Ejercicios propuestos sobre semejanza (8). Exámenes.

Los ejercicios que encontráis a continuación pertenecen a los exámenes de la unidad 5 realizados los días 24 y 25 de febrero.

 Ejercicio #1 | Algunas estaciones meteorológicas disponen de antenas de gran altura para medir ciertos valores de las condiciones atmosféricas. Una de estas antenas se encuentra anclada al suelo desde su punto más alto mediante dos cables de acero que forman entre sí un ángulo recto. Si uno de esos cables mide 77m y la distancia entre ese anclaje y el pie de la antena es 51m, ¿qué distancia separa los anclajes de ambos cables? ¿Cuál es la longitud del segundo cable? ¿Qué altura tiene esa antena? 

 Ejercicio #2 | La longitud aproximada de la torre inclinada de Pisa es de 56.265m y su desviación respecto de la vertical es de 3.9m. ¿A qué distancia de su base debemos colocarnos para que su base, el punto más alto de la torre y nuestra posición formen un triángulo rectángulo? Calcula su altura real sin usar el teorema de Pitágoras. 

 Ejercicio #3 | El Turning Torso, ubicado en la ciudad sueca de Malmö y con sus 190m de altura, es el edificio más alto de toda Escandinavia. Nos situamos en un punto A situado a 120m de su base. Calcula a qué distancia debe encontrarse otro punto B en sentido opuesto para que el punto más alto del edificio, el punto A y nuestra posición formen un triángulo rectángulo. ¿Qué distancia real separa a los puntos A y B de la última planta del Turning Torso? 

 Ejercicio #4 | Dibuja en la zona izquierda de una cuadrícula un trapecio isósceles (a). En la zona derecha, dibuja otro trapecio isósceles (b) que guarde una proporción 1:3. ¿Qué relación existirá entre sus diagonales? ¿Y entre sus áreas? Para un caso concreto, demuestra numéricamente qué razón existe entre sus alturas. 

 Ejercicio #5 | La altura aproximada de la torre inclinada de la Asunción de Bujalance, en Córdoba, es de 55m y su desviación respecto de la vertical es de 1.15m. ¿A qué distancia de la base debemos colocarnos para que su base, el punto más alto de la torre y nuestra posición formen un triángulo rectángulo? Calcula la longitud real de esta torre sin usar el teorema de Pitágoras. 

 Ejercicio #6 | El Englischer Garten o Jardín Inglés de Munich es uno de los lugares más bellos y tranquilos de esta ciudad alemana. En este parque existe una pagoda china de 35m de altura. Un punto A se encuentra a una distancia desconocida “x” de la base de la pagoda. Otro punto B, situado en el lado opuesto, se encuentra al triple de distancia, de manera que A, B y el punto más alto de la pagoda forman un triángulo rectángulo. ¿Qué distancia separa a los puntos A y B de la base de ese edificio? ¿Y qué distancia real les separa del lugar más alto de la pagoda? 

Ejercicios propuestos sobre semejanza (7). Viajando.

 Ejemplo #1 |  El principal icono de O'Connell Street y uno de los lugares más emblemáticos de la capital irlandesa es The Spire. Se trata de un monumento con apariencia de aguja vertical que mide 120m de altura. Su forma de aguja se debe a que la base, con un diámetro de 3m, se va estrechando hasta los 15cm. ¿Cuál será el diámetro de The Spire si nos encontramos a 50m de altura? (Debes considerar la sección o corte vertical de The Spire como un trapecio isósceles). ¿Cómo se habría resuelto este mismo problema si el monumento tuviera forma de triángulo isósceles, es decir, si acabara en pico? 

Para resolver el problema debemos trazar una paralela a la base a 50m de altura. Si dibujamos una altura desde uno de los vértices superiores hasta la base, obtenemos dos triángulos semejantes. El superior, más pequeño tiene altura 70m y base "x". El mayor, la figura completa, tiene por base 1.425m y altura 120m. Podremos pues comparar ambas figuras semejantes aplicando el teorema de Thales.

 x / 1.425 = 70 / 120 

x = 1.425·70/120

El valor de "x" será 0.83125m. Como esa distancia aparece dos veces y además tenemos que sumarle otros 0.15m, el diámetro de la aguja a esos 50m de altura será 1.8125m.

Si ahora tratamos el monumento como un triángulo isósceles, todo se simplifica enormemente, ya que podemos aplicar la relación de semejanza de forma directa, descomponiendo en un triángulo de mayor tamaño de altura 120m y base 3m y otro más pequeño de atura 70m y base "d". Así pues:

 d / 3 = 70 / 120 

d = 3·70/120

El valor de "d" sería de 1.75m

 Ejemplo #2 | El monumento anterior, cuya altura conocemos, mide 120m. A una hora determinada de la mañana proyecta una sombra de longitud "x". A cierta hora de la tarde proyecta una sombra tres veces mayor, de modo que si unimos el punto más alto de la aguja y los extremos de sus sombras obtenemos un triángulo rectángulo como el que muestra la figura. Calcula el valor de "x" así como la distancia de los extremos A y B al punto más alto del monumento. 

