Semejanza

 Ejemplo #1 | Los catetos de un triángulo rectángulo miden 24cm y 10cm. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo cuya hipotenusa mide 52cm semejante al primero? Rafael Abad Lama. 

En primer lugar calculamos la hipotenusa del triángulo de menor tamaño, obteniendo que h = 26cm. A partir de ahí tomamos los lados homólogos de los dos triángulos (todas las medidas se expresan en cm):

• 24 ↔ b
• 10 ↔ a
• 26 ↔ 52

Aplicamos el teorema de Thales:

 b / 24 = a / 10 = 52 / 26 

Ahora nos quedamos con las igualdades que nos permiten calcular "a" y "b":

• a = 52·10 / 26 = 20cm
• b = 52·24 / 26 = 48cm

 Ejemplo #2 | Los catetos de un triángulo rectángulo miden 13cm y 5cm. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo cuya hipotenusa mide 20cm semejante al primero? 

En primer lugar, usamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa del triángulo cuyos catetos son conocidos. Obtenemos que h^2 = 13^2 + 5^2 = 194. Por tanto, h = sqrt(194).

 

A partir de ahí tomamos los lados homólogos de los dos triángulos (todas las medidas se expresan en cm):

• 13 ↔ b
• 5 ↔ a
• sqrt(194) ↔ 20

Aplicamos el teorema de Thales:

 b / 13 = a / 5 = 20 / sqrt(194) 

Ahora nos quedamos con las igualdades que nos permiten calcular "a" y "b":

• a = 13·20 / sqrt(194) ≈ 18.67cm
• b = 5·20 / sqrt(194) ≈ 7.18cm

Recuerda que en la mayoría de las ocasiones es preferible emplear los números radicales (expresión exacta) en lugar de su aproximación decimal. Dado que la raíz del número 194 aparece en los denominadores, habría que raconalizar los mismos.

 Ejemplo #3 | Un niño que mide 1.75m de altura se coloca a 87cm del borde de un pozo de manera que la vista le alcanza hasta la esquina contraria del fondo. Sabiendo que el pozo mide 2.24m de ancho, ¿cuál será su profundidad? Calcula la distancia de la diagonal comprendida desde la cabeza del niño hasta la esquina del fondo que está mirando. Clara Vélez Martínez. 

Si hacemos un esquema con los datos nos sale una figura como esta:

Para averiguar la profundidad del pozo, C2, aplicamos el Teorema de Thales y realizamos una razón de semejanza:

1.75 / 0.87 = C2 / 2.24 → C2= 4.5m

Para resolver la segunda parte del problema tenemos que averiguar las hipotenusas de ambos triángulos (mediante Pitágoras: hip^2 = C1^2 + C2^2) y sumarlas:

Hip1 = sqrt(1.75^2 + 0.87^2) → Hip1 = 1.95m

Hip2 = sqrt(4.5^2 + 2.24^2) → Hip2 = 5.02m

Para concluir, la suma de ambas nos da una diagonal de 6'97m.