Ejercicios de repaso

A raíz de las peticiones de muchos de vosotros hoy en clase, en esta entrada disponéis de varios tipos de ejercicios que forman parte de los contenidos a evaluar en la prueba de mañana martes. No prometo nada, pero intentaré dejar resueltos algunos de ellos en otra entrada de este blog.

• Sistemas de ecuaciones logarítmicas/exponenciales:
• log2(x) - 2·log2(y) = 1 ; 2^x · 4^y = 16 [ Sol.: x = 2, y = 1 ]
• 9^x · 3^y = 9 ; log2(x+4) + log2(y) = 3 [ Sol.: x = 0, y = 2 ]
• 5^x · 5^(2y-1) = 625 ; log2(x) - log2(y) = -1 [ Sol.: x = 1, y = 2 ]
• log3(2+x) + log3(y) = 2 ; 2^x · 2^(4-y) = 4 [Sol.: x = 1, y = 3 ]
• Sistemas de inecuaciones con dos variables:
• 2x+5y < 3 ; 3x-2y > -1
• 3x+y > 0 ; 4x-3y < 5
• y < 5 ; 2x-3y < 4
• y > -2 ; x+2y < 6
• Sistemas de inecuaciones con una variable:
• x^3 - 16x ≥ 0 ; 2x + 1 > 5
• x^2 - 5x - 6 < 0 ; x^3 - 2x^2 ≤ 0
• x^2 - 4x > 0 ; x^3 + 1 ≤ 0
• 2x + 7 > 1 ; x^2 - x - 12 ≤ 0

Sistemas de inecuaciones (7). Dos variables.

En algunos sistemas de inecuaciones, alguna de las inecuaciones puede tener solamente una de las dos variables. Para expresar adecuadamente esas desigualadades es necesario saber representar gráficamente expresiones del tipo y = cte (recta horizontal) o x = cte (recta vertical).

• Cuando nos encontramos una inecuación como y > 3, lo primero que vamos a hacer es convertirla en una ecuación: y = 3. Para hacer una tabla de valores, resulta muy fácil ver que, valga lo que valga la "x", la "y" tomará siempre el valor 3. Por lo tanto, al hacer la representación gráfica de esa recta, el resultado será una recta horizontal que divide el plano en dos semiplanos. El último paso consiste en decidir cuál de esos semiplanos forma parte de la solución. En este caso, tomamos el semiplano que está por encima de la recta y = 3, ya que los puntos que están en ese semiplano son los que cumplen la inecuación. Los que están por debajo no la cumplen y habría que tachar ese semiplano.
• Cuando nos encontramos una inecuación como x > -2, lo primero que vamos a hacer es convertirla en una ecuación: x = -2. Para hacer una tabla de valores, resulta muy fácil ver que, valga lo "x" siempre vale -2, tome el valor que tome la "y". Por lo tanto, al hacer la representación gráfica de esa recta, el resultado será una recta vertical que divide el plano en dos semiplanos. El último paso consiste en decidir cuál de esos semiplanos forma parte de la solución. En este caso, tomamos el semiplano que está a la derecha de la recta x = -2, ya que los puntos que están en ese semiplano son los que cumplen la inecuación. Los que están a la izquierda no la cumplen y habría que tachar ese semiplano.

 Ejemplo #1 | x-y < 2 ; y > -1. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• x-y = 2 →  y = x-2  → Puntos  A(0, -2) y B(2, 0) 
• y = -1 →  y = -1  → Puntos  C(0, -1) y D(3, -1) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = x - 2 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Habrá una región válida, que cumple la condición x - y < 2,  y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 3x - y < 4. El punto O(0, 0) se encuentra por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 0-0 < 2, por lo que sí cumple la inecuación.
3. Tomamos el punto Q(0, -4) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-4, vemos que 0-(-4) > 2, no verifica la inecuación y debemos tachar este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = -1 ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique y > -1 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión y > -1. El punto O(0, 0) se encuentra por encima de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 0 > -1, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(0, -2), que está por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=-2, -2 < -1, por lo que no cumple la inecuación y debemos tachar este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

Sistemas de inecuaciones (6). Dos variables.

