Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales (2)

Mientras intento pasar estos ejemplos a formato electrónico, aquí os dejo temporalmente la resolución hecha de mi puño y letra.

 Ejemplo # 1 

 Ejemplo #2 

Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Tal y como hemos visto en clase, algunos sistemas de ecuaciones pueden contener una ecuación logarítmica y otra exponencial. Suelen ser sistemas aparentemente difíciles, pero que en realidad son bastante sencillos. El motivo es que, para que seamos capaces de resolverlos en nuestro nivel, tienen que venir preparados.

 Ejemplo # 1 | log2(x) + 2·log2(y) = 1 ; 2^x · 4^y = 16 [ Sol.: x = 2, y = 1 ]. 

En primer lugar, se trata de realizar todas las transformaciones necesarias en ambas ecuaciones para convertirlas en ecuaciones algebraicas.

• 1ª Ecuación: log2(x) + 2·log2(y) = 1 ⇔ log2(x·y^2) = 1 ⇔ x·y^2 = 2^1 ⇔ x·y^2 = 2
• 2ª Ecuación: 2^x · 4^y = 16 ⇔ 2^x · 2^(2y) = 2^4 ⇔ 2^(x+2y) = 2^4 ⇔ x+2y = 4

 Si observamos bien, el sistema que debemos resolver es un sistema de ecuaciones no lineales:

x·y^2 = 2 ; x+2y = 4

Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución, despejando "x" en la segunda ecuación:

 x = 4 - 2y 

Y sustituimos en la primera:

(4 - 2y)·y^2 = 2

Después de agrupar y ordenar obtenemos una ecuación de tercer grado:

2y^3 - 4y^2 + 2 = 0 ;

y^3 - 2y^2 + 1 = 0

De esa ecuación obtenemos una única solución, y = 1 (aplicando Ruffini, por ejemplo). Para ese valor de "y", calculamos el valor correspondiente de "x". Así, obtenemos una pareja de soluciones, x = 2 e y = 1. Al comprobarlas en el sistema original, vemos que son correctas.

 Ejemplo #2 | 9^x · 3^y = 9 ; log2(x+4) + log2(y) = 3 [ Sol.: x = 0, y = 2 ]. 

En primer lugar, se trata de realizar todas las transformaciones necesarias en ambas ecuaciones para convertirlas en ecuaciones algebraicas.

• 1ª Ecuación: 9^x · 3^y = 9 ⇔ 3^(2x) · 3^y = 3^2 ⇔ 3^(2x+y) = 3^2 ⇔ 2x+y = 2
• 2ª Ecuación: log2(x+4) + log2(y) = 3 ⇔ log2[(x+4)·y] = 3 ⇔ (x+4)·y = 2^3 ⇔ (x+4)·y = 8

 Si observamos bien, el sistema que debemos resolver es un sistema de ecuaciones no lineales:

2x+y = 2 ; (x+4)·y = 8

Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 y = 2 - 2x 

Y sustituimos en la segunda:

(x+4)·(2-2x) = 8

Después de operar, agrupar y ordenar obtenemos una ecuación de 2º grado:

2x - 2x^2 + 8 - 8x = 8 ;

-2x^2 - 6x = 0 ;
-2x·(x+3) = 0

De esa ecuación de 2º grado incompleta obtenemos dos soluciones: x = 0 y x = -3. Para estos valores de "x", calculamos los valores correspondientes de "y". Así, obtenemos dos parejas de soluciones:

• x1 = 0 , y1 = 2.
• x2 = -3 , y2 = 8.

Al comprobarlas en el sistema original, vemos que ambas parejas son correctas.

Ejercicios de repaso

A raíz de las peticiones de muchos de vosotros hoy en clase, en esta entrada disponéis de varios tipos de ejercicios que forman parte de los contenidos a evaluar en la prueba de mañana martes. No prometo nada, pero intentaré dejar resueltos algunos de ellos en otra entrada de este blog.

