Inecuaciones (3)

En las dos de las entradas anteriores hemos visto cómo resolver por diferentes métodos inecuaciones de primer grado. Si el grado de la inecuación es dos o superior, podemos seguir usando alguno de ellos. Vamos a resolver una serie de ejemplos que nos permitirán entender mejor cuál es el proceso que debemos seguir para resolver este tipo de inecuaciones.

 Ejemplo #1 | x^2 - 5 < 4x - 8. 

Para resolver este tipo de inecuación (2º grado) vamos a llevar todos los términos al miembro de la izquierda, dejando cero en el de la derecha. Así pues:

 x^2 - 4x + 3 < 0 

Una vez obtenida esa expresión, la convertimos en una ecuación reemplazando el signo "<" por un signo igual.

x^2 - 4x + 3 = 0

Si resolvemos esa ecuación de segundo grado obtenemos dos soluciones, x = 1 y x = 3, que llevamos a la recta real.Vamos a analizar el signo de cada uno de sus tres trozos tomando un valor al azar de cada intervalo. Como son válidos los valores de "x" que logran que la expresión de la izquierda tome valores negativos, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (1, 3)
• Desigualdad: 1 < x < 3 
• Comprobar en Google:  y = x^2 - 4x + 3  

 Ejemplo #2 | x^3 - 9x ≥ 0. 

Para resolver este tipo de inecuación (3er grado) podemos saltarnos el primer paso, ya que todos los términos se encuentran en el miembro de la izquierda y tenemos cero en el de la derecha. Así pues:

 x^3 - 9x ≥ 0 

Una vez obtenida esa expresión, la convertimos en una ecuación reemplazando el signo "≥" por un signo igual.

x^3 - 9x = 0 ;
x·(x^2 - 9) = 0

Si resolvemos esa ecuación de tercer grado obtenemos tres soluciones, x = 0, x = -3 y x = 3. La primera se logra al sacar factor común (no hay término independiente), las otras dos de resolver una ecuación de 2º grado incompleta. Las llevamos a la recta real y analizamos el signo de cada uno de sus tres trozos tomando un valor al azar de cada intervalo. Como son válidos los valores de "x" que logran que la expresión de la izquierda tome valores positivos, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: [-3, 0] U [3, +∞)
• Comprobar en Google:  y = x^3 - 9x  

 Ejemplo #3 | x^3 - 8x < 0. 

Para resolver este tipo de inecuación (3er grado) podemos saltarnos el primer paso, ya que todos los términos se encuentran en el miembro de la izquierda y tenemos cero en el de la derecha. Así pues:

 x^3 - 8x < 0 

Una vez obtenida esa expresión, la convertimos en una ecuación reemplazando el signo "<" por un signo igual.

x^3 - 8x = 0 ;
x·(x^2 - 8) = 0

Si resolvemos esa ecuación de tercer grado obtenemos tres soluciones, x = 0, x = -2√2 y x = 2√2. La primera se logra al sacar factor común (no hay término independiente), las otras dos de resolver una ecuación de 2º grado incompleta. Las llevamos a la recta real y analizamos el signo de cada uno de sus tres trozos tomando un valor al azar de cada intervalo. Como son válidos los valores de "x" que logran que la expresión de la izquierda tome valores negativos, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, -2√2 ) U (0, 2√2 )
• Comprobar en Google:  y = x^3 - 8x  

 Ejemplo #4 | x^4 - 10x^2 + 9 ≥ 0. 

Para resolver este tipo de inecuación (4º grado) podemos saltarnos el primer paso, ya que todos los términos se encuentran en el miembro de la izquierda y tenemos cero en el de la derecha. Así pues:

 x^4 - 10x^2 + 9 ≥ 0 

Una vez obtenida esa expresión, la convertimos en una ecuación reemplazando el signo "≥" por un signo igual.

x^4 - 10x^2 + 9 = 0

Si nos fijamos, se trata de una ecuación bicuadrada, por lo que podemos introducir el cambio de variable t = x^2, logrando:

t^2 - 10t + 9 = 0

Resolviendo esa nueva ecuación de 2º grado, obtenemos dos soluciones, t = 1 y t = 9. Para conseguir las soluciones en "x", debemos deshacer el cambio (tomar la raíz cuadrada de esas soluciones). Se obtienen cuatro soluciones: x = -3, x = -1, x = 1 y x = 3. Las llevamos a la recta real y analizamos el signo de cada uno de sus tres trozos tomando un valor al azar de cada intervalo. Como son válidos los valores de "x" que logran que la expresión de la izquierda tome valores positivos, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, -3] U [-1, 1] U [3, ∞)
• Comprobar en Google:  y = x^4 - 10x + 9