Ejercicios tipo 6. Aplicación en figuras reales.

Para resolver el tipo de ejercicios que incluye esta entrada, debemos leer detenidamente los enunciados y trasladar los datos que nos facilitan a las figuras. Una vez realizadas éstas, si todo está correctamente expresado, es muy sencillo alcanzar las soluciones mediante cálculos simples.

La mayoría de los siguientes ejercicios ya están resueltos paso por paso, sólo dos de ellos están sin resolver. No obstante, es muy fácil localizar casos de la vida real que nos sirvan como ejemplo para practicar los conocimientos y destrezas adquiridos a lo largo de la unidad.

 Ejercicio #6a | Desde una cierta distancia observamos un edificio bajo un ángulo de 45º. Si nos alejamos 15m, el mismo edificio se observa bajo un ángulo de 30º. Calcula la distancia inicial a la que nos encontrábamos y la altura del edificio. 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, "h". La base del menor es "x" y la del mayor es "x+15".

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg 30º = h / (x+15)
• tg 45º = h / x

Si unimos las dos ecuaciones obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, "x" y "h". No debemos preocuparnos por los valores de tg 30º y tg 45º, ya que podemos usar la calculadora para conocerlos numéricamente.

Resolvemos el sistema por igualación. Despejamos "h" en ambas:

h = tg 30º·(x+15) ; h = tg 45º·x ;

 tg 30º·(x+15) = tg 45º·x 

Se trata de una ecuación de 1er grado con una sola incógnita. Resolvemos:

x·tg 30º - x·tg 45º = - 15·tg 30º

x·(tg 30º - tg 45º) = - 15·tg 30º

x = - 15·tg 30º / (tg 30º - tg 45º)

La solución es x = 20.49m. A partir de ese valor podemos calcular también la altura del edificio, por ejemplo en la segunda ecuación. Dicha altura es también h = 20.49m.

 Ejercicio #6b | Una estatua, que está situada sobre un pedestal de 2m, se observa bajo un ángulo de 60º. Su pedestal, sin estatua, se observa con un ángulo de 30º desde el mismo punto. Calcula la altura de la estatua y la distancia a la que nos encontramos. 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La base de ambos es común, "x". La altura del menor es 2m y la del mayor es "2+h".

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg 30º = 2 / x
• tg 60º = (h+2) / x

Si unimos las dos ecuaciones obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, "x" y "h". Sin embargo, la primera ecuación contiene sólo una incógnita. Resolvemos esta ecuación y obtenemos "x":

 x = 2 / tg 30º 

La solución es x = 3.464m. Con ese valor, sustituimos en la segunda ecuación para determinar "h":

h+2 = x·tg 60º;
h = x·tg 60º - 2

La solución es h = 4m.

 Ejercicio #6c | Una antena de 45m se observa desde una cierta distancia bajo un ángulo de 37º. ¿Cuántos metros debemos acercarnos a la misma para que el nuevo ángulo de observación sea 53º? 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, 45m. La base del menor es "y" y la del mayor es "y+x".

En el menor de ambos triángulos sólo hay una incógnita, "y". Resolvemos la ecuación obtenida al aplicar la definición de la tangente:

tg 53º = 45 / y ;

y·tg 53º = 45 ;

y = 45 / tg 53º

La solución es y = 33.91m. Con ese valor, conseguimos una segunda ecuación para determinar "x" aplicando la definición de la tangente en el triángulo mayor:

tg 37º = 45 / (33.91+x)

33.91+x = 45 / tg 37º

x = 45 / tg 37º - 33.91

La solución es x = 25.81m.

 Ejercicio #6d | Una estatua de 3.5m se encuentra sobre una columna de altura desconocida. Desde un punto determinado, la estatua se observa bajo un ángulo de 55º, mientras que la columna se observa con otro de 35º. Calcula la altura de la columna y la distancia a la que nos encontramos de ella. 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La base de ambos es común, "x". La altura del menor es "h" y la del mayor es "h+3.5".

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg 35º = h / x
• tg 55º = (h+3.5) / x

Si unimos las dos ecuaciones obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, "x" y "h". Resolvemos el sistema por igualación, despejando "x" en ambas:

x = h / tg 35º ; x = (h+3.5) / tg 55º ;

 h / tg 35º = (h+3.5) /tg 55º 

Se trata de una ecuación de 1er grado con una sola incógnita. Resolvemos:

h·tg 55º = tg 35º·(h+3.5) ;
h·tg 55º = h·tg 35º + 3.5·tg 35º ;
h·(tg 55º - tg 35º) = 3.5·tg 35º ;
h = 3.5·tg 35º / (tg 55º - tg 35º)

La solución es h = 3.367m. A partir de ese valor podemos calcular también la altura del edificio, por ejemplo en la primera ecuación. Dicha longitud es x = 4.808m.

 Ejercicio #6e | La cima de una montaña se divisa desde un pueblo cercano bajo un ángulo de 34º. Si nos alejamos de la montaña 587m, ésta se observa bajo un ángulo de 34º. Calcula la altura de la montaña y la distancia que le separa del pueblo. 

 Ejercicio #6f | A una cierta hora del día, los rayos del Sol alcanzan el suelo formando 60º con la horizontal. Calcula la longitud de la sombra de un árbol cuya altura sea 8m. A esa misma hora, otro árbol proyecta una sombra de 7.5m. ¿Cuál es su altura? 

 Ejercicio #6g | La torre de un castillo tiene una altura desconocida "h". El punto más alto de esa torre se observa desde una distancia desconocida bajo un ángulo de 30º. Si nos acercamos 15m, la torre se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura de la torre y la distancia inicial a la que nos encontrábamos. 

En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, "h". La base del menor es "x-15" y la del mayor es "x".

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg 30º = h / x
• tg 45º = h / (x-15)

Si unimos las dos ecuaciones obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, "x" y "h".

Resolvemos el sistema por igualación. Despejamos "h" en ambas:

h = tg 30º·x ; h = tg 45º·(x-15) ;

 tg 30º·x = tg 45º·(x-15) 

Se trata de una ecuación de 1er grado con una sola incógnita. Despejamos:

x·tg 30º = x·tg 45º - 15·tg 45º ;

x·tg 30º - x·tg 45º = - 15·tg 45º ;

x·(tg 30º - tg 45º) = - 15·tg 45 ;

x = - 15·tg 45 / (tg 30º - tg 45º)

La solución obtenida es x = 35.49m. A partir de ese valor podemos calcular también la torre del castillo, por ejemplo en la primera ecuación. Dicha altura es h = 20.49m.

 Ejercicio #6h | En un jardín hay un árbol de 11m de altura cuya sombra, en un determinado momento del día, es de 8m. Tenemos una planta a la que no le puede dar la luz directa del sol. Si esta planta mide 85cm, ¿cuál será la separación máxima entre esta planta y el árbol que le da sombra? 

Se trata de un problema que ya resolvimos en una de las entradas anteriores, pero visto desde el punto de vista de la semejanza.

En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:

• tg α = 11 / 8
• tg α = 0,85 / x

Resolvemos el sistema de ecuaciones con una incógnita por igualación.

11/8 = 0,85/x ;

11x = 0.85·8

x = 6,8/11

La solución obtenida es x = 0,618m. Restamos ahora esta distancia a la distancia total que es 8m, logrando que d = 8 - x. Por tanto, d = 7.381m.