Sistemas de inecuaciones (3). Dos variables.

Los sistemas de inecuaciones tratados en las entradas anteriores poseían una sola variable, "x". La forma de resolverlos es mediante una representación sobre la recta real de la solución de cada una de las inecuaciones por separado para, más tarde, buscar la intersección de esas soluciones. Alcanzar una solución y poder expresarla en lenguaje matemático es una tarea relativamente sencilla.

Sin embargo, existen sistemas de inecuaciones con dos variables, "x" e "y". Encontrar la solución de este tipo de sistemas resultará más laborioso. En nuestro nivel, expresarla en lenguaje matemático, casi imposible. Por lo tanto, nos vamos a conformar con poder alcanzar la solución y saber expresarla gráficamente.

Veámoslo a través de una serie de ejemplos resueltos.

 Ejemplo #1 | x+3y > 0 ; 2x-y < 0. 

Para resolver este tipo de sistemas vamos a emplear un método gráfico que guarda grandes semejanzas con el método gráfico usado al resolver sistemas de ecuaciones lineales. En realidad, si nos fijamos bien, nuestro sistema de inecuaciones tiene el mismo aspecto que los sistemas de ecuaciones lineales, salvo porque aparecen signos de desigualdad.

Trataremos cada inecuación por separado, empezando por convertirlas en ecuaciones y despejando la variable "y". Una vez despejada, obtenemos la expresión de una función lineal (polinómica de 1er grado). Como vamos a representarla gráficamente sobre un sistema de ejes cartesianos, debemos elaborar una tabla de valores (x, y):

• x + 3y = 0 →  y = -x/3  → Puntos  A(0, 0) y B(3, -1) 
• 2x - y = 0 →  y = 2x  → Puntos  C(0, 0) y D(3, 6) 

1. Representamos gráficamente la primera recta ( y = -x/3 ), de modo que partimos el plano en dos semiplanos. Al igual que en las inecuaciones polinómicas de primer grado, habrá una región válida, que cumple la condición x+3y > 0 y otra que no. En este caso, se trata de regiones que tienen dos dimensiones: no se trata de conjuntos de valores, sino de conjuntos de puntos del plano. 
2. Para averiguar cuál de los dos semiplanos es válido y cuál no, debemos tomar un punto al azar que pertenezca a cada una de las dos regiones. Para comprobarlo, sustituiremos los valores de "x" e "y" de esos puntos en la desigualdad. Tomamos el punto P(0, 5) que está por encima de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=5, vemos que 0+3·5 > 0, por lo que es la región válida.
3. Tomamos el punto Q(0, -3) que está por debajo de la recta azul. Al sustituir x=0 e y=-3, vemos que 0+3·(-3) < 0, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

1. Repetimos el proceso para la segunda recta ( y = 2x ), representándola gráficamente. Habrá una región que verifique 2x-y < 0 y otra que no.
2. Tomamos un punto del primer semiplano y sustituimos sus valores en la expresión 2x-y < 0. El punto R(0,2) se encuentra por encima de la recta roja. Al sustituir x=0 e y=2, vemos que 2·0-2 < 0, por lo que cumple la inecuación y esta es la región válida.
3. Tomamos el punto S(0, -2). Al sustituir x=0 e y=-2, 2·0-(-2) > 0, por lo que no verifica la inecuación. Tachamos este semiplano.

Obtenemos la siguiente representación gráfica:

La solución de nuestro sistema es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente las dos desigualdades. En nuestro caso, el recinto solución es el área de la gráfica que no haya sido tachada, es decir, aquellos que aparecen con fondo blanco.