Actividades V Centenario de Santa Teresa de Jesús

Durante estos días, en el colegio estamos llevando a cabo actividades en todas las asignaturas para celebrar el V Centenario del nacimiento de Santa Teresa de Jesús.

En la asignatura de Matemáticas vamos a realizar una serie de problemas de sistemas de ecuaciones lineales donde las soluciones serán fechas importantes de su biografía.

Puedes consultar una línea temporal con los hechos más importantes de su vida en este enlace.

 Ejemplo #1 | Santa Teresa de Jesús nació en Ávila durante el siglo XVI. El año de su nacimiento es un número de dos cifras cuya suma es 6. Si invertimos las cifras de ese número y le restamos 6, obtenemos el triple de dicho número.  ¿En qué año nació? 

Vamos a comenzar expresando adecuadamente el número que buscamos. Los números con los que trabajamos siguen el sistema de numeración decimal, en el que la posición que ocupa cada cifra (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas, etc. ) determina por qué potencia de 10 debemos multiplicar dicho número.

Por ejemplo, el número 247 se obtiene como 200 + 40 + 7, es decir, 2·10^2 + 4·10^1 + 7·10^0 (de ahí que el 2 sean las centenas, 4 las decenas y 7 las unidades). Lo mismo ocurre con los números que poseen cifras decimales, en las que dichas posiciones aparecen multiplicadas por potencias negativas de 10.

Si queremos expresar adecuadamente un número "xy", donde "x" son las decenas e "y" las unidades, debemos escribirlo como 10x + y. Si además queremos invertir sus cifras, esto es, conseguir el número "yx", debemos escribirlo como 10y + x.

A continuación debemos codificar el enunciado y expresar en lenguaje algebraico:

• La suma de sus cifras es 6:  x + y = 6 
• Si invertimos las cifras y restamos 6, obtenemos el triple del número:  10y + x - 6 = 3·(10x + y) 

Si reordenamos y agrupamos términos obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 6 ; 7y - 29x = 6

Podemos resolver este sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso, emplearemos sustitución, despejando "x" en la primera ecuación:

 x = 6 - y 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

7y - 29·(6 - y) = 6 ;

7y - 174 + 29y = 6 ;

36y = 180

Obtenemos una solución, y = 5. Si la llevamos a la expresión que despejamos antes, logramos que x = 1.

Solución: Santa Teresa de Jesús nació en el año 1515.

 Ejemplo #2 | Santa Teresa de Jesús murió en Alba de Tormes también en el siglo XVI. El año de su muerte es un número de dos cifras cuya diferencia  entre las decenas y las unidades es 6. Si invertimos las cifras de ese número y lo multiplicamos por 3, obtenemos dicho número más 2 unidades.  ¿En qué año murió? 

Debemos codificar el enunciado y expresar en lenguaje algebraico:

• La diferencia entre sus decenas y sus unidades es 6:  x - y = 6 
• Si invertimos las cifras y lo multiplicamos por 3, obtenemos dicho número más 2:  3·(10y + x) = 10x + y + 2 

Si reordenamos y agrupamos términos obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x - y = 6 ; 29y - 7x = 2

Podemos resolver este sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso, emplearemos sustitución, despejando "x" en la primera ecuación:

 x = 6 + y 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

29y - 7·(6+y) = 2 ;

29y - 42 - 7y = 2 ;

22y = 44

Obtenemos una solución, y = 2. Si la llevamos a la expresión que despejamos antes, logramos que x = 8.

Solución: Santa Teresa de Jesús murió en el año 1582.

 Ejemplo #3 | Santa Teresa de Jesús conoció a San Juan de la Cruz en Medina del Campo en un año del siglo XVI. Ese año es un número de dos cifras cuya suma es 13. Si invertimos las cifras de ese número y le restamos 9, obtenemos dicho número.  ¿En qué año se conocieron? 

