Ejercicios tipo 3. Relaciones entre razones trigonométricas. (3)

 Ejercicio #3 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo agudo "α" sabiendo que: 

tg α =  2/11 tg α = 4 tg α = 2/5 tg α = 3 tg α = 13/4

tg α = 4/7 tg α = 2 tg α = 7/2 tg α = 5/6 tg α = 10/3

 Ejemplo resuelto #1 | tg α = 3 (1er Cuad.) 

En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):

tg² α + 1 = 1 / cos² α

Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:

(3)² + 1 = 1 / cos² α ;

9 + 1 = 1 / cos² α ;

10 = 1 / cos² α ;

 cos² α = 1/10 ;

cos α = 1 / √10

Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = √10 / 10. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se trata de un ángulo agudo. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.

sen α = cos α · tg α = √10/10 · 3 = 3√10/10

El signo del seno es positivo, debido a que se trata de un ángulo del 1er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:

• sen α = 3√10 / 10
• cos α = √10 /10
• tg α = 3

Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es decir, el ángulo cuya tangente es 3. En la calculadora,   INV   tan   3 . El resultado en pantalla es el ángulo 71.565º.

Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.

 Ejemplo resuelto #2 | tg α = 2/5 (1er Cuad.) 

En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):

tg² α + 1 = 1 / cos² α

Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:

(2/5)² + 1 = 1 / cos² α ;

4/25 + 1 = 1 / cos² α ;

29/25 = 1 / cos² α ;

 cos² α = 25/29 ;

cos α = 5 / √29

Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = 5√29 / 29. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se trata de un ángulo agudo. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.

sen α = cos α · tg α = (5√29 / 29) · (2/5) = 2√29 / 29

El signo del seno es positivo, debido a que se trata de un ángulo del 1er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:

• sen α = 2√29 / 29
• cos α = 5√29 / 29
• tg α = 2/5

Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es decir, el ángulo cuya tangente es 2/5. En la calculadora,   INV   tan   (   2   /   5   ) . El resultado en pantalla es el ángulo 21.801º.

Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.