- Corrección de los ejercicios en clase.
- Ejercicios propuestos: Pag 125-126 nº 40-49
viernes, 10 de abril de 2015
miércoles, 18 de marzo de 2015
Ejercicios tipo 3. Relaciones entre razones trigonométricas. (5)
Ejercicio #3 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo agudo "α" sabiendo que:
|
|
En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):
tg² α + 1 = 1 / cos² α
Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:
(-3)² + 1 = 1 / cos² α ;
9 + 1 = 1 / cos² α ;
10 = 1 / cos² α ;
cos² α = 1/10 ;
cos α = 1 / √10
Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = √10
/ 10. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se trata de
un ángulo del 4º cuadrante. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.
sen α = cos α · tg α = √10/10 · (-3) = - 3√10/10
El signo del seno es positivo, debido a que se trata de un ángulo del 1er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:
- sen α = - 3√10 / 10
- cos α = √10 /10
- tg α = - 3
Podemos comprobar estos
resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es
decir, el ángulo cuya tangente es -3. En la calculadora, INV tan -3 .
El resultado en pantalla es el ángulo -71.565º.
No obstante, como debemos expresar la solución como un ángulo del primer giro (entre 0º y 360º), vamos a sumar 360º a ese resultado. Por tanto, la solución es 288.435º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Ejemplo resuelto #2 | tg α = 2/5 (3er Cuad.)
No obstante, como debemos expresar la solución como un ángulo del primer giro (entre 0º y 360º), vamos a sumar 360º a ese resultado. Por tanto, la solución es 288.435º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Ejemplo resuelto #2 | tg α = 2/5 (3er Cuad.)
En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):
tg² α + 1 = 1 / cos² α
Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:
(2/5)² + 1 = 1 / cos² α ;
4/25 + 1 = 1 / cos² α ;
29/25 = 1 / cos² α ;
cos² α = 25/29 ;
cos α = - 5 / √29
Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = - 5√29
/ 29. El signo del coseno del ángulo es negativo, dado que se trata de
un ángulo del 3er cuadrante. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.
sen α = cos α · tg α = (-5√29
/ 29) · (2/5) = -2√29
/ 29
El signo del seno es negativo, debido a que se trata de un ángulo del 3er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:
- sen α = - 2√29 / 29
- cos α = - 5√29 / 29
- tg α = 2/5
Podemos comprobar estos
resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es
decir, el ángulo cuya tangente es 2/5. En la calculadora, INV tan ( 2 / 5 ) .
El resultado en pantalla es el ángulo 21.801º.
El problema es que buscamos un ángulo del 3er cuadrante, y no del 1º tal y como nos indica la calculadora. En infinidad de ocasiones tendremos que interpretar los resultados ofrecidos por la calculadora.
En este caso, la calculadora nos da un ángulo equivalente al que pretendemos encontrar, cuyos seno, coseno y tangente toman, salvo por el signo, los mismos valores. Para subsanar este "error" de la caluladora deberemos sumar 180º a nuestro resultado. Por todo ello, la solución es 201.801º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
El problema es que buscamos un ángulo del 3er cuadrante, y no del 1º tal y como nos indica la calculadora. En infinidad de ocasiones tendremos que interpretar los resultados ofrecidos por la calculadora.
En este caso, la calculadora nos da un ángulo equivalente al que pretendemos encontrar, cuyos seno, coseno y tangente toman, salvo por el signo, los mismos valores. Para subsanar este "error" de la caluladora deberemos sumar 180º a nuestro resultado. Por todo ello, la solución es 201.801º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Ejercicios tipo 5. Relaciones entre ángulos. (2)
Ejercicio #5a | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "180º + α" sabiendo que sen α = 2/9 (α ∈ 1er cuadrante).
Ejercicio #5b | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "270º + α" sabiendo que cos α = 4/11 (α ∈ 1er cuadrante).
Ejercicio #5c | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "90º - α" sabiendo que sen α = 3/10 (α ∈ 1er cuadrante).
Ejercicio #5d | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "180º - α" sabiendo que cos α = 2/13 (α ∈ 1er cuadrante).
Ejercicio #5e | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "360º - α" sabiendo que sen α = 4/9 (α ∈ 1er cuadrante).
Ejercicio #5f | Razona sobre la circunferencia goniométrica para calcular todas las razones del ángulo "90º + α" sabiendo que cos α = 1/4 (α ∈ 1er cuadrante).
En primer lugar debemos obtener las razones trigonométricas del ángulo agudo α. Para ello aplicamos una de las RFT:
sen² α + cos² α = 1
Sustituimos el valor del seno del ángulo en esta relación:
sen² α + (1/4)² = 1 ;
sen² α + 1/16 = 1 ;
sen² α = 1 - 1/16 = 15/16
Así, logramos que sen α = √15/4. El signo del seno del ángulo es positivo, dado que se encuentra
en el 1er cuadrante. No es necesario calcular la tengente de este ángulo. Por tanto:
- sen α = √15 / 4
- cos α = 1 / 4
A
continuación, debemos razonar sobre la circunferencia goniométrica,
comparando el ángulo agudo "α" con el de "90º+α" (que pertenece al 2º cuadrante). A la vista de la figura, podemos concluir que:
- sen (90º+α) = cos α = 1/4
- cos (90º+α) = - sen α = - √15 / 4
- tg (90º+α) = (1/4) / (- √15 / 4) = - 1/√15 = - √15 / 15
Aplicamos la relación fundamental de la trigonometría (RFT): sen²α + cos²α = 1. Así, al sustituir:
(5/14)² + cos²α = 1 ;
25/196 + cos²α = 1 ;
25/196 + cos²α = 1 ;
cos²α = 1 - 25/196 = 171/196
Después de tomar la raíz cuadrada, factorizar y extraer, obtenemos que cos α = 3√19 / 14.