Debemos codificar el enunciado y expresar en lenguaje algebraico:

• La suma de sus cifras es 13:  x + y = 13 
• Si invertimos las cifras y le restamos 9, obtenemos dicho número:  10y + x - 9 = 10x + y 

Si reordenamos, agrupamos términos y simplificamosobtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

y + x = 13 ; y - x = 1

Podemos resolver este sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso, emplearemos sustitución, despejando "x" en la primera ecuación:

 x = 13 - y 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

y - (13 - y) = 1 ;

2y = 14

Obtenemos una solución, y = 7. Si la llevamos a la expresión que despejamos antes, logramos que x = 6.

Solución: Santa Teresa de Jesús conoció a San Juan de la Cruz en el año 1567.

 Ejemplo #4 | Santa Teresa de Jesús fundó gran cantidad de conventos a lo largo de su vida. El número está formado por dos cifras cuya suma es 8. Si multiplicamos por 4 ese número y le sumamos 3, obtenemos el número que resulta de invertir sus cifras. ¿Cuántos conventos fundó? 

Transformamos la información del enunciado y la expresamos en lenguaje algebraico:

• La suma de sus cifras es 8:  x + y = 8 
• Si multiplicamos el número por 4 y le sumamos 3, obtenemos el número que resulta de invertir sus cifras:  4·(10x + y) + 3 = 10y + x 

Si reordenamos, agrupamos términos y simplificamos obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 8 ; 13x - 2y = -1

Podemos resolver este sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso, emplearemos reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos. Así conseguimos que:

15x = 15

Obtenemos una solución, x = 1. Si la llevamos a la primera ecuación y despejamos "y", logramos que y = 7.

Solución: Santa Teresa de Jesús fundó 17 conventos, el primero de ellos el de San José (Ávila) en 1562.

 Ejemplo #5 | Santa Teresa de Jesús conoció a San Juan de la Cruz en 1567, y le convenció para unirse a la reforma que había iniciado. La diferencia entre sus edades era entonces de 28 años. En ese momento, el doble de la edad de San Juan de la Cruz más cuatro años era igual al de Santa Teresa. 

Comenzamos identificando nuestras incógnitas:

• "x" : edad de Santa Teresa
• "y" : edad de San Juan de la Cruz

Transformamos la información del enunciado y la expresamos en lenguaje algebraico:

• La diferencia entre sus edades era de 28 años:  x - y = 28 
• El doble de la edad de San Juan de la Cruz más cuatro era igual a la edad de Santa Teresa:  2y + 4 = x 

Si, directamente, resolvemos por sustitución conseguimos que:

(2y + 4) - y = 28

Obtenemos una solución, y = 24. Si la llevamos a la primera ecuación y despejamos "x", logramos que x = 52.

Solución: Las edades de Santa Teresa de Jesús y de San Juan de la Cruz eran, respectivamente, 52 y 24 años.

 Ejercicio final de la actividad | Lleva todos los datos anteriores a una línea temporal que incluya 10 fechas relevantes de la vida de Santa Teresa. Puedes usar cualquier programa que te permita crear un timeline. 

Sistemas de ecuaciones exponenciales

Hasta ahora, los sistemas de ecuaciones no lineales vistos en las entradas anteriores de este blog contenían solamente ecuaciones algebraicas. Cuando en alguna de las ecuaciones del sistema (o en ambas) aparece alguna expresión exponencial o logarítmica, el sistema de ecuaciones dejará automáticamente de ser lineal.

A la hora resolverlos disponemos de diferentes métodos. En cada caso nos tendremos que adaptar a la forma que presenten las ecuaciones. A lo largo de los siguientes ejemplos intentaremos analizar varios sistemas de ecuaciones exponenciales y optar por el método más adecuado.

