Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Los sistemas de ecuaciones logarítmicas son el último caso de sistemas de ecuaciones no lineales que estudiaremos en esta unidad. Se trata de sistemas de ecuaciones en los que una de las incógnitas aparece en el argumento de al menos un logaritmo. En su resolución vamos a aplicar la mayoría de las técnicas que hemos venido empleando a la hora de resolver tanto las ecuaciones logarítmicas (las propiedades y la definición de logaritmo) como sistemas de ecuaciones (métodos de sustitución o reducción).

 Ejemplo #1 | log2x + log2y = 4; 3·log2x - log2y = 8. 

Este es uno de los casos más sencillos de sistemas de ecuaciones logarítmicas que nos podemos encontrar, ya que aparecen los mismos logaritmos en ambas ecuaciones. Podemos seguir varios caminos, pero el más simple en este caso es realizar un doble cambio de variable, donde a = log2x y b = log2y. Así, el sistema queda listo para resolver por reducción:

  a + b = 4

3a  - b = 8   + 

-------------------

4a       = 12

De esa ecuación obtenemos que a = 3, y al sustituir su valor en la primera ecuación, alcanzamos también que b = 1. Para concluir, debemos deshacer el cambio de variable:

• Si a = 3 → log2x = 3 → x = 2^3 → x = 8
• Si b = 1 → log2y = 1 → y = 2^1 → y = 2

Por tanto, se obtiene una pareja de soluciones, x = 8 e y = 2, que son válidas ya que verifica las ecuaciones originales.

Este sistema puede ser resuelto utilizando otro método, que es el que habitualmente pondremos en práctica. Consiste en transformar nuestras ecuaciones logarítmicas en ecuaciones algebraicas mediante una serie de transformaciones.

La primera ecuación, aplicando las propiedades y la definición de logaritmo queda:

log2x + log2y = 4 ; log2(x·y) = 4 ⇔ x·y = 2^4 ; x·y = 16

Del mismo modo, la segunda ecuación queda:

3·log2x - log2y = 4 ; log2[x^3 / y] = 8 ⇔ x^3 / y = 2^8; x^3 / y = 256

Por lo tanto, el sistema que debemos resolver es el siguiente:

x·y = 16; x^3 / y = 256

Para resolverlo, podemos despejar y en la primera ecuación:

 y = 16 / x 

Y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

x^3 / ( 16 / x ) = 256;

x^4 / 16 = 256;

x^4 = 4096

De esa ecuación obtenemos dos soluciones, x = 8 y x = -8. Pero para finalizar debemos sustituir en la expresión de y:

• Si x = 8 → y = 2
• Si x = -8 → y = -2

Si llevamos ambas parejas al sistema de ecuaciones logarítmicas original, solamente la pareja x = 8 e y = 2 es válida. La otra pareja de soluciones hace que tengamos que calcular el logaritmo en base 2 de un número negativo.

Vemos que se logran los mismos resultados que por el primer método, pero siguiendo un proceso más largo y complicado.