Ejercicio #4 | Razona sobre la circunferencia goniométrica (sin usar las relaciones entre razones trigonométricas) para calcular todas las razones del ángulo "α" sabiendo que:
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- Representamos gráficamente una circunferencia goniométrica, marcando sobre la recta tangente un segmento de longitud -2.
- Desde el extremo de ese segmento, trazamos una recta que llegue hasta el origen de coordenadas, obteniendo un punto de intersección con la circunferencia. El segmento que une esa intersección y el origen, representa directamente el ángulo de nuestro problema.
- Marcamos, como explicamos en clase, el seno y el coseno de ese ángulo, logrando un triángulo rectángulo de base "x" (que es el coseno del ángulo) y altura "y" (que es el seno).
- Dibujamos los dos triángulos semejantes. Uno, de mayor tamaño, tiene base 1 y altura 2. Otro es el anterior, con base "x" y altura "y".
- Aplicamos el teorema de Thales relacionando los lados homólogos de ambos: 2 / y = 1 / x ⇒ y = 2x
- Aplicamos el teorema de Pitágoras al segundo:x² + y² = 1
- Logramos un sistema de ecuaciones no lineales, cuya solución es:
- y = sen α = -2√5/5
- x = cos α = √5 / 5
- tg α = - 2
Hay que prestar atención a que el valor del sen α es negativo por tratarse de un ángulo del 4º cuadrante.
Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(-2), es decir, el ángulo cuya tangente es -2. En la calculadora, INV tan (-2) . El resultado en pantalla es el ángulo -63.435º. Se trata de un ángulo negativo que, no obstante, se encuentra en el 4º cuadrante. Para expresarlo adecuadamente como un ángulo comprendido entre 0º y 360º, le sumamos 360º y obtenemos que el ángulo es 296.565º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(-2), es decir, el ángulo cuya tangente es -2. En la calculadora, INV tan (-2) . El resultado en pantalla es el ángulo -63.435º. Se trata de un ángulo negativo que, no obstante, se encuentra en el 4º cuadrante. Para expresarlo adecuadamente como un ángulo comprendido entre 0º y 360º, le sumamos 360º y obtenemos que el ángulo es 296.565º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
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