• Sistemas de ecuaciones logarítmicas/exponenciales:
• log2(x) - 2·log2(y) = 1 ; 2^x · 4^y = 16 [ Sol.: x = 2, y = 1 ]
• 9^x · 3^y = 9 ; log2(x+4) + log2(y) = 3 [ Sol.: x = 0, y = 2 ]
• 5^x · 5^(2y-1) = 625 ; log2(x) - log2(y) = -1 [ Sol.: x = 1, y = 2 ]
• log3(2+x) + log3(y) = 2 ; 2^x · 2^(4-y) = 4 [Sol.: x = 1, y = 3 ]
• Sistemas de inecuaciones con dos variables:
• 2x+5y < 3 ; 3x-2y > -1
• 3x+y > 0 ; 4x-3y < 5
• y < 5 ; 2x-3y < 4
• y > -2 ; x+2y < 6
• Sistemas de inecuaciones con una variable:
• x^3 - 16x ≥ 0 ; 2x + 1 > 5
• x^2 - 5x - 6 < 0 ; x^3 - 2x^2 ≤ 0
• x^2 - 4x > 0 ; x^3 + 1 ≤ 0
• 2x + 7 > 1 ; x^2 - x - 12 ≤ 0

Sistemas de ecuaciones logarítmicas (4)

Más ejemplos sobre sistemas de ecuaciones logarítmicas, alguno de ellos de mayor dificultad. Otros, sin embargo, pueden incluir alguna ecuación en la que no aparecen logaritmos, esdecir, donde una de sus ecuaciones es algebraica. En algunos sistemas, incluso pueden presentarse combinaciones de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

 Ejemplo #1 | log2x + log2y = 4 ; 5·log2x - log2(y-6) = 4. 

Comenzamos transformando las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log2x + log2y = 4 ; log2(x·y) = 4 ⇔ x·y = 2^4 ; x·y = 16
• 5·log2x - log2(y-6) = 4 ; log2[ x^5 / (y-6) ] = 4 ⇔ x^5 / (y-6) = 2^4 ; x^5 / (y-6) = 16

Nuestro sistema de ecuaciones queda:

x·y = 16 ; x^5 / (y-6) = 16

 Vamos a resolverlo mediante sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 y = 16 / x 

Ahora sustituimos en la segunda ecuación:

x^5 / (16 / x - 6) = 16 ;

x^5 / [ (16 - 6x) / x ] = 16 ;

x^6 / ( 16 - 6x ) = 16 ;

x^6 = 256 - 96x ;

x^6 + 96x - 256 = 0

Obtenemos una ecuación de 6º grado, que solamente podemos resolver mediante Ruffini. De esa ecuación conseguimos una solución, x = 2. Si queremos encontrar la solución correspondiente de "y", llevamos ese resultado a la expresión que despejamos antes. Por tanto, obtenemos una sola pareja válida de soluciones, que verifican el sistema de ecuaciones original:

• x = 2 → y = 8.

 Ejemplo #2 | log3x - log3y = 1 ; x + y^2 = 4. 

Comenzamos transformando la única ecuación logarítmica en algebraica:

log3x - log3y = 1 ; log3 (x / y) = 1 ⇔ x / y = 3^1 ; x / y = 3

Por tanto, nuestro sistema queda:

x / y = 3 ; x + y^2 = 4

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "x" en la primera ecuación:

 x = 3y 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

3y + y ^2 = 4 ;

y^2 + 3y - 4 = 0

De esa ecuación de 2º grado obtenemos dos soluciones, y = -4 e y = 1. Para calcular los valores correspondientes de "x", acudimos a la expresión que despejamos antes:

• Si y1 = -4 → x1 = -12
• Si y2 = 1 → x2 = 3

De ambas parejas de soluciones, únicamente x = 3 e y = 1 son válidas, ya que la otra pareja hace que en la comprobación aparezcan los logaritmos en base 3 de números negativos.

 Ejemplo #3 | 2·log5x - log5y = 2 ; 2^(x+y) = 64. 

Comenzamos transformando la única ecuación logarítmica en algebraica:

2·log5x - log5y = 2 ; log5 (x^2 / y ) = 2 ⇔ x^2 / y = 5^2 ; x^2 / y = 25

A continuación, hacemos lo mismo con la ecuación exponencial.

