Inecuaciones (4)

En entradas anteriores hemos visto cómo resolver inecuaciones por diferentes métodos. Vamos a analizar una serie de ejemplos que nos permitirán entender mejor cuál es el proceso que debemos seguir para resolver este tipo de inecuaciones.

 Ejemplo #1 | x^2 + 3x - 5 > 4x +7. 

Para resolver este tipo de inecuación (2º grado) vamos a llevar todos los términos al miembro de la izquierda, dejando cero en el de la derecha. Así pues:

 x^2 - x -12 > 0 

Una vez obtenida esa expresión, la convertimos en una ecuación reemplazando el signo ">" por un signo igual.

x^2 - x -12 = 0

Si resolvemos esa ecuación de segundo grado obtenemos dos soluciones, x = -3 y x = 4, que llevamos a la recta real.Vamos a analizar el signo de cada uno de sus tres trozos tomando un valor al azar de cada intervalo. Como son válidos los valores de "x" que logran que la expresión de la izquierda tome valores negativos, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-∞, -3) U (4, +∞)
• Comprobar en Google:  y = x^2 - x - 12  

 Ejemplo #2 | x^3 + 2x ≥ 0. 

Para resolver este tipo de inecuación (3er grado) podemos saltarnos el primer paso, ya que todos los términos se encuentran en el miembro de la izquierda y tenemos cero en el de la derecha. Así pues:

 x^3 + 2x ≥ 0 

Una vez obtenida esa expresión, la convertimos en una ecuación reemplazando el signo "≥" por un signo igual.

x^3 + 2x = 0 ;
x·(x^2 + 2) = 0

Si resolvemos esa ecuación de tercer grado obtenemos una solución, x = 0. Las otras dos soluciones son no reales (NR), ya que al igualar el interior del paréntesis a cero obtenemos una ecuación de 2º grado incompleta sin solución en el conjunto de los números reales (x = sqrt(-2)).

Llevamos nuestra única solución a la recta real y analizamos el signo de cada uno de sus dos trozos tomando un valor al azar de cada intervalo. Como son válidos los valores de "x" que logran que la expresión de la izquierda tome valores positivos, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: [0, +∞)
• Comprobar en Google:  y = x^3 + 2x  

 Ejemplo #3 | x^4 - x^2 < 0. 

Para resolver este tipo de inecuación (4º grado) podemos saltarnos el primer paso, ya que todos los términos se encuentran en el miembro de la izquierda y tenemos cero en el de la derecha. Así pues:

 x^4 - x^2 < 0 

Una vez obtenida esa expresión, la convertimos en una ecuación reemplazando el signo "<" por un signo igual.

x^4 - x^2 = 0 ;
x^2·(x^2 - 1) = 0

Si resolvemos esa ecuación de cuarto grado obtenemos cuatro soluciones, x = 0 (raíz doble), x = -1 y x = 1. La primera (doble) se logra al sacar factor común (no hay término independiente), las otras dos de resolver una ecuación de 2º grado incompleta. Las llevamos a la recta real y analizamos el signo de cada uno de sus tres trozos tomando un valor al azar de cada intervalo. Como son válidos los valores de "x" que logran que la expresión de la izquierda tome valores negativos, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: (-1, 0) U (0, 1)
• Comprobar en Google:  y = x^4 - x^2  

 Ejemplo #4 | x^3 - 4x^2 - 7x + 10 ≥ 0. 

Para resolver este tipo de inecuación (3er grado) podemos saltarnos el primer paso, ya que todos los términos se encuentran en el miembro de la izquierda y tenemos cero en el de la derecha. Así pues:

 x^3 - 4x^2 - 7x + 10 ≥ 0 

Una vez obtenida esa expresión, la convertimos en una ecuación reemplazando el signo "≥" por un signo igual.

x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = 0

Podemos resolver usando la regla de Ruffini, logrando tres soluciones: x = -2, x = 1 y x = 5. Las llevamos a la recta real y analizamos el signo de cada uno de sus cuatro trozos tomando un valor al azar de cada intervalo. Como son válidos los valores de "x" que logran que la expresión de la izquierda tome valores positivos, la solución será:

• Gráficamente:
  
  
• Paréntesis y corchetes: [-2, 1] U [5, +∞)
• Comprobar en Google:  y = x3 - 4x^2 - 7x + 10