Aplicamos que tg α = sen α / cos α. De este modo:
tg α = 5/14 : 3√19/14 ;
tg α = 5√19 / 57
Una vez conocidas las razones del ángulo agudo "α", podemos dar el salto y calcular las razones de "270 - α", que se trata de un ángulo del 3er cuadrante. Al estar en el tercer cuadrante, su seno y su coseno serán negativos. Razonando sobre la circunferencia goniométrica, obtenemos que:
- sen (270º-α) = - cosα = - 3√19/14
- cos (270º-α) = - senα = - 5/14
- tg (270º-α) = - 3√19/14 : (-5/14) = + 3√19/5
Ejercicios tipo 4. Relaciones entre razones trigonométricas. (4)
Ejercicio #4 | Razona sobre la circunferencia goniométrica (sin usar las relaciones entre razones trigonométricas) para calcular todas las razones del ángulo "α" sabiendo que:
|
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- Representamos gráficamente una circunferencia goniométrica, marcando sobre la recta tangente un segmento de longitud -2.
- Desde el extremo de ese segmento, trazamos una recta que llegue hasta el origen de coordenadas, obteniendo un punto de intersección con la circunferencia. El segmento que une esa intersección y el origen, representa directamente el ángulo de nuestro problema.
- Marcamos, como explicamos en clase, el seno y el coseno de ese ángulo, logrando un triángulo rectángulo de base "x" (que es el coseno del ángulo) y altura "y" (que es el seno).
- Dibujamos los dos triángulos semejantes. Uno, de mayor tamaño, tiene base 1 y altura 2. Otro es el anterior, con base "x" y altura "y".
- Aplicamos el teorema de Thales relacionando los lados homólogos de ambos: 2 / y = 1 / x ⇒ y = 2x
- Aplicamos el teorema de Pitágoras al segundo:x² + y² = 1
- Logramos un sistema de ecuaciones no lineales, cuya solución es:
- y = sen α = -2√5/5
- x = cos α = √5 / 5
- tg α = - 2
Hay que prestar atención a que el valor del sen α es negativo por tratarse de un ángulo del 4º cuadrante.
Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(-2), es decir, el ángulo cuya tangente es -2. En la calculadora, INV tan (-2) . El resultado en pantalla es el ángulo -63.435º. Se trata de un ángulo negativo que, no obstante, se encuentra en el 4º cuadrante. Para expresarlo adecuadamente como un ángulo comprendido entre 0º y 360º, le sumamos 360º y obtenemos que el ángulo es 296.565º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Podemos comprobar estos resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(-2), es decir, el ángulo cuya tangente es -2. En la calculadora, INV tan (-2) . El resultado en pantalla es el ángulo -63.435º. Se trata de un ángulo negativo que, no obstante, se encuentra en el 4º cuadrante. Para expresarlo adecuadamente como un ángulo comprendido entre 0º y 360º, le sumamos 360º y obtenemos que el ángulo es 296.565º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Ejercicios tipo 3. Relaciones entre razones trigonométricas. (3)
Ejercicio #3 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo agudo "α" sabiendo que:
|
|
En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):
tg² α + 1 = 1 / cos² α
Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:
(3)² + 1 = 1 / cos² α ;
9 + 1 = 1 / cos² α ;
10 = 1 / cos² α ;
cos² α = 1/10 ;
cos α = 1 / √10
Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = √10 / 10. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se trata de un ángulo agudo. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.
sen α = cos α · tg α = √10/10 · 3 = 3√10/10
El signo del seno es positivo, debido a que se trata de un ángulo del 1er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:
- sen α = 3√10 / 10
- cos α = √10 /10
- tg α = 3
Podemos comprobar estos
resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es
decir, el ángulo cuya tangente es 3. En la calculadora, INV tan 3 .
El resultado en pantalla es el ángulo 71.565º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Ejemplo resuelto #2 | tg α = 2/5 (1er Cuad.)
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Ejemplo resuelto #2 | tg α = 2/5 (1er Cuad.)
En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):
tg² α + 1 = 1 / cos² α
Sustituimos el valor de la tangente del ángulo en esta relación:
(2/5)² + 1 = 1 / cos² α ;
4/25 + 1 = 1 / cos² α ;
29/25 = 1 / cos² α ;
cos² α = 25/29 ;
cos α = 5 / √29
Así, una vez racionalizado el denominador, logramos que cos α = 5√29
/ 29. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se trata de
un ángulo agudo. Por último, calculamos el seno, sabiendo que sen α = cos α · tg α.
sen α = cos α · tg α = (5√29
/ 29) · (2/5) = 2√29
/ 29
El signo del seno es positivo, debido a que se trata de un ángulo del 1er cuadrante. Por tanto, la solución al ejercicio es:
- sen α = 2√29 / 29
- cos α = 5√29 / 29
- tg α = 2/5
Podemos comprobar estos
resultados en la calculadora. En primer lugar calculamos arc tg(3), es
decir, el ángulo cuya tangente es 2/5. En la calculadora, INV tan ( 2 / 5 ) .
