendo la "x" para ver si hay soluciones no válidas. Solamente x = 4 verifica la ecuación original.

 Ejemplo #2 | 2·log x - 2·log (x-1) = 0. Rubén Seco. 

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

log x^2 - log (x-1)^2 = 0;

log [ x^2 / (x-1)^2 ] = log 1

Igualamos los argumentos:

x^2 / (x-1)^2 = 1;

x^2 = x^2 + 2x + 1;

0 = 2x + 1

Se logra una única solución, x = -1/2. Al intentar comprobarla en la ecuación original se obtiene el logaritmo de un número negativo, por lo que no es válida y nuestra ecuación logarítmica no tiene solución.

Ecuaciones logarítmicas (8)

Aquí disponéis de más ejemplos aportados por nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | log9 (x+1) - log9 (1-x) = log9 (2x+3). José Castillo Bonilla. 

Unimos los logaritmos del miembro de la izquierda:

log9 [ (x+1) / (1-x) ] = log9 (2x+3)

Igualamos los argumentos:

(x+1) / (1-x) = 2x + 3

El denominador de la izquierda pasa a la derecha multiplicando:

x + 1 = (2x+3)·(1-x)

Se realizan las operaciones, agrupamos y ordenamos:

x + 1 = 2x - 2x^2 + 3 - 3x;

2x^2 + 2x  -2 = 0;

x^2 + x - 1 = 0

Se realiza la ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones, x = (-1+sqrt(5))/2 y x = (-1-sqrt(5))/2. Tan solo la primera de ellas es válida, x = (-1+sqrt(5))/2 ≈ 0.61803398875... La otra solución, al llevarla al primero de los dos logaritmos del miembro de la izquierda, nos da un argumento negativo y, por tanto, no es una solución válida.

 Ejemplo #2 | log (2x-3) + log (3x-2) = 2-log 25. Luna Luque Castilla. 

En primer lugar, el 2 lo convertimos en un logaritmo:

log (2x-3) + log (3x-2) = log 100 - log 25

A continuación agrupamos aplicando las propiedades de los logaritmos:

log [ (2x-3)·(3x-2) ] = log 100/25

Y ahora, quitamos los logaritmos igualando los argumentos:

(2x-3)·(3x-2) = 4;

6x^2 - 4x - 9x + 6 = 4;

6x^2 - 13x + 2 = 0

Obtenemos dos soluciones para esta ecuación, que son x = 2 y x = 1/6. Tras comprobarlas en la ecuación original solamente x = 2 es válida. Para x = 1/6 nos encontramos con que ninguna de las dos expresiones logarítmicas se puede calcular, ya que no existe el logaritmo (en base positiva) de números negativos.

 Ejemplo #3 | 2 log(5x+4) - 2 log2 = log(x+4). María Millán Carranza. 

Aplicamos las propiedades de los logaritmos para agrupar todos los términos de la izquierda:

 

log [ (5x+4)^2 ] - log [ 2^2 ] = log (x+4);

log [ (5x+4)^2 / 4 ] = log (x+4)

A continuación igualamos los argumentos y operamos:

( 25x^2 + 40x + 16 ) / 4 = x + 4;

25x^2 + 40x + 16 = 4x + 16;

25x^2 + 36x = 0;

x·(25x + 36) = 0

 

Obtenemos dos soluciones, x = 0 y x = -36/25. Al llevarlas a la ecuación original solamente x = 0 resulta ser válida.

Ecuaciones exponenciales (8)

Aquí tenéis más ejemplos compartidos por nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | 5^x + 5^(x+1) = 30. Lucía Hernández Lucena. 

  

En primer lugar debemos descomponer el segundo término del miembro de la izquierda aplicando las propiedades de las potencias.

5^x + 5·5^x = 30

En segundo lugar debemos determinar que 5^x es el numero con exponente más sencillo y lo reemplazamos por "u", efectuando un cambio de variable, es decir, u = 5^x:

u + 5u = 30;
6u = 30;
u = 30/6

Obtenemos que u = 5, pero tenemos que deshacer el cambio:

•  5^x = 5 ==> 5^x = 5^1 ==> x = 1

Al comprobar en la ecuacion original encontramos que x = 1 es la respuesta válida.

 Ejemplo #2 | 2^(2x+1) - 3·2^x + 1 = 0. Álvaro Estepa Molina. 

En primer lugar aplicamos las propiedades para quitar las sumas y diferencias de los exponentes.

2·2^x - 3·2^x + 1 = 0

Después realizamos el cambio de variable t = 2^x ; t^2 = 2^2x. Así:

2t^2 - 3t + 1 = 0

Resolvemos la ecuación y posteriormente deshacemos el cambio de variable. Las dos soluciones en "t" son t = 1 y t = 1/2.

