Inecuaciones

Una inecuación puede definirse como una desigualdad algebraica formada por dos miembros separados mediante alguno de los signos <, ≤, > o ≥.

Aparentemente, no difieren mucho de las ecuaciones, en las que ambos miembros están separados por el signo igual, "=".

Sin embargo, mientras que la solución de una ecuación está formada por una cantidad finita (podemos usar el término "discreta"), la solución de las inecuaciones está formada por un conjunto infinito de números en la mayoría de los casos. Dichos conjuntos de números se agrupan formando intervalos que podemos expresar mediante paréntesis y corchetes, desigualdades o gráficamente (sobre la recta real).

Si quieres recordar algunos conceptos relativos a intervalos, puedes echar un vistazo a entradas anteriores de este blog a través de este enlace.

Existen varios métodos para hallar la solución de una inecuación. La elección de uno u otro depende en gran medida del tipo de inecuación a la que nos enfrentemos, ya que cada método tiene sus ventajas e inconvenientes.

A lo largo de las siguientes entradas de este blog iremos mostrando gran cantidad de ejemplos que, sin duda, nos ayudarán a comprender mejor en qué consisten esos métodos.

 Ejemplo #1 | 4x + 1 ≥ 2x + 7. 

Esta es una inecuación de 1er grado, muy sencilla de resolver. Vamos a seguir varios caminos distintos para alcanzar su solución.

El primer método consiste en seguir el mismo proceso que seguimos para resolver ecuaciones:

4x + 1 ≥ 2x + 7 ;

4x - 2x ≥ 7 - 1 ;

2x ≥ 6 ;

x ≥ 6/2 ;

x ≥ 3

Por tanto, la solución en forma de desigualdad es x ≥ 3. Haciendo uso de paréntesis y corchetes debemos expresarla como [ 3, +∞). Gráficamente:

Es rápido y fácil, pero sólo puede emplearse cuando la inecuación es de 1er grado. Además tiene un paso delicado: cuando el coeficiente del término de primer grado es negativo, al pasarlo dividiendo al otro miembro debemos cambiar el sentido de la desigualdad.

El segundo método, más general, se puede aplicar a inecuaciones que poseen grados superiores. Consiste en llevar todos los términos de la inecuación a uno de los dos miembros (casi siempre el de la izquierda), dejando un 0 en el otro miembro. En nuestro caso:

4x + 1 ≥ 2x + 7 ;

 2x - 6 ≥ 0 

Un vez conseguido esto, convertimos la inecuación en una ecuación, reemplazando el signo ≥ por un signo =. Resolvemos la ecuación resultante:

2x - 6 = 0 ;

2x = 6

 x = 3 

Representamos una recta real y marcamos sobre ella el valor obtenido como solución de la ecuación, es decir, x = 3. Este valor divide nuestra recta real en dos tramos, los números menores que 3 y los números mayores que 3. A continuación, analizamos el signo de cada uno de esos tramos, tomando un valor al azar, y anotamos el signo del resultado.

Como buscamos aquellos valores que hacen que 2x - 6 sean mayores que cero, debemos quedarnos con el conjunto de números que hacen que el resultado sea positivo. Gráficamente:

Por lo tanto, alcanzamos la misma solución que por el primer método, que expresada de forma alternativa:

• Desigualdad: x ≥ 3
• Paréntesis y corchetes: [ 3, +∞)

Existe una tercera opción, muy parecida a la anterior, que consiste en representar gráficamente la expresión obtenida al enviar todos los términos a un miembro como si se tratase de una función. Podemos usar la barra de búsqueda de Google introduciendo la expresión "y = 2x - 6". Así:

Puesto que buscamos los valores que logran que el resultado sea mayor o igual que cero, debemos quedarnos con los números mayores o iguales que 3, donde se produce el cambio de signo.

Nuevamente, obtendríamos la misma solución que usando los métodos anteriores.