Inecuaciones racionales

Hasta el momento, todas las inecuaciones que hemos analizado en las entradas previas solamente incluían expresiones polinómicas. Disponemos de varios métodos para resolverlas, de modo que podemos elegir en cada situación cuál de esos métodos nos resulta más adecuado, rápido o sencillo.

Sin embargo, algunas inecuaciones contienen expresiones racionales, esto es, poseen fracciones algebraicas en cuyo denominador se encuentra la variable "x". El hecho de que aparezca "x" en el denominador resulta muy importante cuando estudiamos el signo que toma una expresión dada, ya que los resultados dependen tanto del numerador como del denominador.

Cuando estudiemos este tipo de expresiones emplearemos métodos distintos a los anteriores. La mayor complejidad de las expresiones y la gran cantidad de cálculos que debemos efectuar para conseguir los resultados hacen necesario descomponer los polinomios de numeradores y denominadores, y para ello utilizaremos una técnica de factorización.

Es fundamental tener la destreza necesaria para poder factorizar cualquier polinomio, por complicada que resulte su expresión (coeficiente principal distinto a 1, polinomios irreducibles, soluciones no enteras, etc.).

Al margen de las cuestiones descritas antes, vamos a reemplazar la representación mediante la recta real por una tabla de valores más completa, debido a que tendremos que analizar el signo de cada uno de los factores en que se descomponen numerador y denominador.

A lo largo de los siguientes ejemplos, intentaremos aclarar todas las dudas que pueden surgir cuando nos enfrentamos a una inecuación racional.

 Ejemplo #1 | (x+1) / (x-4) ≥ 0. 

En primer lugar, siempre debemos dejar cero en uno de los dos miembros de la desigualdad. En este caso, no es necesario, ya que nuestra inecuación cumple ese requisito. Ahora factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: x + 1 = 0 →  x = -1 
• Denominador: x - 4 = 0 →  x = 4 *

Marcamos los valores que anulan el denominador con un asterisco, ya que "x" no puede tomar dichos valores. En Matemáticas está terminantemente prohibido dividir por cero. Por lo tanto, cuando haya la posibilidad de incluir el valor x = 4 en la solución de nuestra inecuación, deberemos desecharla. En los ceros del denominador siempre tendremos un extremo abierto de intervalo (punto vacío, paréntesis). A partir de esos dos valores elaboraremos una tabla como se muestra a continuación:

A la vista de los datos de la tabla y dado que debemos tomar por válidos aquellos intervalos cuyo resultado sea positivo, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, -1] U (4, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (x+1) / (x-4)