Sistemas de inecuaciones (5). Dos variables.

 Ejemplo #1 | 4x-y < 1 ; 2x+3y > 2. Marta Pérez Puentes. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• 4x-y = 1 →  y = 4x-1  → Puntos  A(1, 3) y B(0, -1) 
• 2x+3y = 2 →  y = (2-2x) / 3  → Puntos  C(1, 0) y D(-2, 2) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = 4x - 1 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Habrá una región válida, que cumple la condición 4x - y < 1  y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 4x - y < 1. El punto O(0, 0) se encuentra por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 4·0-0 < 1, por lo que sí cumple la inecuación y forma parte de la región válida.
3. Tomamos el punto Q(0, -2) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-2, vemos que 4·0-(-2) > 1, por lo que no verifica la inecuación y debemos tachar este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = (2-2x) / 3 ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 2x+3y > 2 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 2x+3y > 2. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 2·0+3·0 < 2, por lo que no cumple la inecuación y debemos tachar este semiplano.
3. Tomamos el punto S(0, 2), que está por encima. Al sustituir x=0 e y=2, 2·0+3·2 > 2, por lo que verifica la inecuación y esta es la región válida.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

 Ejemplo #2 | x-2y < -1 ; 3x+y < 3. Marta Pérez Puentes y Pablo Rivero Mohedano. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• x - 2y = -1 →  y = (x+1) / 2  → Puntos  A(1, 1) y B(3, 2) 
• 3x + y = 3 →  y = 3-3x  → Puntos  C(1, 0) y D(0, 3) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = (x+1)/2 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Al igual que en las inecuaciones polinómicas de primer grado, habrá una región válida, que cumple la condición x -2y < -1 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión x -2y < -1. El punto Q(1, 2) se encuentra a la izquierda y por encima de la recta azul. Al sustituir x=1 e y=2 vemos que 1-2·2 < -1. Como verifica la inecuación, esta es la región válida.
3. Tomamos el punto Q(1, -2) se encuentra a la derecha y por debajo de la recta azul. Al sustituir x=1 e y=-2 vemos que 1-2·(-2) > -1. Como no verifica la inecuación, tachamos este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 3-3x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 3x + y < 3 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 3x + y < 3. El punto R(-3, 2) se encuentra a la izquierda de la recta roja. Al sustituir x=-3 e y=2, vemos que 3·(-3)+2 < 3, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(3, 2). Al sustituir x=3 e y=2, 3·3+2 < 3, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

Idea para los vídeos del MOOC

Hola a todos. Aquí os dejo el enlace al vídeo de nuestro compañero Juan Garrido. Está genial y seguro que os sirve como idea para la elaboración de los vídeos sobre ejemplos de inecuaciones que incluiremos en el MOOC.

https://www.youtube.com/watch?v=oEZkoVMdGbU&feature=autoshare

Sistemas de inecuaciones (4). Dos variables.

 Ejemplo #1 | 3x+2y > 6 ; 5x+y < 1. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• 3x + 2y = 6 →  y = (6-3x) / 2  → Puntos  A(0, 3) y B(2, 0) 
• 5x + y = 1 →  y = 1-5x  → Puntos  C(0, 1) y D(1, -4) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = (6-3x) / 2 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Habrá una región válida, que cumple la condición 3x + 2y > 6 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 3x + 2y > 6. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 3·0+2·0 < 6, por lo que no cumple la inecuación y debemos tachar este semiplano.
3. Tomamos el punto Q(0, 4) que está por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=4, vemos que 3·0+2·4 > 0, por lo que verifica la inecuación.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 1-5x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 5x+y < 1 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 5x+y < 1. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 5·0+0 < 1, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(0, -2), que está por encima. Al sustituir x=0 e y=-2, 5·0+(-2) > 1, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

 Ejemplo #2 | 4x-3y > 1 ; 2x+y < 6. 

