Ejercicios tipo 3. Relaciones entre razones trigonométricas. (5)

 Ejercicio #3 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo agudo "α" sabiendo que: 

tg α =  2/11 (3er Cuad.) tg α = -4 (2º Cuad.) tg α = 2/5 (3er Cuad.) tg α = -3 (4º Cuad.) tg α = -13/4 (2º Cuad.)

tg α = -4/7 (4º Cuad.) tg α = 2 (3er Cuad.) tg α = -7/2 (2º Cuad.) tg α = 5/6 (3er Cuad.) tg α = -10/3 (4º Cuad.)

 Ejemplo resuelto #1 | tg α = -3 (4º Cuad.) 

En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):

tg² α + 1 = 1 / cos² α

Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:

(-3)² + 1 = 1 / cos² α ;

9 + 1 = 1 / cos² α ;

10 = 1 / cos² α ;

 cos² α = 1/10 ;

cos α = 1 / √10

Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = √10 / 10. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se trata de un ángulo del 4º cuadrante. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.

sen α = cos α · tg α = √10/10 · (-3) = - 3√10/10

El signo del seno es positivo, debido a que se trata de un ángulo del 1er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:

• sen α = - 3√10 / 10
• cos α = √10 /10
• tg α = - 3

Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es decir, el ángulo cuya tangente es -3. En la calculadora,   INV   tan   -3 . El resultado en pantalla es el ángulo -71.565º.

No obstante, como debemos expresar la solución como un ángulo del primer giro (entre 0º y 360º), vamos a sumar 360º a ese resultado. Por tanto, la solución es 288.435º.

Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.

 Ejemplo resuelto #2 | tg α = 2/5 (3er Cuad.) 

En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):

tg² α + 1 = 1 / cos² α

Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:

(2/5)² + 1 = 1 / cos² α ;

4/25 + 1 = 1 / cos² α ;

29/25 = 1 / cos² α ;

 cos² α = 25/29 ;

cos α = - 5 / √29

Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = - 5√29 / 29. El signo del coseno del ángulo es negativo, dado que se trata de un ángulo del 3er cuadrante. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.

sen α = cos α · tg α = (-5√29 / 29) · (2/5) = -2√29 / 29

El signo del seno es negativo, debido a que se trata de un ángulo del 3er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:

• sen α = - 2√29 / 29
• cos α = - 5√29 / 29
• tg α = 2/5

Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es decir, el ángulo cuya tangente es 2/5. En la calculadora,   INV   tan   (   2   /   5   ) . El resultado en pantalla es el ángulo 21.801º.

El problema es que buscamos un ángulo del 3er cuadrante, y no del 1º tal y como nos indica la calculadora. En infinidad de ocasiones tendremos que interpretar los resultados ofrecidos por la calculadora.

En este caso, la calculadora nos da un ángulo equivalente al que pretendemos encontrar, cuyos seno, coseno y tangente toman, salvo por el signo, los mismos valores. Para subsanar este "error" de la caluladora deberemos sumar 180º a nuestro resultado. Por todo ello, la solución es 201.801º.

Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.

Ejercicios tipo 5. Relaciones entre ángulos. (2)

 Ejercicio #5a | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "180º + α" sabiendo que sen α = 2/9 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5b | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "270º + α" sabiendo que cos α = 4/11 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5c | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "90º - α" sabiendo que sen α = 3/10 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5d | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "180º - α" sabiendo que cos α = 2/13 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5e | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "360º - α" sabiendo que sen α = 4/9 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5f | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "90º + α" sabiendo que cos α = 1/4 (α ∈ 1er cuadrante). 