 Ejemplo #1 | 3x-y < 4 ; 2x+y > 3. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• 3x-y = 4 →  y = 3x-4  → Puntos  A(1, -1) y B(2, 2) 
• 2x+y = 3 →  y = 3-2x  → Puntos  C(0, 3) y D(2, -1) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = 3x - 4 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Habrá una región válida, que cumple la condición 3x - y < 4,  y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 3x - y < 4. El punto O(0, 0) se encuentra por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 3·0-0 < 4, por lo que sí cumple la inecuación.
3. Tomamos el punto Q(0, -6) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-6, vemos que 3·0-(-6) > 4, no verifica la inecuación y debemos tachar este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 3 - 2x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 2x+y > 3 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 2x+y > 3. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 2·0+0 < 3, por lo que no cumple la inecuación y debemos tachar este semiplano.
3. Tomamos el punto S(0, 4), que está por encima. Al sustituir x=0 e y=4, 2·0+4 > 3, por lo que verifica la inecuación y esta es la región válida.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

 Ejemplo #2 | 5x+2y < 2 ; x+3y < 3. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• 5x + 2y = 2 →  y = (2-5x) / 2  → Puntos  A(0, 1) y B(2, -4) 
• x + 3y = 3 →  y = (3-x) / 3  → Puntos  C(0, 1) y D(3, 0) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = (2-5x)/2 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Al igual que en las inecuaciones polinómicas de primer grado, habrá una región válida, que cumple la condición 5x + 2y < 2 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 5x + 2y < 2. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0 vemos que 5·0+2·0 < 2. Como verifica la inecuación, este semiplano forma parte de la región válida.
3. Tomamos el punto P(0, 2) se encuentra por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=2 vemos que 5·0+2·2 > 2. Como no verifica la inecuación, tachamos este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = (3-x)/3 ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique x + 3y < 3 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión x + 3y < 3. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 0+3·0 < 3, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(3, 2). Al sustituir x=3 e y=2, 3+3·2 > 3, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

Sistemas de inecuaciones (5). Dos variables.

 Ejemplo #1 | 4x-y < 1 ; 2x+3y > 2. Marta Pérez Puentes. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• 4x-y = 1 →  y = 4x-1  → Puntos  A(1, 3) y B(0, -1) 
• 2x+3y = 2 →  y = (2-2x) / 3  → Puntos  C(1, 0) y D(-2, 2) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = 4x - 1 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Habrá una región válida, que cumple la condición 4x - y < 1  y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 4x - y < 1. El punto O(0, 0) se encuentra por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 4·0-0 < 1, por lo que sí cumple la inecuación y forma parte de la región válida.
3. Tomamos el punto Q(0, -2) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-2, vemos que 4·0-(-2) > 1, por lo que no verifica la inecuación y debemos tachar este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = (2-2x) / 3 ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 2x+3y > 2 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 2x+3y > 2. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 2·0+3·0 < 2, por lo que no cumple la inecuación y debemos tachar este semiplano.
3. Tomamos el punto S(0, 2), que está por encima. Al sustituir x=0 e y=2, 2·0+3·2 > 2, por lo que verifica la inecuación y esta es la región válida.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

 Ejemplo #2 | x-2y < -1 ; 3x+y < 3. Marta Pérez Puentes y Pablo Rivero Mohedano. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• x - 2y = -1 →  y = (x+1) / 2  → Puntos  A(1, 1) y B(3, 2) 
• 3x + y = 3 →  y = 3-3x  → Puntos  C(1, 0) y D(0, 3) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = (x+1)/2 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Al igual que en las inecuaciones polinómicas de primer grado, habrá una región válida, que cumple la condición x -2y < -1 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión x -2y < -1. El punto Q(1, 2) se encuentra a la izquierda y por encima de la recta azul. Al sustituir x=1 e y=2 vemos que 1-2·2 < -1. Como verifica la inecuación, esta es la región válida.
3. Tomamos el punto Q(1, -2) se encuentra a la derecha y por debajo de la recta azul. Al sustituir x=1 e y=-2 vemos que 1-2·(-2) > -1. Como no verifica la inecuación, tachamos este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 3-3x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 3x + y < 3 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 3x + y < 3. El punto R(-3, 2) se encuentra a la izquierda de la recta roja. Al sustituir x=-3 e y=2, vemos que 3·(-3)+2 < 3, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(3, 2). Al sustituir x=3 e y=2, 3·3+2 < 3, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

Sistemas de inecuaciones (4). Dos variables.