El resultado en pantalla es el ángulo 21.801º.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Una vez conocido este ángulo, podemos calcular su seno y su coseno para compararlos con los resultados numéricos anteriores. Salvo por una pequeña diferencia (debida a que estamos usando una aproximación del ángulo exacto), los resultados son ciertos.
Ejercicios tipo 2. Relaciones entre razones trigonométricas. (2)
Ejercicio #2 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo "α" sabiendo que:
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Para llevar a cabo estos ejercicios puedes calcular las razones independientemente del cuadrante en que se encuentre el ángulo. Si así lo prefieres, puedes explicar qué signo debe acompañar a cada una de las soluciones sólo al final, razonando a partir del cuadrante donde están situados.
Ejemplo resuelto #1 | sen α = -1/4 (4º Cuad.)
En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):
Sustituimos el valor del seno del ángulo en esta relación:
Así, logramos que cos α = √15 / 4. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se encuentra en el 4º cuadrante. Por último, calculamos la tangente, aplicando la definición:
El signo de la tangente es negativo, debido a que se trata de un ángulo del 4º cuadrante.
Por tanto, la solución al ejercicio es:
Ejemplo resuelto #1 | sen α = -1/4 (4º Cuad.)
En primer lugar aplicamos una de las relaciones fundamentales de la trigonometría (RFT):
sen² α + cos² α = 1
Sustituimos el valor del seno del ángulo en esta relación:
(1/4)² + cos² α = 1 ;
1/16 + cos² α = 1 ;
cos² α = 1 - 1/16 = 15/16
Así, logramos que cos α = √15 / 4. El signo del coseno del ángulo es positivo, dado que se encuentra en el 4º cuadrante. Por último, calculamos la tangente, aplicando la definición:
tg α = sen α / cos α = (-1/4) / (√15/4) = -1 / √15 = -√15 / 15
El signo de la tangente es negativo, debido a que se trata de un ángulo del 4º cuadrante.
Por tanto, la solución al ejercicio es:
- sen α = -1 / 4
- cos α = √15 / 4
- tg α = -√15 / 15
Ejercicios tipo 1. Razones en triángulos rectángulos.
Ejercicio #1 | Halla todas las razones del ángulo agudo "α" a partir de los siguientes triángulos rectángulos:
Ejercicios tipo 2. Relaciones entre razones trigonométricas.
Ejercicio #2 | Aplica las relaciones entre las razones trigonométricas para calcular todas las razones del ángulo agudo "α" sabiendo que:
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Ejercicios tipo 6. Aplicación en figuras reales.
Para resolver el tipo de ejercicios que incluye esta entrada, debemos leer detenidamente los enunciados y trasladar los datos que nos facilitan a las figuras. Una vez realizadas éstas, si todo está correctamente expresado, es muy sencillo alcanzar las soluciones mediante cálculos simples.
La mayoría de los siguientes ejercicios ya están resueltos paso por paso, sólo dos de ellos están sin resolver. No obstante, es muy fácil localizar casos de la vida real que nos sirvan como ejemplo para practicar los conocimientos y destrezas adquiridos a lo largo de la unidad.
Ejercicio #6a | Desde una cierta distancia observamos un edificio bajo un ángulo de 45º. Si nos alejamos 15m, el mismo edificio se observa bajo un ángulo de 30º. Calcula la distancia inicial a la que nos encontrábamos y la altura del edificio.
La mayoría de los siguientes ejercicios ya están resueltos paso por paso, sólo dos de ellos están sin resolver. No obstante, es muy fácil localizar casos de la vida real que nos sirvan como ejemplo para practicar los conocimientos y destrezas adquiridos a lo largo de la unidad.
Ejercicio #6a | Desde una cierta distancia observamos un edificio bajo un ángulo de 45º. Si nos alejamos 15m, el mismo edificio se observa bajo un ángulo de 30º. Calcula la distancia inicial a la que nos encontrábamos y la altura del edificio.
En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, "h". La base del menor es "x" y la del mayor es "x+15".
En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:
- tg 30º = h / (x+15)
- tg 45º = h / x
Resolvemos el sistema por igualación. Despejamos "h" en ambas:
h = tg 30º·(x+15) ; h = tg 45º·x ;
tg 30º·(x+15) = tg 45º·x
Se trata de una ecuación de 1er grado con una sola incógnita. Resolvemos:
x·tg 30º - x·tg 45º = - 15·tg 30º
x·(tg 30º - tg 45º) = - 15·tg 30º
x = - 15·tg 30º / (tg 30º - tg 45º)
La solución es x = 20.49m. A partir de ese valor podemos calcular también la altura del edificio, por ejemplo en la segunda ecuación. Dicha altura es también h = 20.49m.
En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La base de ambos es común, "x". La altura del menor es 2m y la del mayor es "2+h".
En
ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto
contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos
es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:
La solución es h = 4m.
En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, 45m. La base del menor es "y" y la del mayor es "y+x".
En el menor de ambos triángulos sólo hay una incógnita, "y". Resolvemos la ecuación obtenida al aplicar la definición de la tangente:
La solución es x = 25.81m.
En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La base de ambos es común, "x". La altura del menor es "h" y la del mayor es "h+3.5".
En ambos triángulos, debemos
relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón
trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos
la definición de dicha razón:
La solución es h = 3.367m.
