Inecuaciones racionales (4)

Aquí disponéis de una nueva serie de ejemplos aportados por nuestros compañeros. Seguro que os ayudan a comprender mejor cómo resolver este tipo de inecuaciones.

 Ejemplo #1 | (x^2-x+1) / (2-x) ≥ 1. Clara Vélez Martínez. 

Primero tenemos que dejar en unos de los miembros 0, para ello pasamos el 1 al primer miembro y realizamos el mcm de los denominadores dejando una sola fracción:

[(x^2 -x + 1) / (2 - x)] -1 ≥ 0;
[ (x^2 -x + 1) - (2 - x) ] / (2 - x) ≥ 0;
 (x^2 - 1) / (2 - x) ≥ 0 

A continuación factorizamos por separado el numerador (identidad notable) y el denominador:

• Numerador: x^2-1 = 0 →  x = 1 ,  x = -1  →  (x + 1)·(x - 1) 
• Denominador: 2-x = 0 →  x = 2 * →  -1·(x - 2) 

Obtenidos los valores de "x" hacemos la representación gráfica en una tabla:

Si miramos la inecuación vemos que el resultado tiene que ser mayor o igual que 0 (positivo). La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-∞, -1] U [1, 2)
• Comprobar en Google:  y = (x^2-1) / (2-x)   

 Ejemplo #2 | 3 / (2 - x) ≤ 1 / (x - 4). Clara Vélez Martínez. 

Pasamos la segunda fracción al primer miembro para dejar 0 en el de la derecha, después reducimos el primer miembro a una sola fracción haciendo MCM:

3 / (2 - x) - 1 / (x - 4) ≤ 0;
[ 3(x-4( - (2-x) ] / ((2-x)·(x-4) ≤ 0;

 (4x - 14) / [(2-x)·(x-4)] ≤ 0   o  (4x-14) / (-x^2+6x-8) ≤ 0 

Factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: 4x - 14 = 0 →  x = 7/2  →  4·(x + 7/2) o (4x-14) 
• Denominador: (2-x)·(x-4) →  x = 4 *,  x = 2 * →  (x-4)·(2-x) 

Con los valores de "x" que hemos obtenido hacemos la representación gráfica en una tabla:

Al observar la inecuación vemos que el resultado tiene que ser menor o igual que cero (negativo). La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (2, 7/2] U (4, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (4x-14) / (-x^2+6x-8)