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• 4x - 3y = 1 →  y = (4x-1) / 3  → Puntos  A(0, 1) y B(4, 5) 
• 2x + y = 6 →  y = 6-2x  → Puntos  C(0, 6) y D(3, 0) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = (4x-1)/3 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Al igual que en las inecuaciones polinómicas de primer grado, habrá una región válida, que cumple la condición 4x - 3y > 1 y otra que no. En este caso, se trata de regiones que tienen dos dimensiones: no se trata de conjuntos de valores, sino de conjuntos de puntos del plano. 
2. Para averiguar cuál de los dos semiplanos es válido y cuál no, debemos tomar un punto al azar que pertenezca a cada una de las dos regiones. Para comprobarlo, sustituiremos los valores de "x" e "y" de esos puntos en la desigualdad. Tomamos el punto O(0, 0) que está por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 4·0-3·0 < 1, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.
3. Tomamos el punto Q(0, -3) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-3, vemos que 4·0-3·(-3) > 1, por lo que verifica la desigualdad y es la solución válida.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 6-2x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 2x+y < 6 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 2x-y < 0. El punto O(0, 0) se encuentra por debajo de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=0, vemos que 2·0+0 < 6, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(2, 4). Al sustituir x=2 e y=4, 2·2+4 > 6, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

Sistemas de inecuaciones (3). Dos variables.

Los sistemas de inecuaciones tratados en las entradas anteriores poseían una sola variable, "x". La forma de resolverlos es mediante una representación sobre la recta real de la solución de cada una de las inecuaciones por separado para, más tarde, buscar la intersección de esas soluciones. Alcanzar una solución y poder expresarla en lenguaje matemático es una tarea relativamente sencilla.

Sin embargo, existen sistemas de inecuaciones con dos variables, "x" e "y". Encontrar la solución de este tipo de sistemas resultará más laborioso. En nuestro nivel, expresarla en lenguaje matemático, casi imposible. Por lo tanto, nos vamos a conformar con poder alcanzar la solución y saber expresarla gráficamente.

Veámoslo a través de una serie de ejemplos resueltos.

 Ejemplo #1 | x+3y > 0 ; 2x-y < 0. 

Para resolver este tipo de sistemas vamos a emplear un método gráfico que guarda grandes semejanzas con el método gráfico usado al resolver sistemas de ecuaciones lineales. En realidad, si nos fijamos bien, nuestro sistema de inecuaciones tiene el mismo aspecto que los sistemas de ecuaciones lineales, salvo porque aparecen signos de desigualdad.

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• x + 3y = 0 →  y = -x/3  → Puntos  A(0, 0) y B(3, -1) 
• 2x - y = 0 →  y = 2x  → Puntos  C(0, 0) y D(3, 6) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = -x/3 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Al igual que en las inecuaciones polinómicas de primer grado, habrá una región válida, que cumple la condición x+3y > 0 y otra que no. En este caso, se trata de regiones que tienen dos dimensiones: no se trata de conjuntos de valores, sino de conjuntos de puntos del plano. 
2. Para averiguar cuál de los dos semiplanos es válido y cuál no, debemos tomar un punto al azar que pertenezca a cada una de las dos regiones. Para comprobarlo, sustituiremos los valores de "x" e "y" de esos puntos en la desigualdad. Tomamos el punto P(0, 5) que está por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=5, vemos que 0+3·5 > 0, por lo que es la región válida.
3. Tomamos el punto Q(0, -3) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-3, vemos que 0+3·(-3) < 0, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 2x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 2x-y < 0 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 2x-y < 0. El punto R(0,2) se encuentra por encima de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=2, vemos que 2·0-2 < 0, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(0, -2). Al sustituir x=0 e y=-2, 2·0-(-2) > 0, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.

Sistemas de inecuaciones (2). Una variable.

En los siguientes ejemplos sobre sistemas de inecuaciones de una variable intentaremos tratar una serie de casos cada vez más complicados. Espero que os ayuden a entender mejor este tipo de sistemas de inecuaciones.