 Ejemplo #1 | 2^x + 5^y = 9, 2^(x+2) - 5^(y-1) = 15 

Para comenzar, aplicaremos las propiedades de las potencias para dejar las expresiones exponenciales en la forma más simple posible. Así:

       2^x +   5^y  =  9

2^x·2^2 - 5^y/5  = 15

A continuación vamos a aplicar un doble cambio de variable, a = 2^x y b = 5^y, de modo que tras introducir ese cambio obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:

  a +     b =  9

4a - b / 5 = 15

Para resolver este sistema vamos a eliminar el denominador de la segunda ecuación multiplicando por 5. El sistema resultante puede ser resuelto directamente por reducción:

    a + b = 9

20a  - b = 75    +  

------------------------

 21a     =  84

Se consigue una solución, a = 4. Si sustituimos en la primera ecuación y despejamos "b" logramos la solución correspondiente b = 5.

Para concuir el ejemplo es necesario deshacer los dos cambios de variable:

• Si a = 4 → 2^x = 4 → 2^x = 2^2 → x = 2
• Si b = 5 → 5^y = 5 → 5^y = 5^1 → y = 1

Por tanto, hemos obtenido una pareja de soluciones, x = 2 e y = 1, que verifican las dos ecuaciones del sistema original.

Sistemas de ecuaciones no lineales (8)

En esta entrada se incluyen más ejemplos fruto de la colaboración de nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | x^2 +y^2 = 25; x + y = 7. Vania Navarro Lazarte. David Vaca Haro. 

En primer lugar despejamos "y" en la segunda ecuación:

 

 y = 7 - x 

Sustituimos en la primera ecuación y operamos:

x^2 + (7 - x )^2 = 25;

x^2 + 49 - 14x + 24 = 0;

x^2 - 7x + 12 = 0

Se realiza la ecuación de segundo grado, consiguiendo dos soluciones, x = 4 y x = 3. Las llevamos a la expresión que despejamos al principio para calcular los valores correspondientes de "y", logrando dos parejas de soluciones :

• x1 = 3 → y1 = 3
• x2 = 4 → y2 = 4

 Ejemplo #2 | x^2 - y^2 = 21 ; x + y = 7. 

La resolución de estos sistemas no lineales se suele realizar mediante el método de sustitución, siguiendo los siguientes pasos.En primer lugar se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente la de 1º grado, dado que es mas fácil:

 y = 7 - x 

Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación:

x^2 - (7 - x)^2  = 21

Se resuelve la ecuación resultante conseguida al operar y agrupar términos. Hemos de realizar la identidad notable (7 - x)^2 y pasar el 25 al otro miembro:

    

x^2 - 49 + 14x - x^2 = 21;

14x = 70

Obtenemos una ecuación de 1er grado y, por tanto, una única solución, x = 5. Al llevarla a la expresión para obtener la solución correspondiente en "y" conseguimos una pareja de soluciones:

• x = 5 → y = 2

Sistemas de ecuaciones no lineales (7)

Estos son dos ejemplos más enviados por nuestros compañeros sobre sistemas de ecuaciones no lineales.

 Ejemplo #1 | x^2 + y^2 = 25; x + y = 7. Jorge López Nevado. 

Despejamos "y" en la segunda ecuación:

 y = 7 - ­ x 

Sustituimos en la primera ecuación, y obtenemos una ecuación de 2º grado. Operamos:

x^2 + (7 - ­ x)^2 = 25;

x^2 + 49 ­ - 14x + x^2 = 25;

2x^2 ­ - 14x + 24 = 0;

x^2 ­ - 7x + 12 = 0

Aplicamos la fórmula de las ecuaciones de 2º grado y conseguimos las soluciones x = 3 y x = 4. Debemos sustituir esos valores de "x" para obtener los correspondientes de la incógnita "y". Se logran estas dos parejas de soluciones (válidas, se puede comprobar en el sistema original):

• x1 = 3 → y1 = 4
• x2 = 4 → y2 = 3

 Ejemplo #2 | 2^x - 5^y = 3; 2^(x+2) - 5^(y+1) = 7. Javier Romero González. 