En primer lugar debemos obtener las razones trigonométricas del ángulo agudo α. Para ello aplicamos una de las RFT:

sen² α + cos² α = 1

Sustituimos el valor del seno del ángulo en esta relación:

sen² α + (1/4)² = 1 ;

sen² α + 1/16 = 1 ;

sen² α = 1 - 1/16 = 15/16

Así, logramos que sen α = √15/4. El signo del seno del ángulo es positivo, dado que se encuentra en el 1er cuadrante. No es necesario calcular la tengente de este ángulo. Por tanto:

• sen α = √15 / 4
• cos α = 1 / 4

 A continuación, debemos razonar sobre la circunferencia goniométrica, comparando el ángulo agudo "α" con el de "90º+α" (que pertenece al 2º cuadrante). A la vista de la figura, podemos concluir que:

• sen (90º+α) = cos α = 1/4
• cos (90º+α) = - sen α = - √15 / 4
• tg (90º+α) = (1/4) / (- √15 / 4) = - 1/√15 = - √15 / 15

 Ejercicio #5g | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "270º - α" sabiendo que sen α = 5/14 (α ∈ 1er cuadrante). 

Aplicamos la relación fundamental de la trigonometría (RFT): sen²α + cos²α = 1. Así, al sustituir:

(5/14)² + cos²α = 1 ;
25/196 + cos²α = 1 ;

cos²α = 1 - 25/196 = 171/196

Después de tomar la raíz cuadrada, factorizar y extraer, obtenemos que cos α = 3√19 / 14.

Aplicamos que tg α = sen α / cos α. De este modo:

tg α = 5/14 : 3√19/14 ;

 tg α = 5√19 / 57

Una vez conocidas las razones del ángulo agudo "α", podemos dar el salto y calcular las razones de "270 - α", que se trata de un ángulo del 3er cuadrante. Al estar en el tercer cuadrante, su seno y su coseno serán negativos. Razonando sobre la circunferencia goniométrica, obtenemos que:

• sen (270º-α) = - cosα = - 3√19/14
• cos (270º-α) = - senα = - 5/14
• tg (270º-α) = - 3√19/14 : (-5/14) = + 3√19/5

Ejercicios tipo 4. Relaciones entre razones trigonométricas. (4)

 Ejercicio #4 | Razona sobre la circunferencia goniométrica (sin usar las relaciones entre razones trigonométricas) para calcular todas las razones del ángulo "α" sabiendo que: 

tg α =  2/11 (3er Cuad.) tg α = - 4 (4º Cuad.) tg α = - 2/5 (2º Cuad.) tg α = 11/13 (3er Cuad.) tg α = - 13/4 (2º Cuad.)

tg α = 4/7 (3er Cuad.) tg α = - 2 (2º Cuad.) tg α = 7/2 (3er Cuad.) tg α = - 5/6 (4º Cuad.) tg α = - 10/3 (2º Cuad.)

 Ejemplo resuelto #1 | tg α = -2 (4º Cuad.) 

1. Representamos gráficamente una circunferencia goniométrica, marcando sobre la recta tangente un segmento de longitud -2.
2. Desde el extremo de ese segmento, trazamos una recta que llegue hasta el origen de coordenadas, obteniendo un punto de intersección con la circunferencia. El segmento que une esa intersección y el origen, representa directamente el ángulo de nuestro problema.
3. Marcamos, como explicamos en clase, el seno y el coseno de ese ángulo, logrando un triángulo rectángulo de base "x" (que es el coseno del ángulo) y altura "y" (que es el seno).
4. Dibujamos los dos triángulos semejantes. Uno, de mayor tamaño, tiene base 1 y altura 2. Otro es el anterior, con base "x" y altura "y".
5. Aplicamos el teorema de Thales relacionando los lados homólogos de ambos:
   
   2 / y = 1 / x ⇒ y = 2x
6. Aplicamos el teorema de Pitágoras al segundo:
   
   x² + y² = 1
   
   
7. Logramos un sistema de ecuaciones no lineales, cuya solución es:

• y = sen α = -2√5/5
• x = cos α = √5 / 5
• tg α = - 2

Hay que prestar atención a que el valor del sen α es negativo por tratarse de un ángulo del 4º cuadrante.

Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(-2), es decir, el ángulo cuya tangente es -2. En la calculadora,   INV   tan   (-2) . El resultado en pantalla es el ángulo -63.435º. Se trata de un ángulo negativo que, no obstante, se encuentra en el 4º cuadrante. Para expresarlo adecuadamente como un ángulo comprendido entre 0º y 360º, le sumamos 360º y obtenemos que el ángulo es 296.565º.

Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.

Ejercicios tipo 3. Relaciones entre razones trigonométricas. (3)

 Ejercicio #3 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo agudo "α" sabiendo que: 

tg α =  2/11 tg α = 4 tg α = 2/5 tg α = 3 tg α = 13/4

tg α = 4/7 tg α = 2 tg α = 7/2 tg α = 5/6 tg α = 10/3

 Ejemplo resuelto #1 | tg α = 3 (1er Cuad.) 

En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):

tg² α + 1 = 1 / cos² α

Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:

(3)² + 1 = 1 / cos² α ;

9 + 1 = 1 / cos² α ;

10 = 1 / cos² α ;

 cos² α = 1/10 ;

cos α = 1 / √10

Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = √10 / 10. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se trata de un ángulo agudo. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.

sen α = cos α · tg α = √10/10 · 3 = 3√10/10

El signo del seno es positivo, debido a que se trata de un ángulo del 1er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:

• sen α = 3√10 / 10
• cos α = √10 /10
• tg α = 3

Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es decir, el ángulo cuya tangente es 3. En la calculadora,   INV   tan   3 . El resultado en pantalla es el ángulo 71.565º.

Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.

 Ejemplo resuelto #2 | tg α = 2/5 (1er Cuad.) 

En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):

tg² α + 1 = 1 / cos² α

Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:

(2/5)² + 1 = 1 / cos² α ;

4/25 + 1 = 1 / cos² α ;

29/25 = 1 / cos² α ;

 cos² α = 25/29 ;

cos α = 5 / √29

Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = 5√29 / 29. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se trata de un ángulo agudo. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.

sen α = cos α · tg α = (5√29 / 29) · (2/5) = 2√29 / 29

El signo del seno es positivo, debido a que se trata de un ángulo del 1er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:

• sen α = 2√29 / 29
• cos α = 5√29 / 29
• tg α = 2/5

Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es decir, el ángulo cuya tangente es 2/5. En la calculadora,   INV   tan   (   2   /   5   ) . El resultado en pantalla es el ángulo 21.801º.

Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.

Ejercicios tipo 2. Relaciones entre razones trigonométricas. (2)

 Ejercicio #2 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo "α" sabiendo que: 

sen α = 1/2 (1er Cuad.) cos α = - 3/4 (2º Cuad.) sen α = - 1/4 (4º Cuad.) cos α = 2/5 (4º Cuad.) sen α = - 2/11 (3er Cuad.) cos α = 3/7 (1er Cuad.) sen α = 20/31 (2º Cuad.)

cos α = - 2/9 (2º Cuad.) sen α = 1/5 (1er Cuad.) cos α = 1/3 (4º Cuad.) sen α = - 5/9 (3er Cuad.) cos α = - 3/10 (2º Cuad.) sen α = 4/9 (1er Cuad.) cos α = 3/13 (4º Cuad.)

Para llevar a cabo estos ejercicios puedes calcular las razones independientemente del cuadrante en que se encuentre el ángulo. Si así lo prefieres, puedes explicar qué signo debe acompañar a cada una de las soluciones sólo al final, razonando a partir del cuadrante donde están situados.

 Ejemplo resuelto #1 | sen α = -1/4 (4º Cuad.) 

En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):

sen² α + cos² α = 1

Sustituimos el valor del seno del ángulo en esta relación:

(1/4)² + cos² α = 1 ;

1/16 + cos² α = 1 ;

cos² α = 1 - 1/16 = 15/16

Así, logramos que cos α = √15 / 4. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se encuentra en el 4º cuadrante. Por último, calculamos la tangente, aplicando la definición:

tg α = sen α / cos α = (-1/4) / (√15/4) = -1 / √15 = -√15 / 15

El signo de la tangente es negativo, debido a que se trata de un ángulo del 4º cuadrante.

