Ejemplo #1 | El principal icono de O'Connell Street y uno de los lugares más emblemáticos de la capital irlandesa es The Spire. Se trata de un monumento con apariencia de aguja vertical que mide 120m de altura. Su forma de aguja se debe a que la base, con un diámetro de 3m, se va estrechando hasta los 15cm. ¿Cuál será el diámetro de The Spire si nos encontramos a 50m de altura? (Debes considerar la sección o corte vertical de The Spire como un trapecio isósceles). ¿Cómo se habría resuelto este mismo problema si el monumento tuviera forma de triángulo isósceles, es decir, si acabara en pico?
x / 1.425 = 70 / 120
x = 1.425·70/120
El valor de "x" será 0.83125m. Como esa distancia aparece dos veces y además tenemos que sumarle otros 0.15m, el diámetro de la aguja a esos 50m de altura será 1.8125m.
Si ahora tratamos el monumento como un triángulo isósceles, todo se simplifica enormemente, ya que podemos aplicar la relación de semejanza de forma directa, descomponiendo en un triángulo de mayor tamaño de altura 120m y base 3m y otro más pequeño de atura 70m y base "d". Así pues:
Si ahora tratamos el monumento como un triángulo isósceles, todo se simplifica enormemente, ya que podemos aplicar la relación de semejanza de forma directa, descomponiendo en un triángulo de mayor tamaño de altura 120m y base 3m y otro más pequeño de atura 70m y base "d". Así pues:
d / 3 = 70 / 120
d = 3·70/120
El valor de "d" sería de 1.75m
Ejemplo #2 | El monumento anterior, cuya altura conocemos, mide 120m. A una hora determinada de la mañana proyecta una sombra de longitud "x". A cierta hora de la tarde proyecta una sombra tres veces mayor, de modo que si unimos el punto más alto de la aguja y los extremos de sus sombras obtenemos un triángulo rectángulo como el que muestra la figura. Calcula el valor de "x" así como la distancia de los extremos A y B al punto más alto del monumento.
Al trazar las sombras, dividimos la base en dos segmentos de longitudes "x" y "3x". Dado que la altura del monumento es un dato conocido, 120, podemos aplicar el teorema de la altura (h^2 = m·n):
120^2 = x·3x
120^2 = 3x^2
x^2 = 4800
x^2 = 4800
La longitud "x" será de 69.282m, y el otro segmento de longitud "3x" medirá 207.846m. La hipotenusa del triángulo medirá en total 277.128m.
Para calcular la distancia entre el punto más alto de la aguja y los extremos de las sombras debemos aplicar el teorema del cateto (a^2 = m·hipotenusa ; b^2 = n·hipotenusa). Así:
Para calcular la distancia entre el punto más alto de la aguja y los extremos de las sombras debemos aplicar el teorema del cateto (a^2 = m·hipotenusa ; b^2 = n·hipotenusa). Así:
a^2 = 69.282·277.128 ; b^2 = 207.846·277.128
Los resultados son a = 138.564m y b = 240m.
Ejemplo #3 | El famoso Big Ben de Londres se trata de una torre anexa a las Casas del Parlamento, cuyo reloj y el sonido de sus campanas son mundialmente conocidos. La altura del edificio es aproximadamente de 96.3m. A una cierta hora del día su sombra mide 35m. Si caminamos en el sentido opuesto, ¿a qué distancia debemos marcharnos para que formemos un triángulo rectángulo con el extremo de la sombra y el punto más alto de la torre?
Se trata de un problema bastante simple, en el que solamente debemos aplicar el teorema de la altura (h^2 = m·n):
96.3^2 = 35·n
n = 96.3^2/35
La
longitud "n" será de 264.96m.
Ejemplo #4 | En las inmediaciones de la estación Victoria (o Victoria Station), también en la ciudad de Londres, existía una "pequeña" réplica del Big Ben, conocida como Little Ben. Dicha réplica ha sido almacenada hasta que concluyan las obras de remodelación que afectan desde hace varios años a la estación. Si la altura de esta otra torre es de 6m, ¿cómo expresarías la escala de la miniatura? ¿Qué razón de semejanza existe entre ambos monumentos? Si medimos la longitud de su sombra en el mismo instante que en el problema anterior, ¿cuánto medirá la sombra del Little Ben? Para simplificar los cálculos, puedes considerar que la altura del Big Ben es de 96m (sin decimales).
Lo primero que vamos a hacer es calcular la razón de semejanza entre ambos objetos, tomando como referencia la menor de ellas, Little Ben. Para calcular "k" dividimos la altura del mayor de ambos por la del menor, así:
Conocida la razón de semejanza k = 16 resulta muy sencillo expresar la proporción entre ambas figuras, que será 1:16 (el Big Ben es 16 veces mayor que el Little Ben).
Para calcular la sombra del Little Ben a esa hora del día, tomamos los 35m que medía la sombra del Big Ben y razonamos:
Por tanto, su sombra "s" medirá 2.1875m.
Lo primero que vamos a hacer es calcular la razón de semejanza entre ambos objetos, tomando como referencia la menor de ellas, Little Ben. Para calcular "k" dividimos la altura del mayor de ambos por la del menor, así:
k = 96 / 6 = 16
Conocida la razón de semejanza k = 16 resulta muy sencillo expresar la proporción entre ambas figuras, que será 1:16 (el Big Ben es 16 veces mayor que el Little Ben).
Para calcular la sombra del Little Ben a esa hora del día, tomamos los 35m que medía la sombra del Big Ben y razonamos:
16 = 35 / s
s = 35/16
Por tanto, su sombra "s" medirá 2.1875m.
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