• Si t = 1 ==> 2^x = 1 ==> 2^x = 2^0 ==> x = 0
• Si t = 1/2 ==> 2^x = 1/2 ==> 2^x = 2^(-1) ==> x = -1

Ambas soluciones verifican la ecuación original.

  Ejemplo #3 | 9^x – 3^(x+2) + 18 = 0. Carmen Hidalgo Carmona. 

Es una ecuación exponencial de segundo tipo, en las que la incógnita se nos presenta en más de un término. Debemos utilizar las propiedadesde las potencias para conseguir expresiones más sencillas. De este modo:

3^(2x) - 3^x·3^2 + 18 = 0

Aplicaremos un cambio de variable para transformarla en una ecuación polinómica. Dicho cambio será t = 3^x, t^2 = 3^(2x). Así queda:

t^2 – 9t + 18 = 0

De esa ecuación de 2º grado conseguimos dos soluciones, t = 6 y t = 3. Para concluir el ejemplo, debemos deshacer el cambio:

• Si t = 6 ==> 3^x = 6 ==> x = log3 6
• Si t = 3 ==> 3^x = 3 ==> x = 1

Ambas soluciones verifican la ecuación original.

  Ejemplo #4 | 9^x – 7·3^x + 12 = 0. 

Es una ecuación exponencial de segundo tipo, en las que la incógnita se nos presenta en más de un término. Aplicaremos un cambio de variable para transformarla en una ecuación polinómica. Dicho cambio será t = 3^x, t^2 = 3^(2x). Así queda:

t^2 – 7t + 12 = 0

De esa ecuación de 2º grado conseguimos dos soluciones, t = 4 y t = 3. Para concluir el ejemplo, debemos deshacer el cambio:

• Si t = 4 ==> 3^x = 4 ==> x = log3 4
• Si t = 3 ==> 3^x = 3 ==> x = 1

Ambas soluciones verifican la ecuación original.

Sistemas de ecuaciones no lineales (7)

Estos son dos ejemplos más enviados por nuestros compañeros sobre sistemas de ecuaciones no lineales.

 Ejemplo #1 | x^2 + y^2 = 25; x + y = 7. Jorge López Nevado. 

Despejamos "y" en la segunda ecuación:

 y = 7 - ­ x 

Sustituimos en la primera ecuación, y obtenemos una ecuación de 2º grado. Operamos:

x^2 + (7 - ­ x)^2 = 25;

x^2 + 49 ­ - 14x + x^2 = 25;

2x^2 ­ - 14x + 24 = 0;

x^2 ­ - 7x + 12 = 0

Aplicamos la fórmula de las ecuaciones de 2º grado y conseguimos las soluciones x = 3 y x = 4. Debemos sustituir esos valores de "x" para obtener los correspondientes de la incógnita "y". Se logran estas dos parejas de soluciones (válidas, se puede comprobar en el sistema original):

• x1 = 3 → y1 = 4
• x2 = 4 → y2 = 3

 Ejemplo #2 | 2^x - 5^y = 3; 2^(x+2) - 5^(y+1) = 7. Javier Romero González. 

Se trata de un sistema de ecuaciones exponenciales, ya que las dos incógnitas se encuentran en el exponente de sendas potencia. A la hora de resolverlos, podemos usar varios métodos. En este caso usaremos reducción. Para ello, es necesario dejar en ambas ecuaciones las mismas expresiones exponenciales. Lo conseguimos aplicando las propiedades de las potencias:

    2^x -     5^y = 3

 4·2^x - 5·5^y = 7

Para reducir, multiplicamos la primera ecuación por (-4):

-4·2^x + 4·5^y = -12

 4·2^x -  5·5^y =  7      + 

----------------------------

     /     -  5^y  =  -5

Así pues: 5^y = 5. Obtenemos que y = 1. Para conseguir el valor correspondiente de "x", lo más sencillo en sustituir el valor de "y" en la primera ecuación y resolver una ecuación exponencial sencilla:

2^x - 5 = 3;

2^x = 8;

2^x = 2^3;

x = 3

En resumen, hemos obtenido una pareja de soluciones, que es válida:

• x = 3 → y = 1

El sistema del Ejemplo #2 se podría haber resuelto mediante un doble cambio de varable: a = 2^x, b = 5^y. Así el sistema se convierte en un sistema de ecuaciones lineales.

Después de aplicar el doble cambio de variable y multiplicar la primera ecuación por (-4) queda:

-4a + 4b = -12

 4a  - 5b =   7      + 

----------------------------

     /  -b  =  -5

Conseguimos que b = 5. Para calcular el valor de "a" correspondiente, lo más sencillo es sustituir en la primera ecuación:

a - b = 3;

a = 8

Para terminar nuestro sistema debemos deshacer los cambios:

• Si a = 8 → 2^x = 8 → 2^x = 2^3 → x = 3
• Si b = 5 → 5^y = 5 → 5^y = 5^1 → y = 1

Sistemas de ecuaciones no lineales (6)

Aquí incluimos varios ejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales resueltos por varios de nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | x^2 + y^2 = 10 ; x + y = 4. Marta Pérez Puentes. 

