Ejercicios tipo 3. Relaciones entre razones trigonométricas. (5)

 Ejercicio #3 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo agudo "α" sabiendo que: 

tg α =  2/11 (3er Cuad.) tg α = -4 (2º Cuad.) tg α = 2/5 (3er Cuad.) tg α = -3 (4º Cuad.) tg α = -13/4 (2º Cuad.)

tg α = -4/7 (4º Cuad.) tg α = 2 (3er Cuad.) tg α = -7/2 (2º Cuad.) tg α = 5/6 (3er Cuad.) tg α = -10/3 (4º Cuad.)

 Ejemplo resuelto #1 | tg α = -3 (4º Cuad.) 

En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):

tg² α + 1 = 1 / cos² α

Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:

(-3)² + 1 = 1 / cos² α ;

9 + 1 = 1 / cos² α ;

10 = 1 / cos² α ;

 cos² α = 1/10 ;

cos α = 1 / √10

Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = √10 / 10. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se trata de un ángulo del 4º cuadrante. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.

sen α = cos α · tg α = √10/10 · (-3) = - 3√10/10

El signo del seno es positivo, debido a que se trata de un ángulo del 1er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:

• sen α = - 3√10 / 10
• cos α = √10 /10
• tg α = - 3

Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es decir, el ángulo cuya tangente es -3. En la calculadora,   INV   tan   -3 . El resultado en pantalla es el ángulo -71.565º.

No obstante, como debemos expresar la solución como un ángulo del primer giro (entre 0º y 360º), vamos a sumar 360º a ese resultado. Por tanto, la solución es 288.435º.

Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.

 Ejemplo resuelto #2 | tg α = 2/5 (3er Cuad.) 

En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):

tg² α + 1 = 1 / cos² α

Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:

(2/5)² + 1 = 1 / cos² α ;

4/25 + 1 = 1 / cos² α ;

29/25 = 1 / cos² α ;

 cos² α = 25/29 ;

cos α = - 5 / √29

Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = - 5√29 / 29. El signo del coseno del ángulo es negativo, dado que se trata de un ángulo del 3er cuadrante. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.

sen α = cos α · tg α = (-5√29 / 29) · (2/5) = -2√29 / 29

El signo del seno es negativo, debido a que se trata de un ángulo del 3er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:

• sen α = - 2√29 / 29
• cos α = - 5√29 / 29
• tg α = 2/5

Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es decir, el ángulo cuya tangente es 2/5. En la calculadora,   INV   tan   (   2   /   5   ) . El resultado en pantalla es el ángulo 21.801º.

El problema es que buscamos un ángulo del 3er cuadrante, y no del 1º tal y como nos indica la calculadora. En infinidad de ocasiones tendremos que interpretar los resultados ofrecidos por la calculadora.

En este caso, la calculadora nos da un ángulo equivalente al que pretendemos encontrar, cuyos seno, coseno y tangente toman, salvo por el signo, los mismos valores. Para subsanar este "error" de la caluladora deberemos sumar 180º a nuestro resultado. Por todo ello, la solución es 201.801º.

Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.