Se trata de un sistema de ecuaciones exponenciales, ya que las dos incógnitas se encuentran en el exponente de sendas potencia. A la hora de resolverlos, podemos usar varios métodos. En este caso usaremos reducción. Para ello, es necesario dejar en ambas ecuaciones las mismas expresiones exponenciales. Lo conseguimos aplicando las propiedades de las potencias:

    2^x -     5^y = 3

 4·2^x - 5·5^y = 7

Para reducir, multiplicamos la primera ecuación por (-4):

-4·2^x + 4·5^y = -12

 4·2^x -  5·5^y =  7      + 

----------------------------

     /     -  5^y  =  -5

Así pues: 5^y = 5. Obtenemos que y = 1. Para conseguir el valor correspondiente de "x", lo más sencillo en sustituir el valor de "y" en la primera ecuación y resolver una ecuación exponencial sencilla:

2^x - 5 = 3;

2^x = 8;

2^x = 2^3;

x = 3

En resumen, hemos obtenido una pareja de soluciones, que es válida:

• x = 3 → y = 1

El sistema del Ejemplo #2 se podría haber resuelto mediante un doble cambio de varable: a = 2^x, b = 5^y. Así el sistema se convierte en un sistema de ecuaciones lineales.

Después de aplicar el doble cambio de variable y multiplicar la primera ecuación por (-4) queda:

-4a + 4b = -12

 4a  - 5b =   7      + 

----------------------------

     /  -b  =  -5

Conseguimos que b = 5. Para calcular el valor de "a" correspondiente, lo más sencillo es sustituir en la primera ecuación:

a - b = 3;

a = 8

Para terminar nuestro sistema debemos deshacer los cambios:

• Si a = 8 → 2^x = 8 → 2^x = 2^3 → x = 3
• Si b = 5 → 5^y = 5 → 5^y = 5^1 → y = 1

Sistemas de ecuaciones no lineales (6)

Aquí incluimos varios ejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales resueltos por varios de nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | x^2 + y^2 = 10 ; x + y = 4. Marta Pérez Puentes. 

Despejamos "x" en la segunda ecuación:

 x = 4 - y 

Sustituimos teniendo en cuenta las identidades notables :

(4-y)^2 + y^2 = 10;

16 - 8y + y^2+ y^2 = 10;

2y^2 – 8y + 6 = 0

Resolvemos ecuación de segundo grado, en la que obtenemos como resultados dos soluciones y = 3 / y = 1. Sustituimos las soluciones de la ecuación de segundo grado la expresión donde despejamos "x".

• y1 = 3 → x1 = 1
• y2 = 1 → x2 = 3

Ambas parejas de soluciones son válidas.

 Ejemplo #2 | 2x + y^2 - y = 4; y^2 - x = 3. Juan de la Cruz Padilla. 

En primer lugar debemos de despejar una incógnita en la segunda ecuación. Vamos a despejar "x" por simplicidad. 

 x = y^2 - 3 

Ahora sustituimos en la primera ecuación y queda:

2·(y^2-3) + y^2 - y = 4

Simplificamos:

3y^2 - y - 10 = 0

Esto es una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son y = 2 e y = -5/3. A continuación los valores de "x" los obtendremos sustituyendo esos valores en la expresión despejada. Se consiguen dos parejas de soluciones:

• Si y = 2 → x =1
• Si y = -5/3 → x = -2/9

Por tanto, en resumen, las soluciones de este sistema son:

• x1 = 1 → y1 = 2
• x2 = -2/9 → y2 = -5/3 

Ambas parejas de soluciones son válidas.

Sistemas de ecuaciones no lineales (5)

Estos son los ejemplos sobre sistemas de ecuaciones no lineales enviados por dos de nuestros compañeros.

​ Ejemplo #1 | 2x - y = 1; y^2 - 2x^2 = 7​. Silvia Osuna. 

Resolvemos por sustitución:

 y = 1 + 2x 

Sustituimos en la 2ª  ecuación:

(1+2x)^2 - 2x^2 = 7;

1 + 4x + 4x^2 - 2x^2 = 7

Agrupamos y ordenamos la ecuación:

2x^2 + 4x - 6 = 0;

x^2 + 2x - 3 = 0

Hacemos la fórmula de la ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones de "x". Con esos dos valores, volvemos a la expresión de "y" obteniendo las dos parejas de soluciones:

• x1 = 1, y1 = 3

• x2 = -3, y2 = -5

Por último tendríamos que comprobar en las ecuaciones originales.