 Ejemplo #1 | 3x + 7 ≥ 0; x^2 - 1 > 0. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo:

•  3x+7 ≥ 0  → 3x+7 = 0 → x = -7/3. Gráficamente la solución será:

•  x^2-1 > 0  → x^2-1 = 0 → x = 1, x = -1. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en ambas soluciones. Hay dos intervalos que están marcados en las dos inecuaciones. En cuanto a los extremos, el valor -7/3 está incluido en ambos, por lo que es parte de la solución. Sin embargo, 1 y -1 solamente  están en la segunda, por lo que no hay que incluirlos. Por tanto, la solución es:

• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ [-7/3, -1) U (1, +∞)
• Comprobar en Google:  y = 2x+3 , y = 5x-1  

 Ejemplo #2 | x^2+1 > 0; x+1 > 0 ; 2x-9 ≤ 0. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo. Comenzamos dejando cero en uno de los dos miembros:

•  x^2 + 1 > 0  → x^2+1 = 0 → No tiene solución (no hay cortes). Gráficamente la solución será:

•  x+1 > 0  → x+1 = 0 → x = -1. Gráficamente la solución será:

•  2x-9 ≤ 0  → 2x-9 = 0 → x = 9/2. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en las tres soluciones. Solamente hay un intervalo que verifique las tres condiciones al mismo tiempo. Respecto a los extremos, 9/2 cumple ambas desigualdades, mientras que -1 solo cumple una de ellas. La solución al sistema será:

• Paréntesis y corchetes: (-1, 9/2]
• Comprobar en Google:  y = x^2+1 , y = x+1 , y = 2x-9  

Sistemas de Inecuaciones. Una variable.

Un sistema de inecuaciones se trata de un combinación de dos o más inecuaciones cuya solución está formada por los elementos que verifican simultáneamente todas y cada una de ellas. Basta con que un elemento no cumpla una de las inecuaciones para que quede excluido de la solución del sistema.

Esisten diferentes tipos de sistemas de inecuaciones, aunque nosotros nos centraremos en dos de ellos: los que tienen una sola variable y los que tienen dos variables.

Los primeros se resolverán calculando la solución de cada una de las inecuaciones por separado, y analizando gráficamente qué valores de la variable "x" cumplen simultáneamente todas las inecuaciones que forman el sistema.

Un ejemplo de este tipo de sistemas de inecaciones sería el formado por las dos expresiones 3x-1 > 0 ; 2x+6 < 0. Como ya veremos más adelante, resolveremos cada inecuación de forma independiente, expresaremos gráficamente sus soluciones y sobre ambas representaciones comprobaremos qué valores de "x" cumplen ambas al mismo tiempo.

El segundo tipo de sistemas, que presenta dos variables "x" e "y", se resolverá mediante un método gráfico muy similar al método gráfico empleado en los sistemas de ecuaciones lineales. La diferencia radica en que la solución no estará formada por un solo par de valores (x,y), sino que, en general, incluirá regiones del plano cartesiano a las que llamaremos recinto solución.

En los siguientes ejemplos intentaremos tratar una serie de casos cada vez más complejos.

 Ejemplo #1 | 2x+3 > 0; 5x - 1 ≤ 0. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo:

•  2x+3 > 0  → 2x+3 = 0 → x = -3/2. Gráficamente la solución será:

•  5x-1 ≤ 0  →5x-1 = 0 → x = 1/5. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en ambas soluciones. Solamente los valores que se encuentran entre -3/2 y 1/5 cumplen esa condición. Al analizar los casos de los extremos, vemos que -3/2 no forma parte de la solución, ya que no verifica la primera desigualdad, mientras que 1/5 verifica ambas. Por tanto, la solución es:

• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-3/2, 1/5]
• Comprobar en Google:  y = 2x+3 , y = 5x-1  

 Ejemplo #2 | 4x+1 < 9; x+1 ≤ 3x-5. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo. Comenzamos dejando cero en uno de los dos miembros:

•  4x - 8 < 0  → 4x+8 = 0 → x = 2. Gráficamente la solución será:

•  -2x + 6 ≤ 0  → -2x+6 = 0 → x = 3. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en ambas soluciones. No existe ningún valor real que cumpla ambas desigualdades simultáneamente. Por tanto, nuestro sistema de inecuaciones no tiene solución:

• Paréntesis y corchetes: Ø (símbolo del conjunto vacío)
• Comprobar en Google:  y = 4x-8 , y = -2x+6  

Inecuaciones racionales (4)

Aquí disponéis de una nueva serie de ejemplos aportados por nuestros compañeros. Seguro que os ayudan a comprender mejor cómo resolver este tipo de inecuaciones.