Despejamos "x" en la segunda ecuación:

 x = 4 - y 

Sustituimos teniendo en cuenta las identidades notables :

(4-y)^2 + y^2 = 10;

16 - 8y + y^2+ y^2 = 10;

2y^2 – 8y + 6 = 0

Resolvemos ecuación de segundo grado, en la que obtenemos como resultados dos soluciones y = 3 / y = 1. Sustituimos las soluciones de la ecuación de segundo grado la expresión donde despejamos "x".

• y1 = 3 → x1 = 1
• y2 = 1 → x2 = 3

Ambas parejas de soluciones son válidas.

 Ejemplo #2 | 2x + y^2 - y = 4; y^2 - x = 3. Juan de la Cruz Padilla. 

En primer lugar debemos de despejar una incógnita en la segunda ecuación. Vamos a despejar "x" por simplicidad. 

 x = y^2 - 3 

Ahora sustituimos en la primera ecuación y queda:

2·(y^2-3) + y^2 - y = 4

Simplificamos:

3y^2 - y - 10 = 0

Esto es una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son y = 2 e y = -5/3. A continuación los valores de "x" los obtendremos sustituyendo esos valores en la expresión despejada. Se consiguen dos parejas de soluciones:

• Si y = 2 → x =1
• Si y = -5/3 → x = -2/9

Por tanto, en resumen, las soluciones de este sistema son:

• x1 = 1 → y1 = 2
• x2 = -2/9 → y2 = -5/3 

Ambas parejas de soluciones son válidas.

Ecuaciones radicales (3)

Estos son otros ejemplos enviados por dos de nuestras compañeras para compartir en el blog.

 Ejemplo #1 | sqrt(x+4) = 3 - sqrt(x-1). Marisa de Torres Domenech. 

Aislamos una de las dos raíces (en este caso ya está aislada) y elevamos ambos miembros al cuadrado:

[ sqrt(x+4) ]^2 = [ 3 - sqrt(x-1) ]^2

Al elevar al cuadrado, la raíz de la izquierda se pierde, y en la derecha se efectúa la operación, dándonos cuenta de que es una identidad notable.

x + 4 = 9 - 6·sqrt(x-1) + x - 1

Seguimos teniendo una raíz cuadrada. Tendremos que aislarla y volver a elevar todo al cuadrado.

6·sqrt(x-1) = -x - 4 + 9 + x - 1;

6·sqrt(x-1) = 4;

[ 6·sqrt(x-1) ]^2 = 4^2

Una vez elevado, la raíz se va. Realizamos la operación y despejamos "x":

36·(x-1) = 16;

36x - 36 = 16;

36x = 52;

x= 52/36

Al comprobar la solución x = 13/9 en la ecuación original vemos que la solución obtenida es correcta.

 Ejemplo #2 | x - sqrt(x) = 6. Mª Carmen Ortega Medina. 

Aislamos la raíz:

x - 6 = sqrt(x)

Elevamos al cuadrado, teniendo en cuenta la identidad notable del miembro de la derecha:

x = 36 - 12x + x ^2

Agrupamos y ordenamos para poder resolver una ecuación de 2º grado:

0 = x ^2 - 13x + 36

Conseguimos dos soluciones, x = 9 y x = 4. De las dos soluciones obtenidas, sólo x = 9 es correcta.

Ecuaciones exponenciales (7)

Estos son más ejemplos aportados por algunos de nuestros compañeros. Seguro que nos sirven de ayuda.

 Ejemplo #1 | 2^(x+1) - 5·2^x + 3 = 0. Marta Pérez Páez. 

Aplicamos las propiedades de las potencias dejando las expresiones exponenciales lo más simples posibles.

2^x·2 - 5·2^x + 3 = 0

 
Para resolverla, necesitamos hacer un cambio de variable. El cambio de varible es t = 2^x. La ecuación queda así:

2t - 5t + 3 = 0

Haciendo esta ecuación obtenemos una solución, t = 1. Deshacemos el cambio de variable, por lo que alcanzamos una solución, x = 0, que verifica la ecuación original.

 Ejemplo #2 | 5^x + 5^(x+1) + 5^(x+2) = 775. Ángel Iniesta Valcárcel. 

Primero usamos las propiedades de las potencias para que en los exponentes solo aparezca "x":

5^x + 5^x·5 + 5^x ·5^2 = 775

Ahora hacemos el cambio de variable u = 5^x y sustituimos:

u + 5u + 25u = 775;

31u = 775

Encontramos una solución para u = 25. Deshacemos el cambio de variable:

• Si u = 25 ==> 5^x = 25 ==> 5^x = 5^2 ==> x = 2

Esa solución, x = 2, es válida porque cumple la ecuación original.

