Sistemas de ecuaciones logarítmicas (2)

En esta entrada resolveremos otros dos sistemas de ecuaciones logarítmicas que nos servirán como ejemplo para comprender mejor este tipo de sistemas.

 Ejemplo #1 | log2x + log2y = 4 ; 2·log2(2x) - log2(y) = 1. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log2x + log2y = 4 ; log2(x·y) = 4 ⇔ x·y = 2^4 ; x·y = 16
• 2·log2(2x) - log2(y) = 1 ; log2[(2x)^2 / y ] = 1 ⇔ 4x^2 / y = 2^1 ; 4x^2 / y = 2

Nuestro sistema queda:

 x·y = 16 ; 4x^2 / y = 2

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la segunda ecuación:

 y = 2x^2 

Y sustituimos en la primera ecuación:

x·2x^2 = 16;

2x^3 = 16;

x^3 = 8

De esa ecuación logramos un único valor de "x" (las otras dos soluciones son no reales, NR). Se trata de x = 2. Para calcular el valor correspondiente de "y", sustituimos en la expresión que depejamos antes. Así pues, conseguimos una sola pareja de soluciones, que además verifica el sistema de ecuaciones logarítmicas original:

• x = 2 → y = 8.

 Ejemplo #2 | log x - log (2y) = 0 ; log (5x) + log y = 1. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log x - log 2y = 0 ; log (x / 2y) = 0 ⇔ x / 2y = 10^0 ; x / 2y = 1 ; x = 2y
• log (5x) + log y = 1 ; log (5xy) = 1 ⇔ 5xy = 10^1 ; 5xy = 10 ; xy = 2

Nuestro sistema queda:

 x = 2y  ; xy = 2

Vamos a resolver mediante sustitución, llevando la "x" de la primera ecuación a la segunda ecuación:

2y·y = 2 ;
 y^2 = 1

De esa ecuación logramos dos soluciones, y = -1 e y = 1. Para calcular el valor correspondiente de "y", sustituimos en la expresión que depejamos antes, obteniendo dos parejas de soluciones:

• y1 = -1 → x1 = 2.
• y2 = 1 → x2 = -2.

Si llevamos ambas parejas a las ecuaciones originales, solamente x = 2 e y = 1 son válidas.