Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Tal y como hemos visto en clase, algunos sistemas de ecuaciones pueden contener una ecuación logarítmica y otra exponencial. Suelen ser sistemas aparentemente difíciles, pero que en realidad son bastante sencillos. El motivo es que, para que seamos capaces de resolverlos en nuestro nivel, tienen que venir preparados.

 Ejemplo # 1 | log2(x) + 2·log2(y) = 1 ; 2^x · 4^y = 16 [ Sol.: x = 2, y = 1 ]. 

En primer lugar, se trata de realizar todas las transformaciones necesarias en ambas ecuaciones para convertirlas en ecuaciones algebraicas.

• 1ª Ecuación: log2(x) + 2·log2(y) = 1 ⇔ log2(x·y^2) = 1 ⇔ x·y^2 = 2^1 ⇔ x·y^2 = 2
• 2ª Ecuación: 2^x · 4^y = 16 ⇔ 2^x · 2^(2y) = 2^4 ⇔ 2^(x+2y) = 2^4 ⇔ x+2y = 4

 Si observamos bien, el sistema que debemos resolver es un sistema de ecuaciones no lineales:

x·y^2 = 2 ; x+2y = 4

Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución, despejando "x" en la segunda ecuación:

 x = 4 - 2y 

Y sustituimos en la primera:

(4 - 2y)·y^2 = 2

Después de agrupar y ordenar obtenemos una ecuación de tercer grado:

2y^3 - 4y^2 + 2 = 0 ;

y^3 - 2y^2 + 1 = 0

De esa ecuación obtenemos una única solución, y = 1 (aplicando Ruffini, por ejemplo). Para ese valor de "y", calculamos el valor correspondiente de "x". Así, obtenemos una pareja de soluciones, x = 2 e y = 1. Al comprobarlas en el sistema original, vemos que son correctas.

 Ejemplo #2 | 9^x · 3^y = 9 ; log2(x+4) + log2(y) = 3 [ Sol.: x = 0, y = 2 ]. 

En primer lugar, se trata de realizar todas las transformaciones necesarias en ambas ecuaciones para convertirlas en ecuaciones algebraicas.

• 1ª Ecuación: 9^x · 3^y = 9 ⇔ 3^(2x) · 3^y = 3^2 ⇔ 3^(2x+y) = 3^2 ⇔ 2x+y = 2
• 2ª Ecuación: log2(x+4) + log2(y) = 3 ⇔ log2[(x+4)·y] = 3 ⇔ (x+4)·y = 2^3 ⇔ (x+4)·y = 8

 Si observamos bien, el sistema que debemos resolver es un sistema de ecuaciones no lineales:

2x+y = 2 ; (x+4)·y = 8

Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 y = 2 - 2x 

Y sustituimos en la segunda:

(x+4)·(2-2x) = 8

Después de operar, agrupar y ordenar obtenemos una ecuación de 2º grado:

2x - 2x^2 + 8 - 8x = 8 ;

-2x^2 - 6x = 0 ;
-2x·(x+3) = 0

De esa ecuación de 2º grado incompleta obtenemos dos soluciones: x = 0 y x = -3. Para estos valores de "x", calculamos los valores correspondientes de "y". Así, obtenemos dos parejas de soluciones:

• x1 = 0 , y1 = 2.
• x2 = -3 , y2 = 8.

Al comprobarlas en el sistema original, vemos que ambas parejas son correctas.