 Ejemplo #1 | (x^2-x+1) / (2-x) ≥ 1. Clara Vélez Martínez. 

Primero tenemos que dejar en unos de los miembros 0, para ello pasamos el 1 al primer miembro y realizamos el mcm de los denominadores dejando una sola fracción:

[(x^2 -x + 1) / (2 - x)] -1 ≥ 0;
[ (x^2 -x + 1) - (2 - x) ] / (2 - x) ≥ 0;
 (x^2 - 1) / (2 - x) ≥ 0 

A continuación factorizamos por separado el numerador (identidad notable) y el denominador:

• Numerador: x^2-1 = 0 →  x = 1 ,  x = -1  →  (x + 1)·(x - 1) 
• Denominador: 2-x = 0 →  x = 2 * →  -1·(x - 2) 

Obtenidos los valores de "x" hacemos la representación gráfica en una tabla:

Si miramos la inecuación vemos que el resultado tiene que ser mayor o igual que 0 (positivo). La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-∞, -1] U [1, 2)
• Comprobar en Google:  y = (x^2-1) / (2-x)   

 Ejemplo #2 | 3 / (2 - x) ≤ 1 / (x - 4). Clara Vélez Martínez. 

Pasamos la segunda fracción al primer miembro para dejar 0 en el de la derecha, después reducimos el primer miembro a una sola fracción haciendo MCM:

3 / (2 - x) - 1 / (x - 4) ≤ 0;
[ 3(x-4( - (2-x) ] / ((2-x)·(x-4) ≤ 0;

 (4x - 14) / [(2-x)·(x-4)] ≤ 0   o  (4x-14) / (-x^2+6x-8) ≤ 0 

Factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: 4x - 14 = 0 →  x = 7/2  →  4·(x + 7/2) o (4x-14) 
• Denominador: (2-x)·(x-4) →  x = 4 *,  x = 2 * →  (x-4)·(2-x) 

Con los valores de "x" que hemos obtenido hacemos la representación gráfica en una tabla:

Al observar la inecuación vemos que el resultado tiene que ser menor o igual que cero (negativo). La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (2, 7/2] U (4, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (4x-14) / (-x^2+6x-8) 

Inecuaciones racionales (3)

Seguimos presentando ejemplos resueltos para profundizar en el problema de las inecuaciones racionales. Cada vez serán casos más complejos.

 Ejemplo #1 | (2x-1) / (x^2+4) ≥ 0. 

En primer lugar, siempre debemos dejar cero en uno de los dos miembros de la desigualdad. En este caso, no es necesario, ya que nuestra inecuación cumple ese requisito. Ahora factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: 2x - 1 = 0 →  x = 1/2  →   2·(x-1/2) o (2x-1) 
• Denominador: x^2+4 = 0 → No tiene solución → El polinomio es irreducible

Hay que comentar varios detalles. El polinomio del numerador no tiene coeficiente principal 1, por lo que podemos hacer dos cosas: factorizarlo como 2·(x-1/2) o, simplemente, expresarlo como (2x-1).

Por otra parte, el polinomio del denominador no tiene raíces reales, es decir, al intentar resolver x^2+4 = 0, la ecuación no tiene solución. Esto tiene dos consecuencias de cara a aplicar nuestro método. La primera es que no logramos ningún valor que haga cero el denominador y solo marcaremos los ceros del numerador. La segunda es que habrá que incluir en la tabla x^2+4 como factor, ya que no podemos descomponerlo.