A partir de ese valor podemos calcular también la altura del edificio,
por ejemplo en la primera ecuación. Dicha longitud es x = 4.808m.
Ejercicio
#6b | Una estatua, que está situada sobre un pedestal de 2m, se observa bajo un ángulo de 60º. Su pedestal, sin estatua, se observa con un ángulo de 30º desde el mismo punto. Calcula la altura de la estatua y la distancia a la que nos encontramos.
En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La base de ambos es común, "x". La altura del menor es 2m y la del mayor es "2+h".
- tg 30º = 2 / x
- tg 60º = (h+2) / x
x = 2 / tg 30º
La solución es x = 3.464m. Con ese valor, sustituimos en la segunda ecuación para determinar "h":
h+2 = x·tg 60º;
h = x·tg 60º - 2
h = x·tg 60º - 2
Ejercicio
#6c | Una antena de 45m se observa desde una cierta distancia bajo un ángulo de 37º. ¿Cuántos metros debemos acercarnos a la misma para que el nuevo ángulo de observación sea 53º?
En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, 45m. La base del menor es "y" y la del mayor es "y+x".
tg 53º = 45 / y ;
y·tg 53º = 45 ;
y = 45 / tg 53º
La solución es y = 33.91m. Con ese valor, conseguimos una segunda ecuación para determinar "x" aplicando la definición de la tangente en el triángulo mayor:
tg 37º = 45 / (33.91+x)
33.91+x = 45 / tg 37º
x = 45 / tg 37º - 33.91
Ejercicio
#6d | Una estatua de 3.5m se encuentra sobre una columna de altura desconocida. Desde un punto determinado, la estatua se observa bajo un ángulo de 55º, mientras que la columna se observa con otro de 35º. Calcula la altura de la columna y la distancia a la que nos encontramos de ella.
En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La base de ambos es común, "x". La altura del menor es "h" y la del mayor es "h+3.5".
- tg 35º = h / x
- tg 55º = (h+3.5) / x
x = h / tg 35º ; x = (h+3.5) / tg 55º ;
h / tg 35º = (h+3.5) /tg 55º
Se trata de una ecuación de 1er grado con una sola incógnita. Resolvemos:
h·tg 55º = tg 35º·(h+3.5) ;
h·tg 55º = h·tg 35º + 3.5·tg 35º ;
h·(tg 55º - tg 35º) = 3.5·tg 35º ;
h = 3.5·tg 35º / (tg 55º - tg 35º)
h·tg 55º = h·tg 35º + 3.5·tg 35º ;
h·(tg 55º - tg 35º) = 3.5·tg 35º ;
h = 3.5·tg 35º / (tg 55º - tg 35º)
Ejercicio
#6e | La cima de una montaña se divisa desde un pueblo cercano bajo un ángulo de 34º. Si nos alejamos de la montaña 587m, ésta se observa bajo un ángulo de 34º. Calcula la altura de la montaña y la distancia que le separa del pueblo.
Ejercicio
#6f | A una cierta hora del día, los rayos del Sol alcanzan el suelo formando 60º con la horizontal. Calcula la longitud de la sombra de un árbol cuya altura sea 8m. A esa misma hora, otro árbol proyecta una sombra de 7.5m. ¿Cuál es su altura?
Ejercicio #6g | La torre de un castillo tiene una altura desconocida "h". El punto más alto de esa torre se observa desde una distancia desconocida bajo un ángulo de 30º. Si nos acercamos 15m, la torre se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura de la torre y la distancia inicial a la que nos encontrábamos.
Ejercicio #6g | La torre de un castillo tiene una altura desconocida "h". El punto más alto de esa torre se observa desde una distancia desconocida bajo un ángulo de 30º. Si nos acercamos 15m, la torre se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura de la torre y la distancia inicial a la que nos encontrábamos.
En nuestro caso, dibujaremos un triángulo de mayor tamaño que contiene a otro menor. La altura de ambos es común, "h". La base del menor es "x-15" y la del mayor es "x".
En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:
- tg 30º = h / x
- tg 45º = h / (x-15)
Resolvemos el sistema por igualación. Despejamos "h" en ambas:
h = tg 30º·x ; h = tg 45º·(x-15) ;
tg 30º·x = tg 45º·(x-15)
Se trata de una ecuación de 1er grado con una sola incógnita. Despejamos:
La solución obtenida es x = 35.49m. A partir de ese valor podemos calcular también la torre del castillo, por ejemplo en la primera ecuación. Dicha altura es h = 20.49m.
x·tg 30º = x·tg 45º - 15·tg 45º ;
x·tg 30º - x·tg 45º = - 15·tg 45º ;
x·(tg 30º - tg 45º) = - 15·tg 45 ;
x = - 15·tg 45 / (tg 30º - tg 45º)
La solución obtenida es x = 35.49m. A partir de ese valor podemos calcular también la torre del castillo, por ejemplo en la primera ecuación. Dicha altura es h = 20.49m.
Ejercicio
#6h | En un jardín hay un árbol de 11m de altura cuya sombra, en un
determinado momento del día, es de 8m. Tenemos una planta a la que no le
puede dar la luz directa del sol. Si esta planta mide 85cm, ¿cuál será
la separación máxima entre esta planta y el árbol que le da sombra?
Se trata de un problema que ya resolvimos en una de las entradas anteriores, pero visto desde el punto de vista de la semejanza.
