Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales (2)

Mientras intento pasar estos ejemplos a formato electrónico, aquí os dejo temporalmente la resolución hecha de mi puño y letra.

 Ejemplo # 1 

 Ejemplo #2 

Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Tal y como hemos visto en clase, algunos sistemas de ecuaciones pueden contener una ecuación logarítmica y otra exponencial. Suelen ser sistemas aparentemente difíciles, pero que en realidad son bastante sencillos. El motivo es que, para que seamos capaces de resolverlos en nuestro nivel, tienen que venir preparados.

 Ejemplo # 1 | log2(x) + 2·log2(y) = 1 ; 2^x · 4^y = 16 [ Sol.: x = 2, y = 1 ]. 

En primer lugar, se trata de realizar todas las transformaciones necesarias en ambas ecuaciones para convertirlas en ecuaciones algebraicas.

• 1ª Ecuación: log2(x) + 2·log2(y) = 1 ⇔ log2(x·y^2) = 1 ⇔ x·y^2 = 2^1 ⇔ x·y^2 = 2
• 2ª Ecuación: 2^x · 4^y = 16 ⇔ 2^x · 2^(2y) = 2^4 ⇔ 2^(x+2y) = 2^4 ⇔ x+2y = 4

 Si observamos bien, el sistema que debemos resolver es un sistema de ecuaciones no lineales:

x·y^2 = 2 ; x+2y = 4

Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución, despejando "x" en la segunda ecuación:

 x = 4 - 2y 

Y sustituimos en la primera:

(4 - 2y)·y^2 = 2

Después de agrupar y ordenar obtenemos una ecuación de tercer grado:

2y^3 - 4y^2 + 2 = 0 ;

y^3 - 2y^2 + 1 = 0

De esa ecuación obtenemos una única solución, y = 1 (aplicando Ruffini, por ejemplo). Para ese valor de "y", calculamos el valor correspondiente de "x". Así, obtenemos una pareja de soluciones, x = 2 e y = 1. Al comprobarlas en el sistema original, vemos que son correctas.

 Ejemplo #2 | 9^x · 3^y = 9 ; log2(x+4) + log2(y) = 3 [ Sol.: x = 0, y = 2 ]. 

En primer lugar, se trata de realizar todas las transformaciones necesarias en ambas ecuaciones para convertirlas en ecuaciones algebraicas.

• 1ª Ecuación: 9^x · 3^y = 9 ⇔ 3^(2x) · 3^y = 3^2 ⇔ 3^(2x+y) = 3^2 ⇔ 2x+y = 2
• 2ª Ecuación: log2(x+4) + log2(y) = 3 ⇔ log2[(x+4)·y] = 3 ⇔ (x+4)·y = 2^3 ⇔ (x+4)·y = 8

 Si observamos bien, el sistema que debemos resolver es un sistema de ecuaciones no lineales:

2x+y = 2 ; (x+4)·y = 8

Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 y = 2 - 2x 

Y sustituimos en la segunda:

(x+4)·(2-2x) = 8

Después de operar, agrupar y ordenar obtenemos una ecuación de 2º grado:

2x - 2x^2 + 8 - 8x = 8 ;

-2x^2 - 6x = 0 ;
-2x·(x+3) = 0

De esa ecuación de 2º grado incompleta obtenemos dos soluciones: x = 0 y x = -3. Para estos valores de "x", calculamos los valores correspondientes de "y". Así, obtenemos dos parejas de soluciones:

• x1 = 0 , y1 = 2.
• x2 = -3 , y2 = 8.

Al comprobarlas en el sistema original, vemos que ambas parejas son correctas.

Ejercicios de repaso

A raíz de las peticiones de muchos de vosotros hoy en clase, en esta entrada disponéis de varios tipos de ejercicios que forman parte de los contenidos a evaluar en la prueba de mañana martes. No prometo nada, pero intentaré dejar resueltos algunos de ellos en otra entrada de este blog.

• Sistemas de ecuaciones logarítmicas/exponenciales:
• log2(x) - 2·log2(y) = 1 ; 2^x · 4^y = 16 [ Sol.: x = 2, y = 1 ]
• 9^x · 3^y = 9 ; log2(x+4) + log2(y) = 3 [ Sol.: x = 0, y = 2 ]
• 5^x · 5^(2y-1) = 625 ; log2(x) - log2(y) = -1 [ Sol.: x = 1, y = 2 ]
• log3(2+x) + log3(y) = 2 ; 2^x · 2^(4-y) = 4 [Sol.: x = 1, y = 3 ]
• Sistemas de inecuaciones con dos variables:
• 2x+5y < 3 ; 3x-2y > -1
• 3x+y > 0 ; 4x-3y < 5
• y < 5 ; 2x-3y < 4
• y > -2 ; x+2y < 6
• Sistemas de inecuaciones con una variable:
• x^3 - 16x ≥ 0 ; 2x + 1 > 5
• x^2 - 5x - 6 < 0 ; x^3 - 2x^2 ≤ 0
• x^2 - 4x > 0 ; x^3 + 1 ≤ 0
• 2x + 7 > 1 ; x^2 - x - 12 ≤ 0

Sistemas de ecuaciones exponenciales

Hasta ahora, los sistemas de ecuaciones no lineales vistos en las entradas anteriores de este blog contenían solamente ecuaciones algebraicas. Cuando en alguna de las ecuaciones del sistema (o en ambas) aparece alguna expresión exponencial o logarítmica, el sistema de ecuaciones dejará automáticamente de ser lineal.

A la hora resolverlos disponemos de diferentes métodos. En cada caso nos tendremos que adaptar a la forma que presenten las ecuaciones. A lo largo de los siguientes ejemplos intentaremos analizar varios sistemas de ecuaciones exponenciales y optar por el método más adecuado.

 Ejemplo #1 | 2^x + 5^y = 9, 2^(x+2) - 5^(y-1) = 15 

Para comenzar, aplicaremos las propiedades de las potencias para dejar las expresiones exponenciales en la forma más simple posible. Así:

       2^x +   5^y  =  9

2^x·2^2 - 5^y/5  = 15

A continuación vamos a aplicar un doble cambio de variable, a = 2^x y b = 5^y, de modo que tras introducir ese cambio obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:

  a +     b =  9

4a - b / 5 = 15

Para resolver este sistema vamos a eliminar el denominador de la segunda ecuación multiplicando por 5. El sistema resultante puede ser resuelto directamente por reducción:

    a + b = 9

20a  - b = 75    +  

------------------------

 21a     =  84

Se consigue una solución, a = 4. Si sustituimos en la primera ecuación y despejamos "b" logramos la solución correspondiente b = 5.

Para concuir el ejemplo es necesario deshacer los dos cambios de variable:

• Si a = 4 → 2^x = 4 → 2^x = 2^2 → x = 2
• Si b = 5 → 5^y = 5 → 5^y = 5^1 → y = 1

Por tanto, hemos obtenido una pareja de soluciones, x = 2 e y = 1, que verifican las dos ecuaciones del sistema original.