En base al razonamiento anterior, elaboraremos la siguiente tabla:

A la vista de los datos de la tabla y dado que debemos tomar por válidos aquellos intervalos cuyo resultado sea positivo, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ [1/2, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (2x-1) / (x^2+4) 

 Ejemplo #2 | (x^2-7x+6) / (3-x) < 0. 

Vamos a factorizar por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: x^2-7x+6 = 0 →  x = 1 ,  x = 6  →  (x - 1)·(x - 6) 
• Denominador: 3 - x = 0 →  x = 3 * →  -1·(x -3) o (3-x) 

Al factorizar el polinomio del denominador nos damos cuenta de que su coeficiente principal no es 1, sino -1, y debemos indicarlo de algún modo. Hay dos opciones, poner -1 y (x-3) por separado o expresarlos directamente como (3-x).

Una vez que tenemos los tres valores de "x" que anulan esos polinomios, hacemos el análisis del signo en una tabla:

Miramos la desigualdad que indica que el valor debe ser menor que 0, es decir, negativo. La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (1, 3) U (6, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (x^2-7x+6) / (3 - x) 

Inecuaciones racionales (2)

En la entrada anterior hemos resuelto un ejemplo muy sencillo. Lo habitual es encontrarse con expresiones más complicadas. Vamos a analizar ejemplos mas difíciles.

 Ejemplo #1 | (x-1) / (x^2+5x+6) ≥ 0. 

En primer lugar, siempre debemos dejar cero en uno de los dos miembros de la desigualdad. En este caso, no es necesario, ya que nuestra inecuación cumple ese requisito. Ahora factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: x - 1 = 0 →  x = 1  →  (x-1) 
• Denominador: x^2+5x+6 = 0 →  x = -3 *,  x = -2 * →  (x+3)·(x+2) 

Marcamos los valores que anulan el denominador con un asterisco, ya que "x" no puede tomar dichos valores. A partir de esos tres valores elaboraremos una tabla como se muestra a continuación:

A la vista de los datos de la tabla y dado que debemos tomar por válidos aquellos intervalos cuyo resultado sea positivo, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-3, -2) U [1, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (x-1) / (x^2+5x+6) 

 Ejemplo #2 | (3x - 1) / (x^2 - 4) < 0. Milagros Ruiz de Maio (Mili). 

Vamos a factorizar por separado el numerador y el denominador. El denominador es un producto notable, lo desarrollamos y queda (x - 2)(x + 2). Sabiendo esto podemos deducir que los valores para "x" son 2 y -2.

• Numerador: 3x - 1 = 0 →  x = 1/3   →  3·(x-1/3) o (3x-1) 
• Denominador: x^2 - 4 →  x = -2 *,  x = 2 * →  (x + 2)·(x - 2) 

Una vez que tenemos los valores de "x" hacemos la representación gráfica en una tabla:

Miramos la desigualdad que indica que el valor debe ser menor que 0, es decir, negativo. La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-∞, -2) U (1/3, 2)
• Comprobar en Google:  y = (3x - 1) / (x^2 - 4) 

Atención al momento de poner paréntesis o corchetes. En el caso de esta inecuación sí o sí se usa paréntesis porque el signo de desigualdad es sólo <. Si fuera también =, los valores de la x que salen adecuados para el denominador no se podrían poner con corchete porque anularían la desigualdad.

Inecuaciones racionales

Hasta el momento, todas las inecuaciones que hemos analizado en las entradas previas solamente incluían expresiones polinómicas. Disponemos de varios métodos para resolverlas, de modo que podemos elegir en cada situación cuál de esos métodos nos resulta más adecuado, rápido o sencillo.

Sin embargo, algunas inecuaciones contienen expresiones racionales, esto es, poseen fracciones algebraicas en cuyo denominador se encuentra la variable "x". El hecho de que aparezca "x" en el denominador resulta muy importante cuando estudiamos el signo que toma una expresión dada, ya que los resultados dependen tanto del numerador como del denominador.