Por tanto, la solución al ejercicio es:

• sen α = -1 / 4
• cos α = √15 / 4
• tg α = -√15 / 15

Ejercicios tipo 1. Razones en triángulos rectángulos.

 Ejercicio #1 | Halla todas las razones del ángulo agudo "α" a partir de los siguientes triángulos rectángulos: 

Ejercicios tipo 2. Relaciones entre razones trigonométricas.

 Ejercicio #2 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo agudo "α" sabiendo que: 

sen α = 1/2 cos α = 3/4 sen α = 1/4 cos α = 2/5 sen α = 2/11 cos α = 3/7 sen α = 20/31

cos α = 2/9 sen α = 1/5 cos α = 1/3 sen α = 5/9 cos α = 3/10 sen α = 4/9 cos α = 3/13

Ejercicios tipo 6. Aplicación en figuras reales.

Para resolver el tipo de ejercicios que incluye esta entrada, debemos leer detenidamente los enunciados y trasladar los datos que nos facilitan a las figuras. Una vez realizadas éstas, si todo está correctamente expresado, es muy sencillo alcanzar las soluciones mediante cálculos simples.

La mayoría de los siguientes ejercicios ya están resueltos paso por paso, sólo dos de ellos están sin resolver. No obstante, es muy fácil localizar casos de la vida real que nos sirvan como ejemplo para practicar los conocimientos y destrezas adquiridos a lo largo de la unidad.

 Ejercicio #6a | Desde una cierta distancia observamos un edificio bajo un ángulo de 45º. Si nos alejamos 15m, el mismo edificio se observa bajo un ángulo de 30º. Calcula la distancia inicial a la que nos encontrábamos y la altura del edificio. 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, "h". La base del menor es "x" y la del mayor es "x+15".

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg 30º = h / (x+15)
• tg 45º = h / x

Si unimos las dos ecuaciones obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, "x" y "h". No debemos preocuparnos por los valores de tg 30º y tg 45º, ya que podemos usar la calculadora para conocerlos numéricamente.

Resolvemos el sistema por igualación. Despejamos "h" en ambas:

h = tg 30º·(x+15) ; h = tg 45º·x ;

 tg 30º·(x+15) = tg 45º·x 

Se trata de una ecuación de 1er grado con una sola incógnita. Resolvemos:

x·tg 30º - x·tg 45º = - 15·tg 30º

x·(tg 30º - tg 45º) = - 15·tg 30º

x = - 15·tg 30º / (tg 30º - tg 45º)

La solución es x = 20.49m. A partir de ese valor podemos calcular también la altura del edificio, por ejemplo en la segunda ecuación. Dicha altura es también h = 20.49m.

 Ejercicio #6b | Una estatua, que está situada sobre un pedestal de 2m, se observa bajo un ángulo de 60º. Su pedestal, sin estatua, se observa con un ángulo de 30º desde el mismo punto. Calcula la altura de la estatua y la distancia a la que nos encontramos. 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La base de ambos es común, "x". La altura del menor es 2m y la del mayor es "2+h".

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg 30º = 2 / x
• tg 60º = (h+2) / x

Si unimos las dos ecuaciones obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, "x" y "h". Sin embargo, la primera ecuación contiene sólo una incógnita. Resolvemos esta ecuación y obtenemos "x":

 x = 2 / tg 30º 

La solución es x = 3.464m. Con ese valor, sustituimos en la segunda ecuación para determinar "h":

h+2 = x·tg 60º;
h = x·tg 60º - 2

La solución es h = 4m.

 Ejercicio #6c | Una antena de 45m se observa desde una cierta distancia bajo un ángulo de 37º. ¿Cuántos metros debemos acercarnos a la misma para que el nuevo ángulo de observación sea 53º? 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, 45m. La base del menor es "y" y la del mayor es "y+x".