En ambos triángulos, debemos relacionar el cateto opuesto con el cateto
contiguo. Dado que la razón trigonométrica que relaciona los dos catetos
es la tangente, aplicamos la definición de dicha razón:
- tg α = 11 / 8
- tg α = 0,85 / x
Resolvemos el sistema de ecuaciones con una incógnita por igualación.
11/8 = 0,85/x ;
11x = 0.85·8
x = 6,8/11
La solución obtenida es x = 0,618m. Restamos ahora esta distancia a la distancia total que es 8m, logrando que d = 8 - x. Por tanto, d = 7.381m.
viernes, 13 de marzo de 2015
Ejercicios incluidos en los exámenes de la Unidad 6 (Trigonometría)
A continuación se muestran los enunciados de las pruebas escritas de la unidad 6 relativa a trigonometría.
Ejercicio #1 | Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo (270º + α) sabiendo que α es un ángulo agudo cuyo coseno vale 2/5. Recuerda que debes razonar sobre una figura que puedes construir sobre la siguiente cuadrícula.
Ejercicio #2 | Una estatua de 2m está situada sobre un pedestal de altura desconocida. Desde un punto situado a una distancia “d” de la base del pedestal, dicho pedestal se observa bajo un ángulo de 37º. La estatua se ve bajo uno de 53º. Calcula la altura “h” del pedestal y la distancia “d”.
Ejercicio #2 | Una estatua de 2m está situada sobre un pedestal de altura desconocida. Desde un punto situado a una distancia “d” de la base del pedestal, dicho pedestal se observa bajo un ángulo de 37º. La estatua se ve bajo uno de 53º. Calcula la altura “h” del pedestal y la distancia “d”.
Ejercicio #3 | Sabiendo que tg α = -3, calcula todas las razones trigonométricas del ángulo α perteneciente al 4º cuadrante:
- aplicando la RFT,
- razonando sobre la circunferencia goniométrica.
- Calcula, usando la calculadora, el valor numérico de dicho ángulo. Explica los pasos que sigues para lograr la solución.
Ejercicio #4 | Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo (270º – α) sabiendo que α es un ángulo agudo cuyo coseno vale 1/5. Recuerda que debes razonar sobre una figura que puedes construir sobre la siguiente cuadrícula.
Ejercicio #5 | Una estatua está situada sobre un pedestal de 1.5m de altura. Desde un punto situado a una distancia “d” de la base del pedestal, dicho pedestal se observa bajo un ángulo de 37º. La estatua se ve bajo uno de 53º. Calcula la altura “h” de la estatua y la distancia “d”.
Ejercicio #6 | Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo α perteneciente al 3er cuadrante sabiendo que tgα = 3:
Ejercicio #5 | Una estatua está situada sobre un pedestal de 1.5m de altura. Desde un punto situado a una distancia “d” de la base del pedestal, dicho pedestal se observa bajo un ángulo de 37º. La estatua se ve bajo uno de 53º. Calcula la altura “h” de la estatua y la distancia “d”.
Ejercicio #6 | Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo α perteneciente al 3er cuadrante sabiendo que tgα = 3:
- aplicando la RFT
- razonando sobre la circunferencia goniométrica.
- Calcula, usando la calculadora, el valor numérico de dicho ángulo. Explica los pasos que sigues para lograr la solución.
122
122 no es un número primo, porque es par. Tampoco es un número redondo, porque no acaba en cero. Ni siquiera (por muy poco) es un cuadrado perfecto. Nunca vas a encontrar una lista con las 122 mejores películas de la historia del cine o con las 122 mejores canciones del momento. No sucedió nada excepcional en el 122 a.C. ni en el 122 d.C. En la famosa película de Disney, sólo había 101 dálmatas. La tabla periódica se detiene (hasta nuevo aviso) en el elemento Z = 119. Por más que investigo, 122 no parece ser una cifra importante por nada concreto ni para nadie.
A pesar de todo, para mí es un número que significa mucho y no voy a olvidar nunca. Hoy hace 122 días que me embarcaba una nueva aventura, y esa aventura termina hoy.
En 122 días hay tiempo más que suficiente para muchas cosas, pero a mí se me han hecho muy cortos. Cuando haces lo que más te gusta y te diviertes, el tiempo pasa deprisa. Cuando lo haces con gente que merece la pena, demasiado deprisa.
Aunque estoy triste porque esto se acaba, me siento satisfecho por lo mucho que he disfrutado, todo lo que he aprendido y la gente que he conocido. Espero no haber decepcionado a nadie y haberme equivocado lo justo y necesario.
Aunque estoy triste porque esto se acaba, me siento satisfecho por lo mucho que he disfrutado, todo lo que he aprendido y la gente que he conocido. Espero no haber decepcionado a nadie y haberme equivocado lo justo y necesario.
Una vez leí que cuando no quieras decir adiós, lo mejor es decir gracias. Así que 122 veces gracias.
miércoles, 11 de marzo de 2015
miércoles, 25 de febrero de 2015
Ejercicios propuestos sobre semejanza (8). Exámenes.
Los ejercicios que encontráis a continuación pertenecen a los exámenes de la unidad 5 realizados los días 24 y 25 de febrero.