 2^(x+y) = 64 ; 2^(x+y) = 2^6 ⇔ x + y = 6

Por tanto, nuestro sistema queda:

x^2 / y = 25 ; x + y = 6

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la segunda ecuación:

 y = 6 - x 

Y sustituimos en la primera ecuación:

x^2 / ( 6 - x ) = 25 ;

x^2 = 150 - 25x ;

x^2 + 25x - 150 = 0

De esa ecuación de 2º grado obtenemos dos soluciones, x = -30 y x = 5. Para calcular los valores correspondientes de "y", acudimos a la expresión que despejamos antes:

• Si x1 = -30 → y1 = 36
• Si x2 = 5 → y2 = 1

De ambas parejas de soluciones, únicamente x = 5 e y = 1 es válida, ya que la otra pareja hace que en la comprobación aparezca el log3(-30).

Sistemas de ecuaciones logarítmicas (3)

En esta entrada resolveremos otros dos sistemas de ecuaciones logarítmicas que nos servirán como ejemplo para comprender mejor este tipo de sistemas.

 Ejemplo #1 | log x + log (y+8) = 2 ; log (x^2) - log (5y) = 1. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log x + log (y+8) = 2 ; log [ x·(y+8)] = 2 ⇔ x·(y+8) = 10^2 ; x·(y+8) = 100
• log (x^2) - log (5y) = 1 ; log ( x^2 / 5y ) = 1 ⇔ x^2 / 5y  = 10^1 ; x^2 / 5y = 10

Nuestro sistema queda:

 x·(y+8) = 100 ; x^2 = 50y

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la segunda ecuación:

 y = x^2 / 50 

Y sustituimos en la primera ecuación:

x·( x^2/50 + 8 ) = 100;

x^3/50 + 8x = 100;

x^3 + 400x - 5000 = 0

De esa ecuación de tercer grado logramos un único valor de "x" (las otras dos soluciones son no reales, NR). Se trata de x = 10. Para calcular el valor correspondiente de "y", sustituimos en la expresión que depejamos antes. Así pues, conseguimos una sola pareja de soluciones, que además verifica el sistema de ecuaciones logarítmicas original:

• x = 10 → y = 2.

 Ejemplo #2 | 2·log y - log x = 2 ; log y + log (x+9) = 2. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• 2·log y - log x = 2 ; log ( y^2 / x ) = 2 ⇔ y^2 / x = 10^2 ; y^2 = 100x
• log y + log (x+9) = 2 ; log [ y·(x+9) ] = 2 ⇔ y·(x+9) = 10^2 ; y·(x+9) = 100

Nuestro sistema queda:

 y^2 = 100x ; y·(x+9) = 100

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 x = y^2 / 100 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

y · ( y^2/100 + 9 ) = 100 ;

y^3/100 + 9y - 100 = 0 ;
y^3 + 900y - 10000 = 0

De esa ecuación de tercer grado logramos un único valor de "y" (las otras dos soluciones son no reales, NR). Se trata de y = 10. Para calcular el valor correspondiente de "x", sustituimos en la expresión que depejamos antes. Así pues, conseguimos una sola pareja de soluciones, que además verifica el sistema de ecuaciones logarítmicas original:

• x = 1 → y = 10.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas (2)

En esta entrada resolveremos otros dos sistemas de ecuaciones logarítmicas que nos servirán como ejemplo para comprender mejor este tipo de sistemas.

 Ejemplo #1 | log2x + log2y = 4 ; 2·log2(2x) - log2(y) = 1. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log2x + log2y = 4 ; log2(x·y) = 4 ⇔ x·y = 2^4 ; x·y = 16
• 2·log2(2x) - log2(y) = 1 ; log2[(2x)^2 / y ] = 1 ⇔ 4x^2 / y = 2^1 ; 4x^2 / y = 2

Nuestro sistema queda:

 x·y = 16 ; 4x^2 / y = 2

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la segunda ecuación:

 y = 2x^2 

Y sustituimos en la primera ecuación:

x·2x^2 = 16;

2x^3 = 16;

x^3 = 8

De esa ecuación logramos un único valor de "x" (las otras dos soluciones son no reales, NR). Se trata de x = 2. Para calcular el valor correspondiente de "y", sustituimos en la expresión que depejamos antes. Así pues, conseguimos una sola pareja de soluciones, que además verifica el sistema de ecuaciones logarítmicas original:

• x = 2 → y = 8.