En el menor de ambos triángulos sólo hay una incógnita, "y". Resolvemos la ecuación obtenida al aplicar la definición de la tangente:

tg 53º = 45 / y ;

y·tg 53º = 45 ;

y = 45 / tg 53º

La solución es y = 33.91m. Con ese valor, conseguimos una segunda ecuación para determinar "x" aplicando la definición de la tangente en el triángulo mayor:

tg 37º = 45 / (33.91+x)

33.91+x = 45 / tg 37º

x = 45 / tg 37º - 33.91

La solución es x = 25.81m.

 Ejercicio #6d | Una estatua de 3.5m se encuentra sobre una columna de altura desconocida. Desde un punto determinado, la estatua se observa bajo un ángulo de 55º, mientras que la columna se observa con otro de 35º. Calcula la altura de la columna y la distancia a la que nos encontramos de ella. 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La base de ambos es común, "x". La altura del menor es "h" y la del mayor es "h+3.5".

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg 35º = h / x
• tg 55º = (h+3.5) / x

Si unimos las dos ecuaciones obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, "x" y "h". Resolvemos el sistema por igualación, despejando "x" en ambas:

x = h / tg 35º ; x = (h+3.5) / tg 55º ;

 h / tg 35º = (h+3.5) /tg 55º 

Se trata de una ecuación de 1er grado con una sola incógnita. Resolvemos:

h·tg 55º = tg 35º·(h+3.5) ;
h·tg 55º = h·tg 35º + 3.5·tg 35º ;
h·(tg 55º - tg 35º) = 3.5·tg 35º ;
h = 3.5·tg 35º / (tg 55º - tg 35º)

La solución es h = 3.367m. A partir de ese valor podemos calcular también la altura del edificio, por ejemplo en la primera ecuación. Dicha longitud es x = 4.808m.

 Ejercicio #6e | La cima de una montaña se divisa desde un pueblo cercano bajo un ángulo de 34º. Si nos alejamos de la montaña 587m, ésta se observa bajo un ángulo de 34º. Calcula la altura de la montaña y la distancia que le separa del pueblo. 

 Ejercicio #6f | A una cierta hora del día, los rayos del Sol alcanzan el suelo formando 60º con la horizontal. Calcula la longitud de la sombra de un árbol cuya altura sea 8m. A esa misma hora, otro árbol proyecta una sombra de 7.5m. ¿Cuál es su altura? 

 Ejercicio #6g | La torre de un castillo tiene una altura desconocida "h". El punto más alto de esa torre se observa desde una distancia desconocida bajo un ángulo de 30º. Si nos acercamos 15m, la torre se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura de la torre y la distancia inicial a la que nos encontrábamos. 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, "h". La base del menor es "x-15" y la del mayor es "x".

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg 30º = h / x
• tg 45º = h / (x-15)

Si unimos las dos ecuaciones obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, "x" y "h".

Resolvemos el sistema por igualación. Despejamos "h" en ambas:

h = tg 30º·x ; h = tg 45º·(x-15) ;

 tg 30º·x = tg 45º·(x-15) 

Se trata de una ecuación de 1er grado con una sola incógnita. Despejamos:

x·tg 30º = x·tg 45º - 15·tg 45º ;

x·tg 30º - x·tg 45º = - 15·tg 45º ;

x·(tg 30º - tg 45º) = - 15·tg 45 ;

x = - 15·tg 45 / (tg 30º - tg 45º)

La solución obtenida es x = 35.49m. A partir de ese valor podemos calcular también la torre del castillo, por ejemplo en la primera ecuación. Dicha altura es h = 20.49m.

 Ejercicio #6h | En un jardín hay un árbol de 11m de altura cuya sombra, en un determinado momento del día, es de 8m. Tenemos una planta a la que no le puede dar la luz directa del sol. Si esta planta mide 85cm, ¿cuál será la separación máxima entre esta planta y el árbol que le da sombra? 

