Sistemas de ecuaciones logarítmicas (3)

En esta entrada resolveremos otros dos sistemas de ecuaciones logarítmicas que nos servirán como ejemplo para comprender mejor este tipo de sistemas.

 Ejemplo #1 | log x + log (y+8) = 2 ; log (x^2) - log (5y) = 1. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• log x + log (y+8) = 2 ; log [ x·(y+8)] = 2 ⇔ x·(y+8) = 10^2 ; x·(y+8) = 100
• log (x^2) - log (5y) = 1 ; log ( x^2 / 5y ) = 1 ⇔ x^2 / 5y  = 10^1 ; x^2 / 5y = 10

Nuestro sistema queda:

 x·(y+8) = 100 ; x^2 = 50y

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la segunda ecuación:

 y = x^2 / 50 

Y sustituimos en la primera ecuación:

x·( x^2/50 + 8 ) = 100;

x^3/50 + 8x = 100;

x^3 + 400x - 5000 = 0

De esa ecuación de tercer grado logramos un único valor de "x" (las otras dos soluciones son no reales, NR). Se trata de x = 10. Para calcular el valor correspondiente de "y", sustituimos en la expresión que depejamos antes. Así pues, conseguimos una sola pareja de soluciones, que además verifica el sistema de ecuaciones logarítmicas original:

• x = 10 → y = 2.

 Ejemplo #2 | 2·log y - log x = 2 ; log y + log (x+9) = 2. 

En primer lugar transformamos las ecuaciones logarítmicas en algebraicas:

• 2·log y - log x = 2 ; log ( y^2 / x ) = 2 ⇔ y^2 / x = 10^2 ; y^2 = 100x
• log y + log (x+9) = 2 ; log [ y·(x+9) ] = 2 ⇔ y·(x+9) = 10^2 ; y·(x+9) = 100

Nuestro sistema queda:

 y^2 = 100x ; y·(x+9) = 100

Vamos a resolver mediante sustitución, despejando "y" en la primera ecuación:

 x = y^2 / 100 

Y sustituimos en la segunda ecuación:

y · ( y^2/100 + 9 ) = 100 ;

y^3/100 + 9y - 100 = 0 ;
y^3 + 900y - 10000 = 0

De esa ecuación de tercer grado logramos un único valor de "y" (las otras dos soluciones son no reales, NR). Se trata de y = 10. Para calcular el valor correspondiente de "x", sustituimos en la expresión que depejamos antes. Así pues, conseguimos una sola pareja de soluciones, que además verifica el sistema de ecuaciones logarítmicas original:

• x = 1 → y = 10.