 Ejemplo #1 | 3x+2y > 6 ; 5x+y < 1. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• 3x + 2y = 6 →  y = (6-3x) / 2  → Puntos  A(0, 3) y B(2, 0) 
• 5x + y = 1 →  y = 1-5x  → Puntos  C(0, 1) y D(1, -4) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = (6-3x) / 2 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Habrá una región válida, que cumple la condición 3x + 2y > 6 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 3x + 2y > 6. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 3·0+2·0 < 6, por lo que no cumple la inecuación y debemos tachar este semiplano.
3. Tomamos el punto Q(0, 4) que está por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=4, vemos que 3·0+2·4 > 0, por lo que verifica la inecuación.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 1-5x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 5x+y < 1 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 5x+y < 1. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 5·0+0 < 1, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(0, -2), que está por encima. Al sustituir x=0 e y=-2, 5·0+(-2) > 1, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

 Ejemplo #2 | 4x-3y > 1 ; 2x+y < 6. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• 4x - 3y = 1 →  y = (4x-1) / 3  → Puntos  A(0, 1) y B(4, 5) 
• 2x + y = 6 →  y = 6-2x  → Puntos  C(0, 6) y D(3, 0) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = (4x-1)/3 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Al igual que en las inecuaciones polinómicas de primer grado, habrá una región válida, que cumple la condición 4x - 3y > 1 y otra que no. En este caso, se trata de regiones que tienen dos dimensiones: no se trata de conjuntos de valores, sino de conjuntos de puntos del plano. 
2. Para averiguar cuál de los dos semiplanos es válido y cuál no, debemos tomar un punto al azar que pertenezca a cada una de las dos regiones. Para comprobarlo, sustituiremos los valores de "x" e "y" de esos puntos en la desigualdad. Tomamos el punto O(0, 0) que está por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 4·0-3·0 < 1, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.
3. Tomamos el punto Q(0, -3) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-3, vemos que 4·0-3·(-3) > 1, por lo que verifica la desigualdad y es la solución válida.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 6-2x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 2x+y < 6 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 2x-y < 0. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 2·0+0 < 6, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(2, 4). Al sustituir x=2 e y=4, 2·2+4 > 6, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

Sistemas de inecuaciones (3). Dos variables.

Los sistemas de inecuaciones tratados en las entradas anteriores poseían una sola variable, "x". La forma de resolverlos es mediante una representación sobre la recta real de la solución de cada una de las inecuaciones por separado para, más tarde, buscar la intersección de esas soluciones. Alcanzar una solución y poder expresarla en lenguaje matemático es una tarea relativamente sencilla.

Sin embargo, existen sistemas de inecuaciones con dos variables, "x" e "y". Encontrar la solución de este tipo de sistemas resultará más laborioso. En nuestro nivel, expresarla en lenguaje matemático, casi imposible. Por lo tanto, nos vamos a conformar con poder alcanzar la solución y saber expresarla gráficamente.

Veámoslo a través de una serie de ejemplos resueltos.

 Ejemplo #1 | x+3y > 0 ; 2x-y < 0. 

Para resolver este tipo de sistemas vamos a emplear un método gráfico que guarda grandes semejanzas con el método gráfico usado al resolver sistemas de ecuaciones lineales. En realidad, si nos fijamos bien, nuestro sistema de inecuaciones tiene el mismo aspecto que los sistemas de ecuaciones lineales, salvo porque aparecen signos de desigualdad.

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• x + 3y = 0 →  y = -x/3  → Puntos  A(0, 0) y B(3, -1) 
• 2x - y = 0 →  y = 2x  → Puntos  C(0, 0) y D(3, 6) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = -x/3 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Al igual que en las inecuaciones polinómicas de primer grado, habrá una región válida, que cumple la condición x+3y > 0 y otra que no. En este caso, se trata de regiones que tienen dos dimensiones: no se trata de conjuntos de valores, sino de conjuntos de puntos del plano. 
2. Para averiguar cuál de los dos semiplanos es válido y cuál no, debemos tomar un punto al azar que pertenezca a cada una de las dos regiones. Para comprobarlo, sustituiremos los valores de "x" e "y" de esos puntos en la desigualdad. Tomamos el punto P(0, 5) que está por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=5, vemos que 0+3·5 > 0, por lo que es la región válida.
3. Tomamos el punto Q(0, -3) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-3, vemos que 0+3·(-3) < 0, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 2x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 2x-y < 0 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 2x-y < 0. El punto R(0,2) se encuentra por encima de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=2, vemos que 2·0-2 < 0, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(0, -2). Al sustituir x=0 e y=-2, 2·0-(-2) > 0, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

Sistemas de inecuaciones (2). Una variable.

En los siguientes ejemplos sobre sistemas de inecuaciones de una variable intentaremos tratar una serie de casos cada vez más complicados. Espero que os ayuden a entender mejor este tipo de sistemas de inecuaciones.