Al trazar las sombras, dividimos la base en dos segmentos de longitudes "x" y "3x". Dado que la altura del monumento es un dato conocido, 120, podemos aplicar el teorema de la altura (h^2 = m·n):

 120^2 = x·3x 

120^2 = 3x^2
x^2 = 4800

La longitud "x" será de 69.282m, y el otro segmento de longitud "3x" medirá 207.846m. La hipotenusa del triángulo medirá en total 277.128m.

Para calcular la distancia entre el punto más alto de la aguja y los extremos de las sombras debemos aplicar el teorema del cateto (a^2 = m·hipotenusa ; b^2 =  n·hipotenusa). Así:

 a^2 = 69.282·277.128 ; b^2 = 207.846·277.128 

Los resultados son a = 138.564m y b = 240m.

 Ejemplo #3 | El famoso Big Ben de Londres se trata de una torre anexa a las Casas del Parlamento, cuyo reloj y el sonido de sus campanas son mundialmente conocidos. La altura del edificio es aproximadamente de 96.3m. A una cierta hora del día su sombra mide 35m. Si caminamos en el sentido opuesto, ¿a qué distancia debemos marcharnos para que formemos un triángulo rectángulo con el extremo de la sombra y el punto más alto de la torre? 

Se trata de un problema bastante simple, en el que solamente debemos aplicar el teorema de la altura (h^2 = m·n):

 96.3^2 = 35·n 

n = 96.3^2/35

La longitud "n" será de 264.96m.

 Ejemplo #4 | En las inmediaciones de la estación Victoria (o Victoria Station), también en la ciudad de Londres, existía una "pequeña" réplica del Big Ben, conocida como Little Ben. Dicha réplica ha sido almacenada hasta que concluyan las obras de remodelación que afectan desde hace varios años a la estación. Si la altura de esta otra torre es de 6m, ¿cómo expresarías la escala de la miniatura? ¿Qué razón de semejanza existe entre ambos monumentos? Si medimos la longitud de su sombra en el mismo instante que en el problema anterior, ¿cuánto medirá la sombra del Little Ben? Para simplificar los cálculos, puedes considerar que la altura del Big Ben es de 96m (sin decimales). 

Lo primero que vamos a hacer es calcular la razón de semejanza entre ambos objetos, tomando como referencia la menor de ellas, Little Ben. Para calcular "k" dividimos la altura del mayor de ambos por la del menor, así:

k = 96 / 6 = 16

Conocida la razón de semejanza k = 16 resulta muy sencillo expresar la proporción entre ambas figuras, que será 1:16 (el Big Ben es 16 veces mayor que el Little Ben).

Para calcular la sombra del Little Ben a esa hora del día, tomamos los 35m que medía la sombra del Big Ben y razonamos:

16 = 35 / s

s = 35/16

Por tanto, su sombra "s" medirá 2.1875m.

¡A la calle!

En esta entrada del blog vamos a compartir parte del "trabajo de campo" que han realizado algunos de nuestros compañeros. Dichos trabajos se incluirán a través de un enlace a diferentes archivos en formato PDF, PNG o JPG.

La idea es muy sencilla: aplicar lo aprendido en el aula sobre la semejanza y el teorema de Thales a casos de la la vida real. Gracias al teorema de Thales y razonando sobre figuras semejantes haremos la estimación de la altura de diferentes objetos reales. Vamos a echar las Matemáticas a la calle.

¿Por qué usar este método en lugar de la medida directa? La respuesta es muy sencilla. Resultaría peligroso subirnos a la copa de un árbol para medir directamente su altura. No disponemos de una cinta métrica suficientemente larga como para medir la altura de un edificio muy alto.

Por otra parte, la trigonometría (que se estudiará en la en la próxima unidad) nos permitirá afrontar estos mismos casos desde un punto de vista distinto. Volveremos a plantear el mismo problema, pero estudiando los ángulos, de modo que podremos comparar los resultados obtenidos.

Ejemplo #1 | Medida de la altura de una estatua cercana al Colegio Virgen del Carmen. Grupo: Paula Bonilla, Reyes Prieto, Marta Puentes. enlace

Ejemplo #2 | Medida de la altura de la Estación de trenes de Córdoba. Grupo: Juan Garrido, Carmen Montoza, Clara Vélez. enlace

Ejercicios propuestos sobre semejanza (6)

 Ejercicio #1 | Estamos analizando un mapa cuya escala es 1:8000 para cercar una finca con forma rectangular. Sobre el mapa, sus lados miden 7cm y 3.25cm. ¿Cuántos metros de alambre de espino se necesitarán para protegerlo si queremos emplear un sistema de vallado triple? ¿Qué superficie tiene? En esa finca hay una nave cuyas dimensiones reales son 20m x 8m. ¿Con qué medidas se verá reflejada en el mapa? 