Ejercicio #1 | Algunas estaciones meteorológicas disponen de antenas de gran altura para medir ciertos valores de las condiciones atmosféricas. Una de estas antenas se encuentra anclada al suelo desde su punto más alto mediante dos cables de acero que forman entre sí un ángulo recto. Si uno de esos cables mide 77m y la distancia entre ese anclaje y el pie de la antena es 51m, ¿qué distancia separa los anclajes de ambos cables? ¿Cuál es la longitud del segundo cable? ¿Qué altura tiene esa antena?
Ejercicio #2 | La longitud aproximada de la torre inclinada de Pisa es de 56.265m y su desviación respecto de la vertical es de 3.9m. ¿A qué distancia de su base debemos colocarnos para que su base, el punto más alto de la torre y nuestra posición formen un triángulo rectángulo? Calcula su altura real sin usar el teorema de Pitágoras.
Ejercicio #3 | El Turning Torso, ubicado en la ciudad sueca de Malmö y con sus 190m de altura, es el edificio más alto de toda Escandinavia. Nos situamos en un punto A situado a 120m de su base. Calcula a qué distancia debe encontrarse otro punto B en sentido opuesto para que el punto más alto del edificio, el punto A y nuestra posición formen un triángulo rectángulo. ¿Qué distancia real separa a los puntos A y B de la última planta del Turning Torso?
Ejercicio #4 | Dibuja en la zona izquierda de una cuadrícula un trapecio isósceles (a). En la zona derecha, dibuja otro trapecio isósceles (b) que guarde una proporción 1:3. ¿Qué relación existirá entre sus diagonales? ¿Y entre sus áreas? Para un caso concreto, demuestra numéricamente qué razón existe entre sus alturas.
Ejercicio #5 | La altura aproximada de la torre inclinada de la Asunción de Bujalance, en Córdoba, es de 55m y su desviación respecto de la vertical es de 1.15m. ¿A qué distancia de la base debemos colocarnos para que su base, el punto más alto de la torre y nuestra posición formen un triángulo rectángulo? Calcula la longitud real de esta torre sin usar el teorema de Pitágoras.
Ejercicio #6 | El Englischer Garten o Jardín Inglés de Munich es uno de los lugares más bellos y tranquilos de esta ciudad alemana. En este parque existe una pagoda china de 35m de altura. Un punto A se encuentra a una distancia desconocida “x” de la base de la pagoda. Otro punto B, situado en el lado opuesto, se encuentra al triple de distancia, de manera que A, B y el punto más alto de la pagoda forman un triángulo rectángulo. ¿Qué distancia separa a los puntos A y B de la base de ese edificio? ¿Y qué distancia real les separa del lugar más alto de la pagoda?
lunes, 23 de febrero de 2015
Ejercicios propuestos sobre semejanza (7). Viajando.
Ejemplo #1 | El principal icono de O'Connell Street y uno de los lugares más emblemáticos de la capital irlandesa es The Spire. Se trata de un monumento con apariencia de aguja vertical que mide 120m de altura. Su forma de aguja se debe a que la base, con un diámetro de 3m, se va estrechando hasta los 15cm. ¿Cuál será el diámetro de The Spire si nos encontramos a 50m de altura? (Debes considerar la sección o corte vertical de The Spire como un trapecio isósceles). ¿Cómo se habría resuelto este mismo problema si el monumento tuviera forma de triángulo isósceles, es decir, si acabara en pico?
x / 1.425 = 70 / 120
x = 1.425·70/120
El valor de "x" será 0.83125m. Como esa distancia aparece dos veces y además tenemos que sumarle otros 0.15m, el diámetro de la aguja a esos 50m de altura será 1.8125m.
Si ahora tratamos el monumento como un triángulo isósceles, todo se simplifica enormemente, ya que podemos aplicar la relación de semejanza de forma directa, descomponiendo en un triángulo de mayor tamaño de altura 120m y base 3m y otro más pequeño de atura 70m y base "d". Así pues:
Si ahora tratamos el monumento como un triángulo isósceles, todo se simplifica enormemente, ya que podemos aplicar la relación de semejanza de forma directa, descomponiendo en un triángulo de mayor tamaño de altura 120m y base 3m y otro más pequeño de atura 70m y base "d". Así pues:
d / 3 = 70 / 120
d = 3·70/120
El valor de "d" sería de 1.75m
Ejemplo #2 | El monumento anterior, cuya altura conocemos, mide 120m. A una hora determinada de la mañana proyecta una sombra de longitud "x". A cierta hora de la tarde proyecta una sombra tres veces mayor, de modo que si unimos el punto más alto de la aguja y los extremos de sus sombras obtenemos un triángulo rectángulo como el que muestra la figura. Calcula el valor de "x" así como la distancia de los extremos A y B al punto más alto del monumento.
Al trazar las sombras, dividimos la base en dos segmentos de longitudes "x" y "3x". Dado que la altura del monumento es un dato conocido, 120, podemos aplicar el teorema de la altura (h^2 = m·n):
120^2 = x·3x
120^2 = 3x^2
x^2 = 4800
x^2 = 4800
La longitud "x" será de 69.282m, y el otro segmento de longitud "3x" medirá 207.846m. La hipotenusa del triángulo medirá en total 277.128m.
Para calcular la distancia entre el punto más alto de la aguja y los extremos de las sombras debemos aplicar el teorema del cateto (a^2 = m·hipotenusa ; b^2 = n·hipotenusa). Así:
Para calcular la distancia entre el punto más alto de la aguja y los extremos de las sombras debemos aplicar el teorema del cateto (a^2 = m·hipotenusa ; b^2 = n·hipotenusa). Así:
a^2 = 69.282·277.128 ; b^2 = 207.846·277.128
Los resultados son a = 138.564m y b = 240m.