 Ejemplo #1 | 3x + 7 ≥ 0; x^2 - 1 > 0. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo:

•  3x+7 ≥ 0  → 3x+7 = 0 → x = -7/3. Gráficamente la solución será:

•  x^2-1 > 0  → x^2-1 = 0 → x = 1, x = -1. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en ambas soluciones. Hay dos intervalos que están marcados en las dos inecuaciones. En cuanto a los extremos, el valor -7/3 está incluido en ambos, por lo que es parte de la solución. Sin embargo, 1 y -1 solamente  están en la segunda, por lo que no hay que incluirlos. Por tanto, la solución es:

• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ [-7/3, -1) U (1, +∞)
• Comprobar en Google:  y = 2x+3 , y = 5x-1  

 Ejemplo #2 | x^2+1 > 0; x+1 > 0 ; 2x-9 ≤ 0. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo. Comenzamos dejando cero en uno de los dos miembros:

•  x^2 + 1 > 0  → x^2+1 = 0 → No tiene solución (no hay cortes). Gráficamente la solución será:

•  x+1 > 0  → x+1 = 0 → x = -1. Gráficamente la solución será:

•  2x-9 ≤ 0  → 2x-9 = 0 → x = 9/2. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en las tres soluciones. Solamente hay un intervalo que verifique las tres condiciones al mismo tiempo. Respecto a los extremos, 9/2 cumple ambas desigualdades, mientras que -1 solo cumple una de ellas. La solución al sistema será:

• Paréntesis y corchetes: (-1, 9/2]
• Comprobar en Google:  y = x^2+1 , y = x+1 , y = 2x-9  

Sistemas de Inecuaciones. Una variable.

Un sistema de inecuaciones se trata de un combinación de dos o más inecuaciones cuya solución está formada por los elementos que verifican simultáneamente todas y cada una de ellas. Basta con que un elemento no cumpla una de las inecuaciones para que quede excluido de la solución del sistema.

Esisten diferentes tipos de sistemas de inecuaciones, aunque nosotros nos centraremos en dos de ellos: los que tienen una sola variable y los que tienen dos variables.

Los primeros se resolverán calculando la solución de cada una de las inecuaciones por separado, y analizando gráficamente qué valores de la variable "x" cumplen simultáneamente todas las inecuaciones que forman el sistema.

Un ejemplo de este tipo de sistemas de inecaciones sería el formado por las dos expresiones 3x-1 > 0 ; 2x+6 < 0. Como ya veremos más adelante, resolveremos cada inecuación de forma independiente, expresaremos gráficamente sus soluciones y sobre ambas representaciones comprobaremos qué valores de "x" cumplen ambas al mismo tiempo.

El segundo tipo de sistemas, que presenta dos variables "x" e "y", se resolverá mediante un método gráfico muy similar al método gráfico empleado en los sistemas de ecuaciones lineales. La diferencia radica en que la solución no estará formada por un solo par de valores (x,y), sino que, en general, incluirá regiones del plano cartesiano a las que llamaremos recinto solución.

En los siguientes ejemplos intentaremos tratar una serie de casos cada vez más complejos.

 Ejemplo #1 | 2x+3 > 0; 5x - 1 ≤ 0. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo:

•  2x+3 > 0  → 2x+3 = 0 → x = -3/2. Gráficamente la solución será:

•  5x-1 ≤ 0  →5x-1 = 0 → x = 1/5. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en ambas soluciones. Solamente los valores que se encuentran entre -3/2 y 1/5 cumplen esa condición. Al analizar los casos de los extremos, vemos que -3/2 no forma parte de la solución, ya que no verifica la primera desigualdad, mientras que 1/5 verifica ambas. Por tanto, la solución es:

• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-3/2, 1/5]
• Comprobar en Google:  y = 2x+3 , y = 5x-1  

 Ejemplo #2 | 4x+1 < 9; x+1 ≤ 3x-5. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo. Comenzamos dejando cero en uno de los dos miembros:

•  4x - 8 < 0  → 4x+8 = 0 → x = 2. Gráficamente la solución será:

•  -2x + 6 ≤ 0  → -2x+6 = 0 → x = 3. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en ambas soluciones. No existe ningún valor real que cumpla ambas desigualdades simultáneamente. Por tanto, nuestro sistema de inecuaciones no tiene solución:

• Paréntesis y corchetes: Ø (símbolo del conjunto vacío)
• Comprobar en Google:  y = 4x-8 , y = -2x+6