Cuando estudiemos este tipo de expresiones emplearemos métodos distintos a los anteriores. La mayor complejidad de las expresiones y la gran cantidad de cálculos que debemos efectuar para conseguir los resultados hacen necesario descomponer los polinomios de numeradores y denominadores, y para ello utilizaremos una técnica de factorización.

Es fundamental tener la destreza necesaria para poder factorizar cualquier polinomio, por complicada que resulte su expresión (coeficiente principal distinto a 1, polinomios irreducibles, soluciones no enteras, etc.).

Al margen de las cuestiones descritas antes, vamos a reemplazar la representación mediante la recta real por una tabla de valores más completa, debido a que tendremos que analizar el signo de cada uno de los factores en que se descomponen numerador y denominador.

A lo largo de los siguientes ejemplos, intentaremos aclarar todas las dudas que pueden surgir cuando nos enfrentamos a una inecuación racional.

 Ejemplo #1 | (x+1) / (x-4) ≥ 0. 

En primer lugar, siempre debemos dejar cero en uno de los dos miembros de la desigualdad. En este caso, no es necesario, ya que nuestra inecuación cumple ese requisito. Ahora factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: x + 1 = 0 →  x = -1 
• Denominador: x - 4 = 0 →  x = 4 *

Marcamos los valores que anulan el denominador con un asterisco, ya que "x" no puede tomar dichos valores. En Matemáticas está terminantemente prohibido dividir por cero. Por lo tanto, cuando haya la posibilidad de incluir el valor x = 4 en la solución de nuestra inecuación, deberemos desecharla. En los ceros del denominador siempre tendremos un extremo abierto de intervalo (punto vacío, paréntesis). A partir de esos dos valores elaboraremos una tabla como se muestra a continuación:

A la vista de los datos de la tabla y dado que debemos tomar por válidos aquellos intervalos cuyo resultado sea positivo, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, -1] U (4, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (x+1) / (x-4) 

Inecuaciones (8)

En esta serie de entradas se irán añadiendo los ejemplos resueltos sobre inecuaciones que envíen nuestros compañeros. Para reconocer su esfuerzo, incluiremos su nombre junto al enunciado y su colaboración será tenida en cuenta a la hora de evaluar.

De ahora en adelante, todas las entradas del blog que contengan cualquier contenido aportado por los alumnos irán identificadas a través de la etiqueta Colabora.

 Ejemplo #1 | x^3 - 6x^2 + 12x - 8 ≤ 0. Milagros Ruiz de Maio. 

Se comienza convirtiendo a ecuación:

x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0

Al no poder reducir ni sacando factor común, se busca por el método de Ruffini:

| 1 -6 12 -8  2 |    2 -8  8  x=2    | 1 -4  4  0   2 |    2 -4     x=2                       | 1 -2  0   2 |    2        x=2      1  0

Haciendo Ruffini se llega a la conclusión de que x = 2 es solución triple. Observando el signo de la desigualdad inicial vemos que lo que necesitamos son números negativos, que son menores que 0, o el mismo 0.

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, 2]
• Comprobar en Google:  y = x^3 - 6x^2 + 12x - 8  

 Ejemplo #2 | x^4 - x^2 - 6 > 0. Cristina Esparza. 

Convertimos nuestra inecuación en una ecuación:

x^4 - x^2 - 6 = 0

Al ser una ecuación bicuadrada, hay que hacer un cambio de variable, es decir sustituir el x^2 por t. Así la ecuación queda:

t^2 - t - 6 = 0

Al ser una simple ecuación de segundo grado, utilizamos la fórmula general, de la cual obtenemos dos soluciones, t = 3 y t =-2. Para conseguir las soluciones en "x", debemos deshacer el cambio (tomar la raíz cuadrada de esas soluciones). Se obtienen dos soluciones, x = sqrt(3) y x = -sqrt(3), ya que la raíz cuadrada de -2, no tiene solución. Las llevamos a la recta real y al haber dos soluciones para x, marcamos dos cortes en la recta y obtenemos dos trozos. Al ser sqrt(3) = 1'73 tomamos un valor al azar de cada intervalo. Como la expresión tienen que ser mayor o igual que 0, la solucion será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, -√3) U (√3, +∞)
• Comprobar en Google:  y = x^4 - x^2 - 6  

Inecuaciones (7). El uso de la calculadora.

