Sistemas de Inecuaciones. Una variable.

Un sistema de inecuaciones se trata de un combinación de dos o más inecuaciones cuya solución está formada por los elementos que verifican simultáneamente todas y cada una de ellas. Basta con que un elemento no cumpla una de las inecuaciones para que quede excluido de la solución del sistema.

Esisten diferentes tipos de sistemas de inecuaciones, aunque nosotros nos centraremos en dos de ellos: los que tienen una sola variable y los que tienen dos variables.

Los primeros se resolverán calculando la solución de cada una de las inecuaciones por separado, y analizando gráficamente qué valores de la variable "x" cumplen simultáneamente todas las inecuaciones que forman el sistema.

Un ejemplo de este tipo de sistemas de inecaciones sería el formado por las dos expresiones 3x-1 > 0 ; 2x+6 < 0. Como ya veremos más adelante, resolveremos cada inecuación de forma independiente, expresaremos gráficamente sus soluciones y sobre ambas representaciones comprobaremos qué valores de "x" cumplen ambas al mismo tiempo.

El segundo tipo de sistemas, que presenta dos variables "x" e "y", se resolverá mediante un método gráfico muy similar al método gráfico empleado en los sistemas de ecuaciones lineales. La diferencia radica en que la solución no estará formada por un solo par de valores (x,y), sino que, en general, incluirá regiones del plano cartesiano a las que llamaremos recinto solución.

En los siguientes ejemplos intentaremos tratar una serie de casos cada vez más complejos.

 Ejemplo #1 | 2x+3 > 0; 5x - 1 ≤ 0. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo:

•  2x+3 > 0  → 2x+3 = 0 → x = -3/2. Gráficamente la solución será:

•  5x-1 ≤ 0  →5x-1 = 0 → x = 1/5. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en ambas soluciones. Solamente los valores que se encuentran entre -3/2 y 1/5 cumplen esa condición. Al analizar los casos de los extremos, vemos que -3/2 no forma parte de la solución, ya que no verifica la primera desigualdad, mientras que 1/5 verifica ambas. Por tanto, la solución es:

• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (-3/2, 1/5]
• Comprobar en Google:  y = 2x+3 , y = 5x-1  

 Ejemplo #2 | 4x+1 < 9; x+1 ≤ 3x-5. 

Vamos a resolver cada una de las inecuaciones por separado, usando el método que nos parezca más cómodo o sencillo. Comenzamos dejando cero en uno de los dos miembros:

•  4x - 8 < 0  → 4x+8 = 0 → x = 2. Gráficamente la solución será:

•  -2x + 6 ≤ 0  → -2x+6 = 0 → x = 3. Gráficamente la solución será:

Para que un valor de "x" forme parte de la solución de este sistema debe encontrarse en ambas soluciones. No existe ningún valor real que cumpla ambas desigualdades simultáneamente. Por tanto, nuestro sistema de inecuaciones no tiene solución:

• Paréntesis y corchetes: Ø (símbolo del conjunto vacío)
• Comprobar en Google:  y = 4x-8 , y = -2x+6