Se trata de un problema que ya resolvimos en una de las entradas anteriores, pero visto desde el punto de vista de la semejanza.

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg α = 11 / 8
• tg α = 0,85 / x

Resolvemos el sistema de ecuaciones con una incógnita por igualación.

11/8 = 0,85/x ;

11x = 0.85·8

x = 6,8/11

La solución obtenida es x = 0,618m. Restamos ahora esta distancia a la distancia total que es 8m, logrando que d = 8 - x. Por tanto, d = 7.381m.

Ejercicios incluidos en los exámenes de la Unidad 6 (Trigonometría)

A continuación se muestran los enunciados de las pruebas escritas de la unidad 6 relativa a trigonometría.

Ejercicio #1 | Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo (270º + α) sabiendo que α es un ángulo agudo cuyo coseno vale 2/5. Recuerda que debes razonar sobre una figura que puedes construir sobre la siguiente cuadrícula.

Ejercicio #2 | Una estatua de 2m está situada sobre un pedestal de altura desconocida. Desde un punto situado a una distancia “d” de la base del pedestal, dicho pedestal se observa bajo un ángulo de 37º. La estatua se ve bajo uno de 53º. Calcula la altura “h” del pedestal y la distancia “d”.

Ejercicio #3 | Sabiendo que tg α = -3, calcula todas las razones trigonométricas del ángulo α perteneciente al 4º cuadrante:

• aplicando la RFT,
• razonando sobre la circunferencia goniométrica.
• Calcula, usando la calculadora, el valor numérico de dicho ángulo. Explica los pasos que sigues para lograr la solución.

Ejercicio #4 | Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo (270º – α) sabiendo que α es un ángulo agudo cuyo coseno vale 1/5. Recuerda que debes razonar sobre una figura que puedes construir sobre la siguiente cuadrícula.

Ejercicio #5 | Una estatua está situada sobre un pedestal de 1.5m de altura. Desde un punto situado a una distancia “d” de la base del pedestal, dicho pedestal se observa bajo un ángulo de 37º. La estatua se ve bajo uno de 53º. Calcula la altura “h” de la estatua y la distancia “d”.

Ejercicio #6 | Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo α perteneciente al 3er cuadrante sabiendo que tgα = 3:

• aplicando la RFT
• razonando sobre la circunferencia goniométrica.
• Calcula, usando la calculadora, el valor numérico de dicho ángulo. Explica los pasos que sigues para lograr la solución.

122

122 no es un número primo, porque es par. Tampoco es un número redondo, porque no acaba en cero. Ni siquiera (por muy poco) es un cuadrado perfecto. Nunca vas a encontrar una lista con las 122 mejores películas de la historia del cine o con las 122 mejores canciones del momento. No sucedió nada excepcional en el 122 a.C. ni en el 122 d.C. En la famosa película de Disney, sólo había 101 dálmatas. La tabla periódica se detiene (hasta nuevo aviso) en el elemento Z = 119. Por más que investigo, 122 no parece ser una cifra importante por nada concreto ni para nadie.

A pesar de todo, para mí es un número que significa mucho y no voy a olvidar nunca. Hoy hace 122 días que me embarcaba una nueva aventura, y esa aventura termina hoy.

En 122 días hay tiempo más que suficiente para muchas cosas, pero a mí se me han hecho muy cortos. Cuando haces lo que más te gusta y te diviertes, el tiempo pasa deprisa. Cuando lo haces con gente que merece la pena, demasiado deprisa.

Aunque estoy triste porque esto se acaba, me siento satisfecho por lo mucho que he disfrutado, todo lo que he aprendido y la gente que he conocido. Espero no haber decepcionado a nadie y haberme equivocado lo justo y necesario.

Una vez leí que cuando no quieras decir adiós, lo mejor es decir gracias. Así que 122 veces gracias.

Formulario de trigonometría

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