 Ejemplo #2 | x^2 + y^2 = 169 ; x + y = 17. Gonzalo Luque. 

Resolvemos por sustitución. Despejamos la "x" en la 2ª ecuación:

 x = 17 - y 

Sustituimos en la 1ª ecuación, y nos aparece una identidad notable:

(17-y)^2 + y^2 = 169;

289 - 34y + y^2 + y^2 = 169

Simplificamos y agrupamos:

y^2 - 17y + 60 = 0

Aplicamos la ecuación de 2º grado y nos da dos soluciones de "y" con la que obtenemos otras dos soluciones de "x" sustituyendo:

• y1 = 12 , x1 = 5
• y2 = 5 , x2 = 12

Las dos parejas de soluciones verifican el sistema de ecuaciones original, por lo que son válidas.

Sistemas de ecuaciones no lineales (4)

A continuación incluimos otro ejemplo más sobre sistemas de ecuaciones no lineales. Debemos agradecer su aportación a uno de nuestros compañeros, Carlos Pérez Aguilar, que ha hecho un muy buen trabajo.

 Ejemplo #1 | 2x - y = -1 ; y^2 - 2x^2 = 7 

Vamos a resolver este sistema por sustitución. Para ello despejamos la incognita "y" en la 1ª ecuación:

 y = 1 + 2x 

Sustituimos en la 2ª ecuación, teniendo en cuenta que aparece una identidad notable:

(1 + 2x)^2 - 2x^2 = 7

1 + 4x + 4x^2 - 2x^2 = 7

Agrupamos y ordenamos, obteniendo una ecuación de 2º grado, que también vamos a simplificar:

2x^2 + 4x - 6 = 0;

x^2 + 2x - 3 = 0

Aplicamos la fórmula de la ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones de la incógnita "x". Con dichas soluciones obtenemos las correspondientes soluciones de "y":

• x1 = 1 ; y1 = 3
• x 2= -3 ; y2 = -5

Para finalizar, tenemos que comprobar esas dos parejas de soluciones en las ecuaciones originales. Ambas son válidas.

Ejercicios de repaso de la Unidad 3

En el siguiente enlace podréis encontrar una colección de ejercicios de repaso de la Unidad 3.

Ejercicios de Repaso de la Unidad 3

Sistemas de ecuaciones no lineales (3)

Los sistemas de ecuaciones no lineales, al igual que los sistemas lineales, pueden ser resueltos mediante representación gráfica. Para ello, es necesario tener cierta destreza a la hora de transformar nuestras ecuaciones en funciones explícitas, es decir, funciones en las que aparece despejada la variable "y".

Sólo en algunos casos, dicha representación gráfica será un proceso sencillo. En la mayoría de las ocasiones vamos a enfrentarnos a funciones que no sabemos representar con las herramientas matemáticas de las que disponemos en este nivel.

Sin embargo, existe una infinidad de aplicaciones, sea cual sea la plataforma que utilicemos (web, Windows, Mac, Android, Linux...), que permiten representar gráficamente cualquier función con solo introducir su expresión. La inmensa mayoría de ellas incluso nos permite representar simultáneamente varias funciones en una misma gráfica, lo cual es perfecto para encontrar su intersección.

En esta entrada del blog vamos a centrarnos en el buscador de Google, ya que, si expresamos adecuadamente nuestros términos de búsqueda, se convierte en una herramienta de representación gráfica tremendamente potente. Al margen de esto, resulta una herramienta multiplataforma, puesto que podemos hacer uso de ella desde nuestro ordenador (portátil o sobremesa), tablet, móvil o incluso smart TV. Es más, no importa qué navegador estemos usando (Firefox, Chrome, Safari, Explorer...).