 Ejemplo #3 | 2^(x+1) + 2^x + 2^(x-1) = 14. David Benavente Tobajas. 

Lo primero que hay que hacer es conseguir que todas las exponenciales queden lo más sencillas posible para luego hacer el cambio de variable z = 2^x:

2^x·2 + 2^x + 2^x / 2 = 14;

2z + z + 2 / z = 14

Quitamos denominadores y conseguimos una ecuación de 1er grado en "z":

4z + 2z + z = 28;

7z = 28

Obtenemos una solución, z = 4. Al deshacer el cambio:

• Si z = 4 ==> 2^x = 4 ==> 2^x = 2^2 ==> x = 2

Esa solución única, x = 2, es válida porque verifica la ecuación original.

Ecuaciones polinómicas (3)

Estos son más ejemplos aportados por nuestros compañeros sobre ecuaciones polinómicas. Se trata de dos ecuaciones bicuadradas.

 Ejemplo #1 | x^4 - 13x^2 + 36 = 0. María Campos Gómez. 

En primer lugar debemos fijarnos en el grado de la ecuación, en este caso es de grado 4. Como es una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x^2; t^2 = x^4. Así conseguimos una ecuación de 2º grado en "t":

t^2 - 13t + 36 = 0

Ahora realizamos la ecuación de segundo grado mediante su fórmula. Obtenemos dos soluciones, t = 9 y t = 4 . Debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = ±3
• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = ±2

Obtenemos cuatro soluciones reales para una ecuación de 4º grado, que son x = 2, x = -2, x = 3, x = -3.

 Ejemplo #2 | x^4 - 5x^2 - 36 = 0. María Campos Gómez. 

Se trata de otra ecuación bicuadrada. Resolvemos por el mismo método del ejemplo anterior. Hacemos el cambio de variable t = x^2:

t^2 - 5t - 36 = 0

Ahora realizamos la ecuación de segundo grado mediante su fórmula. Obtenemos dos soluciones, t = 9 y t = -4. Debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = ±3
• Si t = -4 ==> x = sqrt(-4) ==> No tiene solución.

Obtenemos dos soluciones reales para una ecuación de 4º grado, que son x = 3 y x = -3. Las otras dos soluciones son no reales (NR).

 Ejemplo #3 | 3x^4 - 15x^2 + 36 = 0. María Ángeles Castro Luque. 

Se trata de otra ecuación bicuadrada. En primer lugar simplificamos la ecuación por 3 para conseguir coeficientes más sencillos. Resolvemos por el mismo método del ejemplo anterior. Hacemos el cambio de variable t = x^2:

x^4 - 5x^2 + 12 =0;
t^2 - 5t + 4 = 0

La ecuación obtenida puede ser resuelta mediante la fórmula de la ecuación de 2º grado. Alcanzamos dos soluciones, t = 4 y t = 1. Para encontrar la solución en "x" es necesario deshacer el cambio de variable:

• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = ±2
• Si t = 1 ==> x = sqrt(1) ==> x = ±1

Obtenemos las cuatro soluciones reales: x = 2, x = -2, x = 1, x = -1.

Ecuaciones polinómicas (2)

Estos son varios ejemplos sobre ecuaciones polinómicas enviados por varios de nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | x^2 - 9x + 18 = 0. Ana López Pérez. 

En primer lugar nos basamos en la fórmula de las ecuaciones de 2º grado:

x = [ -b ± sqrt( b^2 - 4·a·c) ] / (2·a)

A continuación sustituimos los coeficientes a = 1, b = -9 y c = 18. Nos dan dos resultados, x = 6 y x = 3. Antes de dar por terminada la operación comprobamos los resultados con la ecuación original para verificar qué soluciones son correctas. En este caso, ambas lo son.

 Ejemplo #2 | 3x^4 - 15x^2 + 12 = 0. Ana López Pérez. 

Se trata de una ecuación bicuadrada. En primer lugar debemos saber que resolveremos mediante un cambio de variable, es decir, t = x^2.Por lo que tendríamos que:

3t^2 - 15t + 12 = 0

Como observamos se ha convertido en una ecuación de 2º grado, por lo que aplicamos su fórmula. Al acabar tenemos dos resultados t = 4 y t = 1, como el ejercicio nos pide "x" y tenemos "t", cambiamos la variable, sabiendo que t = sqrt(x).

Conseguimos cuatro soluciones distintas: x = +2, x = -2, x = +1, x = -1.

Para terminar llevamos esos resultados a la ecuación original para comprobar que son correctos. En este caso, todos son válidos.