En esta entrada vamos hacer otro ejemplo en el que demostraremos lo útil que puede resultarnos la calculadora. La usaremos para construir la tabla de valores con la que analizar el signo de cada intervalo de un modo rápido y sencillo.

Este ejemplo ya fue estudiado en una entrada anterior y explicaremos cómo agilizar los cálculos mediante el uso de la calculadora.

 Inecuaciones (4) | Ejemplo #4 | x^3 - 4x^2 - 7x + 10 ≥ 0. 

Para resolver este tipo de inecuación (3er grado) podemos saltarnos el primer paso, ya que todos los términos se encuentran en el miembro de la izquierda y tenemos cero en el de la derecha. Así pues:

 x^3 - 4x^2 - 7x + 10 ≥ 0 

La convertimos en una ecuación reemplazando el signo "≥" por un signo igual.

x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = 0

Resolvemos por Ruffini, logrando tres soluciones: x = -2, x = 1 y x = 5. Las llevamos a la recta real y analizamos el signo de cada uno de sus cuatro trozos usando la calculadora.

La secuencia de operaciones que debemos introducir en nuestra calculadora para lograr una tabla de valores de forma rápida y sencilla es:

• Escogemos un valor del intervalo (-∞, -2), x = -5. Para introducirlo en la calculadora, teclearemos:  -   5   = . Aparecerá el valor -5 en la línea de resultados.
• Vamos a evaluar la expresión de la inecuación en x = -5. En lugar de escribir directamente ese valor, como es el último resultado en pantalla, lo usaremos mediante la tecla  ANS  cada vez que corresponda escribir la incógnita "x". Así pues, debemos expresarlo como:

 ANS   ^   3   -   4   ANS   ^   2   -   7   ANS   +   10   = 

• El resultado obtenido es -180, por lo que el signo del intervalo será  - .
• Escogemos un valor del intervalo (-2, 2), x = 0. Para introducirlo en la calculadora, teclearemos:  0   = . Aparecerá el valor 0 en la línea de resultados.
• Para evaluar la expresión no será necesario volver a escribir todo. Basta con usar la flecha del cursor que apunta hacia arriba  ⇧  y aparecerá en pantalla la expresión completa que escribimos en el paso anterior. Sin embargo, la calculadora tomará el valor de  ANS  como el último resultado en pantalla, es decir, x = 0.
• El resultado obtenido es 10, por lo que el signo del intervalo será  + .
• Escogemos un valor del intervalo (1, 5), x = 3. Para introducirlo en la calculadora, teclearemos:  3   = . Aparecerá el valor 3 en la línea de resultados.
• Pulsamos la flecha del cursor que apunta hacia arriba  ⇧  y aparecerá en pantalla de nuevo la expresión que queremos evaluar. La calculadora tomará el valor de  ANS  como el último resultado en pantalla, es decir, x = 3.
• El resultado obtenido es -20, por lo que el signo del intervalo será  - . 
• Escogemos un valor del intervalo (5, +∞), x = 6. Para introducirlo en la calculadora, teclearemos:  6   = . Aparecerá el valor 6 en la línea de resultados. 
• Pulsamos la flecha del cursor que apunta hacia arriba  ⇧  y aparecerá en pantalla de nuevo la expresión que queremos evaluar. La calculadora tomará el valor de  ANS  como el último resultado en pantalla, es decir, x = 6. 
• El resultado obtenido es 40, por lo que el signo del intervalo será  + .

Como son válidos los valores de "x" que logran que la expresión de la izquierda tome valores positivos, la solución será:

• Gráficamente:
  
  
• Paréntesis y corchetes: [-2, 1] U [5, +∞)
• Comprobar en Google:  y = x^3 - 4x^2 - 7x + 10