 Ejemplo #1 | 3xy + x = 7 ; x + 2y = 5 

Como hemos mencionado, vamos a resolver este sistema por el método gráfico. Para ello debemos multiplicar despejar la incógnita "y" en ambas ecuaciones, transformándolas así en funciones explícitas:

 y = ( 5 - x ) / 2 
 y = ( 7 - x ) / 3x 

Si queremos representar gráficamente ambas funciones usando Google, solamente tenemos que escribir en el cuadro de búsqueda esas dos expresiones separadas por una coma tal y como mostramos en el cuadro verde:

El resultado de nuestra representación gráfica son dos funciones que podemos distinguir porque aparecen con colores diferentes. En este caso, hay dos intersecciones y, por tanto, dos parejas de soluciones. Para expresarlas correctamente, sería recomendable hacer zoom sobre cada una de ellas y anotar las coordenadas "x" e "y" de ambos puntos.

Este método tiene un inconveniente, puesto que si las soluciones son números que no coinciden con una división de los ejes, solamente podremos obtener una aproximación de la misma. Para obtener las soluciones exactas no hay que emplear los otros métodos.

Si seguimos el método de sustitución para resolver este mismo sistema de ecuaciones no lineal alcanzamos dos soluciones también:

• x1 = 1 ; y1 = 2
• x2 = 14/3 ; y2 =1/6

Una vez llevadas al sistema de ecuaciones original, comprobamos que ambas parejas de soluciones son válidas.

Sistemas de ecuaciones no lineales (2)

En una de las entradas anteriores sobre sistemas de ecuaciones no lineales se resolvieron un par de ejemplos en los que utilizamos el método de sustitución. La mayoría de los casos solamente pueden ser resueltos de esta manera.

Sin embargo, algunos sistemas se pueden resolver mediante reducción. Para ello es necesario que las incógnitas aparezcan elevadas al mismo exponente en ambas ecuaciones y que todos los monomios estén separados por signos + o -.

 Ejemplo #1 | x^2 + 2y^2 = 9 ; 2x^2 + y^2 = 6 

Como hemos mencionado, vamos a resolver este sistema  por el método de reducción. Para ello debemos multiplicar una ecuación por un número, la otra por otro número (si fuera necesario) y posteriormente sumar o restar las ecuaciones resultantes.

En nuestro caso, vamos a multiplicar la primera ecuación  por (-2):

-2x^2 - 4y^2  = -18

 2x^2 + y^2   =  6       + 

-----------------------------

    /      -3y^2 = -12

Tras simplificar la ecuación por -3, obtenemos una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"):

y^2 = 4

Tomamos la raíz cuadrada y se logran dos soluciones distintas para la variable "y". Con esas soluciones, debemos obtener los valores correspondientes de "x". Es necesario despejar esa variable en alguna de las ecuaciones originales:

 x = sqrt ( 9 - 2y^2 ) 

Conseguimos las siguientes parejas de soluciones:

• x1 = -2 ; y1 = -1
• x2 = -2 ; y2 = 1
• x3 = 2 ; y3 = -1
• x4 = 2 ; y4 = 1

Debemos comprobar las cuatro parejas de soluciones en el sistema de ecuaciones original. Vemos que todas son soluciones válidas.

 Ejemplo #2 | x^2 + 5y^2 = 29 ; 3x^2 - y^2 = 23 

Vamos a resolver este sistema  por el método de reducción. Para ello multiplicaremos la segunda ecuación por 5 para eliminar la variable "y":

    x^2 + 5y^2  = 29

15x^2  - 5y^2  = 115       + 

--------------------------------

16x^2       /      = 144

Tras simplificar la ecuación por 16, obtenemos una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"):

x^2 = 9

Tomamos la raíz cuadrada y se logran dos soluciones distintas para la variable "x". Con esas soluciones, debemos obtener los valores correspondientes de "y". Es necesario despejar esa variable en alguna de las ecuaciones originales:

 y = sqrt ( 3x^2 - 23 ) 

Conseguimos las siguientes parejas de soluciones:

• x1 = -3 ; y1 = -2
• x2 = -3 ; y2 =2
• x3 = 3 ; y3 = -2
• x4 = 3 ; y4 =2

Debemos comprobar las cuatro parejas de soluciones en el sistema de ecuaciones original. Vemos que todas son soluciones válidas.