 Ejemplo #2 | log x - log (2y) = 0 ; log (5x) + log y = 1. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log x - log 2y = 0 ; log (x / 2y) = 0 ⇔ x / 2y = 10^0 ; x / 2y = 1 ; x = 2y
• log (5x) + log y = 1 ; log (5xy) = 1 ⇔ 5xy = 10^1 ; 5xy = 10 ; xy = 2

Nuestro sistema queda:

 x = 2y  ; xy = 2

Vamos a resolver mediante sustitución, llevando la "x" de la primera ecuación a la segunda ecuación:

2y·y = 2 ;
 y^2 = 1

De esa ecuación logramos dos soluciones, y = -1 e y = 1. Para calcular el valor correspondiente de "y", sustituimos en la expresión que depejamos antes, obteniendo dos parejas de soluciones:

• y1 = -1 → x1 = 2.
• y2 = 1 → x2 = -2.

Si llevamos ambas parejas a las ecuaciones originales, solamente x = 2 e y = 1 son válidas.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Los sistemas de ecuaciones logarítmicas son el último caso de sistemas de ecuaciones no lineales que estudiaremos en esta unidad. Se trata de sistemas de ecuaciones en los que una de las incógnitas aparece en el argumento de al menos un logaritmo. En su resolución vamos a aplicar la mayoría de las técnicas que hemos venido empleando a la hora de resolver tanto las ecuaciones logarítmicas (las propiedades y la definición de logaritmo) como sistemas de ecuaciones (métodos de sustitución o reducción).

 Ejemplo #1 | log2x + log2y = 4; 3·log2x - log2y = 8. 

Este es uno de los casos más sencillos de sistemas de ecuaciones logarítmicas que nos podemos encontrar, ya que aparecen los mismos logaritmos en ambas ecuaciones. Podemos seguir varios caminos, pero el más simple en este caso es realizar un doble cambio de variable, donde a = log2x y b = log2y. Así, el sistema queda listo para resolver por reducción:

  a + b = 4

3a  - b = 8   + 

-------------------

4a       = 12

De esa ecuación obtenemos que a = 3, y al sustituir su valor en la primera ecuación, alcanzamos también que b = 1. Para concluir, debemos deshacer el cambio de variable:

• Si a = 3 → log2x = 3 → x = 2^3 → x = 8
• Si b = 1 → log2y = 1 → y = 2^1 → y = 2

Por tanto, se obtiene una pareja de soluciones, x = 8 e y = 2, que son válidas ya que verifica las ecuaciones originales.

Este sistema puede ser resuelto utilizando otro método, que es el que habitualmente pondremos en práctica. Consiste en transformar nuestras ecuaciones logarítmicas en ecuaciones algebraicas mediante una serie de transformaciones.

La primera ecuación, aplicando las propiedades y la definición de logaritmo queda:

log2x + log2y = 4 ; log2(x·y) = 4 ⇔ x·y = 2^4 ; x·y = 16

Del mismo modo, la segunda ecuación queda:

3·log2x - log2y = 4 ; log2[x^3 / y] = 8 ⇔ x^3 / y = 2^8; x^3 / y = 256

Por lo tanto, el sistema que debemos resolver es el siguiente:

x·y = 16; x^3 / y = 256

Para resolverlo, podemos despejar y en la primera ecuación:

 y = 16 / x 

Y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

x^3 / ( 16 / x ) = 256;

x^4 / 16 = 256;

x^4 = 4096

De esa ecuación obtenemos dos soluciones, x = 8 y x = -8. Pero para finalizar debemos sustituir en la expresión de y:

• Si x = 8 → y = 2
• Si x = -8 → y = -2

Si llevamos ambas parejas al sistema de ecuaciones logarítmicas original, solamente la pareja x = 8 e y = 2 es válida. La otra pareja de soluciones hace que tengamos que calcular el logaritmo en base 2 de un número negativo.

Vemos que se logran los mismos resultados que por el primer método, pero siguiendo un proceso más largo y complicado.