Sistemas de inecuaciones (7). Dos variables.

En algunos sistemas de inecuaciones, alguna de las inecuaciones puede tener solamente una de las dos variables. Para expresar adecuadamente esas desigualadades es necesario saber representar gráficamente expresiones del tipo y = cte (recta horizontal) o x = cte (recta vertical).

• Cuando nos encontramos una inecuación como y > 3, lo primero que vamos a hacer es convertirla en una ecuación: y = 3. Para hacer una tabla de valores, resulta muy fácil ver que, valga lo que valga la "x", la "y" tomará siempre el valor 3. Por lo tanto, al hacer la representación gráfica de esa recta, el resultado será una recta horizontal que divide el plano en dos semiplanos. El último paso consiste en decidir cuál de esos semiplanos forma parte de la solución. En este caso, tomamos el semiplano que está por encima de la recta y = 3, ya que los puntos que están en ese semiplano son los que cumplen la inecuación. Los que están por debajo no la cumplen y habría que tachar ese semiplano.
• Cuando nos encontramos una inecuación como x > -2, lo primero que vamos a hacer es convertirla en una ecuación: x = -2. Para hacer una tabla de valores, resulta muy fácil ver que, valga lo "x" siempre vale -2, tome el valor que tome la "y". Por lo tanto, al hacer la representación gráfica de esa recta, el resultado será una recta vertical que divide el plano en dos semiplanos. El último paso consiste en decidir cuál de esos semiplanos forma parte de la solución. En este caso, tomamos el semiplano que está a la derecha de la recta x = -2, ya que los puntos que están en ese semiplano son los que cumplen la inecuación. Los que están a la izquierda no la cumplen y habría que tachar ese semiplano.

 Ejemplo #1 | x-y < 2 ; y > -1. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• x-y = 2 →  y = x-2  → Puntos  A(0, -2) y B(2, 0) 
• y = -1 →  y = -1  → Puntos  C(0, -1) y D(3, -1) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = x - 2 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Habrá una región válida, que cumple la condición x - y < 2,  y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 3x - y < 4. El punto O(0, 0) se encuentra por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 0-0 < 2, por lo que sí cumple la inecuación.
3. Tomamos el punto Q(0, -4) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-4, vemos que 0-(-4) > 2, no verifica la inecuación y debemos tachar este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = -1 ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique y > -1 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión y > -1. El punto O(0, 0) se encuentra por encima de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 0 > -1, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(0, -2), que está por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=-2, -2 < -1, por lo que no cumple la inecuación y debemos tachar este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.