Sistemas de ecuaciones no lineales

Los sistemas de ecuaciones pueden clasificarse en dos grupos bien diferenciados: los sistemas lineales y los no lineales.

Para que un sistema de ecuaciones se considere lineal, los monomios que contienen a las incógnitas deben tener grado 1. Es decir, cada incógnita puede aparecer, a lo sumo, multiplicada por un número o coeficiente, pero nunca elevada a un exponente 2 o superior ni en un producto con otras incógnitas.

Estos sistemas ya se han estudiado en cursos anteriores y pueden resolverse por cualquiera de los métodos vistos entonces: sustitución, igualación, reducción, doble reducción, representación gráfica para localizar la intersección, etc.

Cualquier otro sistema que no cumpla esos requisitos se considera no lineal. A la hora de resolverlos no hay una norma general que nos permita a priori saber qué camino es más ventajoso o nos permite alcanzar la solución más rápidamente.

Mi consejo es intentar resolver por sustitución, echando un vistazo a la forma que poseen las ecuaciones para despejar la incógnita que resulte más fácil. También hay que tener en cuenta que, al sustituir en la otra ecuación, la expresión obtenida no sea excesivamente compleja.

 Ejemplo #1 | x·y = 6 ; x^2 + y^2 = 13 

Este es un sistema de ecuaciones no lineal, ya que en la primera ecuación aparece el producto de las dos incógnitas "x" e "y" y en la segunda ecuación ambas aparecen elevadas al cuadrado.

Para resolverlo hay multitud de opciones. En nuestro caso, vamos a despejar "y" en la primera ecuación para sustituirla en la segunda. Así pues:

 y = 6 / x 

x^2 + (6/x)^2 = 13;

x^2 + 36 / x^2 = 13

Obtenemos una ecuación racional (hay una "x" en un denominador). Sin embargo, haciendo el MCM podemos transformarla en una ecuación polinómica de 4º grado. Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda:

x^4 - 13x^2 + 36 = 0

Vemos que se trata de una ecuación bicuadrada, que podemos resolver aplicando un cambio de variable, t = x^2. Tras ese cambio, la ecuación resultante es de 2º grado en "t":

t^2 - 13t + 36 = 0

Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de 2º grado, obteniendo dos soluciones para la incógnita "t", que son t = 4 y t = 9. Ahora debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = -2 y x = +2
• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = -3 y x = +3

Con esas cuatro soluciones debemos irnos a la expresión resaltada y sustituir para obtener los valores correspondientes de la "y":

• x1 = -2 ; y1 = -3
• x2 = 2 ; y2 = 3
• x3 = -3 ; y3 = -2
• x4 = 3 ; y4 = 2

Como siempre, podemos comprobar esas cuatro parejas de soluciones en el sistema de ecuaciones original.

 Ejemplo #2 | x + y = 7 ; x · y = 10 

Este es un sistema de ecuaciones no lineal, ya que en la segunda ecuación aparece el producto de las dos incógnitas "x" e "y". Vamos a resolverlo despejando "y" en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:

 y = 7 - x 

x·(7 - x) = 10;

Logramos una ecuación de 2º grado. Tras operar y pasar todos los términos a uno de los dos miembros, conseguimos la siguiente ecuación:

x^2 - 7x + 10 = 0

Aplicamos la fórmula de la ecuación de 2º grado, de modo que alcanzamos dos soluciones, x = 2 y x = 5. Las llevamos a la expresión resaltada y obtenemos dos parejas de soluciones:

• x1 = 2 ; y1 = 5
• x2 = 5 ; y1 = 2

Como siempre, podemos comprobar esas cuatro parejas de soluciones en el sistema de ecuaciones original.