Ejemplo #3 | El famoso Big Ben de Londres se trata de una torre anexa a las Casas del Parlamento, cuyo reloj y el sonido de sus campanas son mundialmente conocidos. La altura del edificio es aproximadamente de 96.3m. A una cierta hora del día su sombra mide 35m. Si caminamos en el sentido opuesto, ¿a qué distancia debemos marcharnos para que formemos un triángulo rectángulo con el extremo de la sombra y el punto más alto de la torre?
Se trata de un problema bastante simple, en el que solamente debemos aplicar el teorema de la altura (h^2 = m·n):
96.3^2 = 35·n
n = 96.3^2/35
La
longitud "n" será de 264.96m.
Ejemplo #4 | En las inmediaciones de la estación Victoria (o Victoria Station), también en la ciudad de Londres, existía una "pequeña" réplica del Big Ben, conocida como Little Ben. Dicha réplica ha sido almacenada hasta que concluyan las obras de remodelación que afectan desde hace varios años a la estación. Si la altura de esta otra torre es de 6m, ¿cómo expresarías la escala de la miniatura? ¿Qué razón de semejanza existe entre ambos monumentos? Si medimos la longitud de su sombra en el mismo instante que en el problema anterior, ¿cuánto medirá la sombra del Little Ben? Para simplificar los cálculos, puedes considerar que la altura del Big Ben es de 96m (sin decimales).
Lo primero que vamos a hacer es calcular la razón de semejanza entre ambos objetos, tomando como referencia la menor de ellas, Little Ben. Para calcular "k" dividimos la altura del mayor de ambos por la del menor, así:
Conocida la razón de semejanza k = 16 resulta muy sencillo expresar la proporción entre ambas figuras, que será 1:16 (el Big Ben es 16 veces mayor que el Little Ben).
Para calcular la sombra del Little Ben a esa hora del día, tomamos los 35m que medía la sombra del Big Ben y razonamos:
Por tanto, su sombra "s" medirá 2.1875m.
Lo primero que vamos a hacer es calcular la razón de semejanza entre ambos objetos, tomando como referencia la menor de ellas, Little Ben. Para calcular "k" dividimos la altura del mayor de ambos por la del menor, así:
k = 96 / 6 = 16
Conocida la razón de semejanza k = 16 resulta muy sencillo expresar la proporción entre ambas figuras, que será 1:16 (el Big Ben es 16 veces mayor que el Little Ben).
Para calcular la sombra del Little Ben a esa hora del día, tomamos los 35m que medía la sombra del Big Ben y razonamos:
16 = 35 / s
s = 35/16
Por tanto, su sombra "s" medirá 2.1875m.
domingo, 22 de febrero de 2015
¡A la calle!
En esta entrada del blog vamos a compartir parte del "trabajo de campo" que han realizado algunos de nuestros compañeros. Dichos trabajos se incluirán a través de un enlace a diferentes archivos en formato PDF, PNG o JPG.
La idea es muy sencilla: aplicar lo aprendido en el aula sobre la semejanza y el teorema de Thales a casos de la la vida real. Gracias al teorema de Thales y razonando sobre figuras semejantes haremos la estimación de la altura de diferentes objetos reales. Vamos a echar las Matemáticas a la calle.
¿Por qué usar este método en lugar de la medida directa? La respuesta es muy sencilla. Resultaría peligroso subirnos a la copa de un árbol para medir directamente su altura. No disponemos de una cinta métrica suficientemente larga como para medir la altura de un edificio muy alto.
Por otra parte, la trigonometría (que se estudiará en la en la próxima unidad) nos permitirá afrontar estos mismos casos desde un punto de vista distinto. Volveremos a plantear el mismo problema, pero estudiando los ángulos, de modo que podremos comparar los resultados obtenidos.
La idea es muy sencilla: aplicar lo aprendido en el aula sobre la semejanza y el teorema de Thales a casos de la la vida real. Gracias al teorema de Thales y razonando sobre figuras semejantes haremos la estimación de la altura de diferentes objetos reales. Vamos a echar las Matemáticas a la calle.
¿Por qué usar este método en lugar de la medida directa? La respuesta es muy sencilla. Resultaría peligroso subirnos a la copa de un árbol para medir directamente su altura. No disponemos de una cinta métrica suficientemente larga como para medir la altura de un edificio muy alto.
Por otra parte, la trigonometría (que se estudiará en la en la próxima unidad) nos permitirá afrontar estos mismos casos desde un punto de vista distinto. Volveremos a plantear el mismo problema, pero estudiando los ángulos, de modo que podremos comparar los resultados obtenidos.
| Ejemplo #1 | Medida de la altura de una estatua cercana al Colegio Virgen del Carmen. Grupo: Paula Bonilla, Reyes Prieto, Marta Puentes. |
| Ejemplo #2 | Medida de la altura de la Estación de trenes de Córdoba. Grupo: Juan Garrido, Carmen Montoza, Clara Vélez. |
viernes, 20 de febrero de 2015
Ejercicios propuestos sobre semejanza (6)
Ejercicio
#1 | Estamos analizando un mapa cuya escala es 1:8000 para cercar una finca con forma rectangular. Sobre el mapa, sus lados miden 7cm y 3.25cm. ¿Cuántos metros de alambre de espino se
necesitarán para protegerlo si queremos emplear un sistema de vallado
triple? ¿Qué superficie tiene? En esa finca hay una nave cuyas dimensiones reales son 20m x 8m. ¿Con qué medidas se verá reflejada en el mapa?
