Sistemas de ecuaciones logarítmicas (4)

Más ejemplos sobre sistemas de ecuaciones logarítmicas, alguno de ellos de mayor dificultad. Otros, sin embargo, pueden incluir alguna ecuación en la que no aparecen logaritmos, esdecir, donde una de sus ecuaciones es algebraica. En algunos sistemas, incluso pueden presentarse combinaciones de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

 Ejemplo #1 | log2x + log2y = 4 ; 5·log2x - log2(y-6) = 4. 

Comenzamos transformando las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log2x + log2y = 4 ; log2(x·y) = 4 ⇔ x·y = 2^4 ; x·y = 16
• 5·log2x - log2(y-6) = 4 ; log2[ x^5 / (y-6) ] = 4 ⇔ x^5 / (y-6) = 2^4 ; x^5 / (y-6) = 16

Nuestro sistema de ecuaciones queda:

x·y = 16 ; x^5 / (y-6) = 16

 Vamos a resolverlo mediante sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 y = 16 / x 

Ahora sustituimos en la segunda ecuación:

x^5 / (16 / x - 6) = 16 ;

x^5 / [ (16 - 6x) / x ] = 16 ;

x^6 / ( 16 - 6x ) = 16 ;

x^6 = 256 - 96x ;

x^6 + 96x - 256 = 0

Obtenemos una ecuación de 6º grado, que solamente podemos resolver mediante Ruffini. De esa ecuación conseguimos una solución, x = 2. Si queremos encontrar la solución correspondiente de "y", llevamos ese resultado a la expresión que despejamos antes. Por tanto, obtenemos una sola pareja válida de soluciones, que verifican el sistema de ecuaciones original:

• x = 2 → y = 8.

 Ejemplo #2 | log3x - log3y = 1 ; x + y^2 = 4. 

Comenzamos transformando la única ecuación logarítmica en algebraica:

log3x - log3y = 1 ; log3 (x / y) = 1 ⇔ x / y = 3^1 ; x / y = 3

Por tanto, nuestro sistema queda:

x / y = 3 ; x + y^2 = 4

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "x" en la primera ecuación:

 x = 3y 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

3y + y ^2 = 4 ;

y^2 + 3y - 4 = 0

De esa ecuación de 2º grado obtenemos dos soluciones, y = -4 e y = 1. Para calcular los valores correspondientes de "x", acudimos a la expresión que despejamos antes:

• Si y1 = -4 → x1 = -12
• Si y2 = 1 → x2 = 3

De ambas parejas de soluciones, únicamente x = 3 e y = 1 son válidas, ya que la otra pareja hace que en la comprobación aparezcan los logaritmos en base 3 de números negativos.

 Ejemplo #3 | 2·log5x - log5y = 2 ; 2^(x+y) = 64. 

Comenzamos transformando la única ecuación logarítmica en algebraica:

2·log5x - log5y = 2 ; log5 (x^2 / y ) = 2 ⇔ x^2 / y = 5^2 ; x^2 / y = 25

A continuación, hacemos lo mismo con la ecuación exponencial.

 2^(x+y) = 64 ; 2^(x+y) = 2^6 ⇔ x + y = 6

Por tanto, nuestro sistema queda:

x^2 / y = 25 ; x + y = 6

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la segunda ecuación:

 y = 6 - x 

Y sustituimos en la primera ecuación:

x^2 / ( 6 - x ) = 25 ;

x^2 = 150 - 25x ;

x^2 + 25x - 150 = 0

De esa ecuación de 2º grado obtenemos dos soluciones, x = -30 y x = 5. Para calcular los valores correspondientes de "y", acudimos a la expresión que despejamos antes:

• Si x1 = -30 → y1 = 36
• Si x2 = 5 → y2 = 1

De ambas parejas de soluciones, únicamente x = 5 e y = 1 es válida, ya que la otra pareja hace que en la comprobación aparezca el log3(-30).