Ejercicios propuestos sobre semejanza

 Ejercicio #1 | A una determinada hora del día, un edificio de 30m proyecta una sombra de 18m. ¿Cuánto medirá otro edificio si a esa misma hora del día la sombra proyectada es de 12m? 

A partir de la figura anterior resulta evidente cuáles son las parejas de lados homólogos. A partir de ambas parejas y aplicando el teorema de Thales se logra que:

 h / 30 = 12 / 18 

h = 12·30/18

La altura del segundo edificio será de 20m.

 

 Ejercicio #2 | En un jardín hay un árbol de 8m de altura cuya sombra en un determinado momento del día es de 3m. Tenemos una planta a la que no le puede dar la luz directa del sol. Si esta planta mide 120cm, ¿cuál será la separación máxima entre esta planta y el árbol que le da sombra? 

A partir de la figura anterior podemos ver que hay dos triángulos semejantes. Debemos descomponer una figura compleja en dos figuras más sencillas. Hay un triángulo de mayor tamaño cuya base mide 3m y cuya altura vale 8m. Por otra parte, hay otro de menor tamaño cuya base "b" es desconocida y cuya altura es 1.2m. Aplicando el teorema de Thales:

 b / 3 = 1.2 / 8 

b = 1.2·3/8

El valor obtenido para la base es de 0.45m. Si restamos ese resultado a la longitud de la sombra del árbol obtendremos la separación máxima entre el árbol y la planta, que es 2.55m.

 Ejercicio #3 | A partir de un rectángulo cualquiera, dibuja otro cuyos lados guarden una proporción 1:3 frente a los del original. ¿Qué relación existe entre sus áreas? 

 Ejercicio #4 | Dos barcos parten simultáneamente de un mismo puerto. Un primer barco parte hacia el norte y en una hora recorre una distancia de 15km. El segundo barco parte en otra dirección y recorre 12km durante esa primera hora. En ese momento, la distancia que separa ambas embarcaciones es de 20km. ¿A qué distancia del puerto se encontrarán transcurridas tres horas de travesía? ¿Qué distancia separará a ambas embarcaciones? 

Si conocemos las distancias recorridas por ambos barcos durante la primera hora, suponiendo que avanzan con velocidad uniforme, podemos calcular la distancia a la que se encuentran del puerto de salida después de 3h. Dichas distancias serán, respectivamente, 45km y 36km.

Tras representar las dos figuras semejantes (la de la primera hora de navegación y la de las 3h), aplicamos el teorema de Thales:

 d / 20 = 45 / 15 = 36 / 12 = k ( k = 3 ) 

d = 45·20/15

Obtenemos que la separación "d" entre los dos barcos es de 60km.

 Ejercicio #5 | Dos barcos parten simultáneamente de un mismo puerto. Un primer barco parte hacia el oeste y en dos horas recorre una distancia de 20km. El segundo barco parte en otra dirección y recorre 9km durante la primera hora. En ese momento, la distancia que separa ambas embarcaciones es de 7km. ¿A qué distancia del puerto se encontrarán transcurridas cinco horas de travesía? ¿Qué distancia separará a ambas embarcaciones? 

Este problema es muy similar al anterior. Si el primer barco recorre 20km durante las dos primeras horas, recorrió 10km durante la primera hora. En ese momento el segundo barco se encuentra a 9km del puerto y a 7km del otro barco.

Transcurridas 5h de travesía (y suponiendo que ambos barcos avanzan con velocidad uniforme), los dos barcos se encontrarán, respectivamente, a 50km y 45km del puerto. Obtendremos una figura semejante a la primera. Aplicando el teorema de Thales:

 a / 7 = 50 / 10 = 45 / 9 = k (k =5) 

a = 7·50/10

 

La distancia que separa a ambas embarcaciones es 35km.