Ejercicios tipo 5. Relaciones entre ángulos. (2)

 Ejercicio #5a | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "180º + α" sabiendo que sen α = 2/9 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5b | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "270º + α" sabiendo que cos α = 4/11 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5c | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "90º - α" sabiendo que sen α = 3/10 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5d | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "180º - α" sabiendo que cos α = 2/13 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5e | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "360º - α" sabiendo que sen α = 4/9 (α ∈ 1er cuadrante). 

 Ejercicio #5f | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "90º + α" sabiendo que cos α = 1/4 (α ∈ 1er cuadrante). 

En primer lugar debemos obtener las razones trigonométricas del ángulo agudo α. Para ello aplicamos una de las RFT:

sen² α + cos² α = 1

Sustituimos el valor del seno del ángulo en esta relación:

sen² α + (1/4)² = 1 ;

sen² α + 1/16 = 1 ;

sen² α = 1 - 1/16 = 15/16

Así, logramos que sen α = √15/4. El signo del seno del ángulo es positivo, dado que se encuentra en el 1er cuadrante. No es necesario calcular la tengente de este ángulo. Por tanto:

• sen α = √15 / 4
• cos α = 1 / 4

 A continuación, debemos razonar sobre la circunferencia goniométrica, comparando el ángulo agudo "α" con el de "90º+α" (que pertenece al 2º cuadrante). A la vista de la figura, podemos concluir que:

• sen (90º+α) = cos α = 1/4
• cos (90º+α) = - sen α = - √15 / 4
• tg (90º+α) = (1/4) / (- √15 / 4) = - 1/√15 = - √15 / 15

 Ejercicio #5g | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "270º - α" sabiendo que sen α = 5/14 (α ∈ 1er cuadrante). 

Aplicamos la relación fundamental de la trigonometría (RFT): sen²α + cos²α = 1. Así, al sustituir:

(5/14)² + cos²α = 1 ;
25/196 + cos²α = 1 ;

cos²α = 1 - 25/196 = 171/196

Después de tomar la raíz cuadrada, factorizar y extraer, obtenemos que cos α = 3√19 / 14.

Aplicamos que tg α = sen α / cos α. De este modo:

tg α = 5/14 : 3√19/14 ;

 tg α = 5√19 / 57

Una vez conocidas las razones del ángulo agudo "α", podemos dar el salto y calcular las razones de "270 - α", que se trata de un ángulo del 3er cuadrante. Al estar en el tercer cuadrante, su seno y su coseno serán negativos. Razonando sobre la circunferencia goniométrica, obtenemos que:

• sen (270º-α) = - cosα = - 3√19/14
• cos (270º-α) = - senα = - 5/14
• tg (270º-α) = - 3√19/14 : (-5/14) = + 3√19/5