 Ejercicio #2A | Algunas estaciones meteorológicas disponen de antenas de gran altura para medir ciertos valores de las condiciones atmosféricas. Una de estas antenas se encuentra anclada al suelo desde su punto más alto mediante dos cables de acero que forman entre sí un ángulo recto. Si uno de esos cables mide 67m y la distancia entre ese anclaje y el pie de la antena es 31m, ¿qué distancia separa los anclajes de ambos cables? ¿Cuál es la longitud del segundo cable? ¿Qué altura tiene esa antena? 

 Ejercicio #2B | Dos ciudades y la central eléctrica que produce la energía que consumen forman un triángulo rectángulo cuyo lado más largo se corresponde con la línea principal que abastece a la primera ciudad. Desde la segunda ciudad parte otra línea de 35 km de longitud que corta perpendicularmente a la primera, dividiéndola en dos tramos. Desde ese punto hasta la central hay el doble de distancia que a la primera ciudad. Calcula el resto de distancias de la figura obtenida. 

 Ejercicio #3A | Dibuja un trapecio rectángulo cualquiera. A partir del mismo, dibuja otro que guarde una proporción 1:2 respecto del original. Explica razonadamente qué relación existirá entre sus áreas. ¿Y entre sus diagonales? ¿Y sus perímetros? (Puedes apoyar tu explicación en algún ejemplo concreto) 

 Ejercicio #3B | Dibuja un trapecio isósceles cualquiera. A partir del mismo, dibuja otro que guarde una proporción 1:2 respecto del original. Explica razonadamente qué relación existirá entre sus áreas. ¿Y entre sus diagonales? ¿Y sus perímetros? (Puedes apoyar tu explicación en algún ejemplo concreto) 

 Ejercicio #4 | Una persona de altura desconocida proyecta a una hora determinada del día una sombra de 9m. Otra persona que mide 22cm menos que la anterior proyecta en ese mismo momento una sombra de 8m. Calcula la altura de ambas. ¿Qué razón de semejanza existe entre ambas figuras? A otra hora del día, más cercana al atardecer, la sombra de la persona más alta mide 15m. ¿Cuánto medirá la sombra de la otra persona? 

Ejercicios propuestos sobre semejanza (5)

 Ejercicio #1 | Estamos analizando un mapa cuya escala es 1:800 para cercar un terreno de cultivo con forma rectangular. Sobre el mapa, los lados del terreno miden 4cm y 2.5cm. ¿Cuántos metros de alambre de espino se necesitarán para protegerlo si queremos emplear un sistema de vallado triple? ¿Qué superficie tiene? Si junto a este terreno disponemos de un pequeño huerto de planta cuadrada cuyo lado mide 25m en la realidad, ¿con qué tamaño aparecerá reflejado en el mapa? 

Plano (cm) | Realidad (m)
————————————————————————————
         1 | 8
       2.5 | 20
         4 | 32

Primero se hace una tabla con la escala y se averiguan las equivalencias. Ahora se obtiene el perímetro.

20m·2 + 32m·2 = 104m

Como indica que quieren triple vallado se multiplica el perímetro por 3. Y el área, base·altura.

• Vallado: 104·3 = 312 m 
• Área = 20m·32m = 640 m^2

 

Plano (cm) | Realidad (m)
     3.125 | 25

Para conseguir el área se calcula el cuadrado del lado (o lado por lado).

(3.125cm)^2 = 9.766cm^2

 Ejercicio #2 | Una antena de comunicaciones se encuentra anclada al suelo desde su punto más alto mediante dos cables de acero que forman entre sí un ángulo recto. Si uno de esos cables mide 30m y la distancia entre su anclaje y la base de la antena es 21m, ¿qué distancia separa los anclajes de ambos cables? ¿Qué altura tiene esa antena? ¿Cuál es la longitud del segundo cable? 

Para resolverlo averiguo primero la altura usando la fórmula de Pitágoras con el triángulo de la izquierda, tomando 30m como la hipotenusa.

30^2= h^2+21^2
h^2= 459
h= 21’42m

Al tener la altura podemos calcular el tramo que nos falta para calcular b, mediante el teorema de la altura.

21’42^2= 31x n
n= 14’8
b= 21+14’8= 35’8

Por último para conseguir lo que vale a, se vuelve a usar la fórmula de Pitágoras.

a^2= 14’8^2 + 21’42^2
a= 26’04 m

 Ejercicio #3 | Una persona de altura desconocida proyecta a una hora determinada del día una sombra de 2m. Otra persona que mide 20cm más que la anterior proyecta en ese mismo momento una sombra de 2.25m. Calcula la altura de ambas. 

 Ejercicio #4 | Dos ciudades y la central eléctrica que produce la energía que consumen forman un triángulo rectángulo cuyo lado más largo se corresponde con la línea principal que abastece a la primera ciudad. Desde la segunda ciudad parte otra línea de 15 km de longitud que corta perpendicularmente a la primera, dividiéndola en dos tramos. Desde ese punto hasta la central hay el triple de distancia que a la primera ciudad. Calcula el resto de distancias de la figura obtenida.