Ejercicio
#2A | Algunas estaciones meteorológicas disponen de antenas de gran altura para medir ciertos valores de las condiciones atmosféricas. Una de estas antenas se encuentra anclada al suelo desde
su punto más alto mediante dos cables de acero que forman entre sí un
ángulo recto. Si uno de esos cables mide 67m y la distancia entre ese anclaje y el pie de la antena es 31m, ¿qué distancia separa los
anclajes de ambos cables? ¿Cuál es la
longitud del segundo cable? ¿Qué altura tiene esa antena?
Ejercicio
#2B | Dos ciudades y la central eléctrica que produce la energía que
consumen forman un triángulo rectángulo cuyo lado más largo se
corresponde con la línea principal que abastece a la primera ciudad.
Desde la segunda ciudad parte otra línea de 35 km de longitud que
corta perpendicularmente a la primera, dividiéndola en dos tramos.
Desde ese punto hasta la central hay el doble de distancia que a la
primera ciudad. Calcula el resto de distancias de la figura obtenida.
Ejercicio
#3A | Dibuja un trapecio rectángulo cualquiera. A partir del mismo, dibuja otro que guarde una proporción 1:2 respecto del original. Explica razonadamente qué relación existirá entre sus áreas. ¿Y entre sus diagonales? ¿Y sus perímetros? (Puedes apoyar tu explicación en algún ejemplo concreto)
Ejercicio
#3B | Dibuja un trapecio isósceles cualquiera. A partir del mismo, dibuja otro que guarde una proporción 1:2 respecto del original. Explica razonadamente qué relación existirá entre sus áreas. ¿Y entre sus diagonales? ¿Y sus perímetros? (Puedes apoyar tu explicación en algún ejemplo concreto)
Ejercicio
#4 | Una persona de altura desconocida proyecta a una hora determinada
del día una sombra de 9m. Otra persona que mide 22cm menos que la
anterior
proyecta en ese mismo momento una sombra de 8m. Calcula la altura de
ambas. ¿Qué razón de semejanza existe entre ambas figuras? A otra hora
del día, más cercana al atardecer, la sombra de la persona más alta mide
15m. ¿Cuánto medirá la sombra de la otra persona?
miércoles, 18 de febrero de 2015
Ejercicios propuestos sobre semejanza (5)
Ejercicio
#1 | Estamos analizando un mapa cuya escala es 1:800 para cercar un terreno de cultivo con forma rectangular. Sobre el mapa, los lados del terreno miden 4cm y 2.5cm. ¿Cuántos metros de alambre de espino se necesitarán para protegerlo si queremos emplear un sistema de vallado triple? ¿Qué superficie tiene? Si junto a este terreno disponemos de un pequeño huerto de planta cuadrada cuyo lado mide 25m en la realidad, ¿con qué tamaño aparecerá reflejado en el mapa?
————————————————————————————
1 | 8
2.5 | 20
4 | 32
Primero se hace una tabla con la escala y se averiguan las equivalencias. Ahora se obtiene el perímetro.
20m·2 + 32m·2 = 104m
Como indica que quieren triple vallado se multiplica el perímetro por 3. Y el área, base·altura.
- Vallado: 104·3 = 312 m
- Área = 20m·32m = 640 m^2
3.125 | 25
Para conseguir el área se calcula el cuadrado del lado (o lado por lado).
(3.125cm)^2 = 9.766cm^2
Ejercicio
#2 | Una antena de comunicaciones se encuentra anclada al suelo desde su punto más alto mediante dos cables de acero que forman entre sí un ángulo recto. Si uno de esos cables mide 30m y la distancia entre su anclaje y la base de la antena es 21m, ¿qué distancia separa los anclajes de ambos cables? ¿Qué altura tiene esa antena? ¿Cuál es la longitud del segundo cable?
Para resolverlo averiguo primero la altura usando la fórmula de Pitágoras con el triángulo de la izquierda, tomando 30m como la hipotenusa.
30^2= h^2+21^2
h^2= 459
h= 21’42m
Al tener la altura podemos calcular el tramo que nos falta para calcular b, mediante el teorema de la altura.
21’42^2= 31x n
n= 14’8
b= 21+14’8= 35’8
Por último para conseguir lo que vale a, se vuelve a usar la fórmula de Pitágoras.
a^2= 14’8^2 + 21’42^2
a= 26’04 m
Ejercicio
#3 | Una persona de altura desconocida proyecta a una hora determinada del día una sombra de 2m. Otra persona que mide 20cm más que la anterior proyecta en ese mismo momento una sombra de 2.25m. Calcula la altura de ambas.
Ejercicio
#4 | Dos ciudades y la central eléctrica que produce la energía que consumen forman un triángulo rectángulo cuyo lado más largo se corresponde con la línea principal que abastece a la primera ciudad. Desde la segunda ciudad parte otra línea de 15 km de longitud que corta perpendicularmente a la primera, dividiéndola en dos tramos. Desde ese punto hasta la central hay el triple de distancia que a la primera ciudad. Calcula el resto de distancias de la figura obtenida.
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