Inecuaciones racionales (3)

Seguimos presentando ejemplos resueltos para profundizar en el problema de las inecuaciones racionales. Cada vez serán casos más complejos.

 Ejemplo #1 | (2x-1) / (x^2+4) ≥ 0. 

En primer lugar, siempre debemos dejar cero en uno de los dos miembros de la desigualdad. En este caso, no es necesario, ya que nuestra inecuación cumple ese requisito. Ahora factorizamos por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: 2x - 1 = 0 →  x = 1/2  →   2·(x-1/2) o (2x-1) 
• Denominador: x^2+4 = 0 → No tiene solución → El polinomio es irreducible

Hay que comentar varios detalles. El polinomio del numerador no tiene coeficiente principal 1, por lo que podemos hacer dos cosas: factorizarlo como 2·(x-1/2) o, simplemente, expresarlo como (2x-1).

Por otra parte, el polinomio del denominador no tiene raíces reales, es decir, al intentar resolver x^2+4 = 0, la ecuación no tiene solución. Esto tiene dos consecuencias de cara a aplicar nuestro método. La primera es que no logramos ningún valor que haga cero el denominador y solo marcaremos los ceros del numerador. La segunda es que habrá que incluir en la tabla x^2+4 como factor, ya que no podemos descomponerlo.

En base al razonamiento anterior, elaboraremos la siguiente tabla:

A la vista de los datos de la tabla y dado que debemos tomar por válidos aquellos intervalos cuyo resultado sea positivo, la solución será:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ [1/2, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (2x-1) / (x^2+4) 

 Ejemplo #2 | (x^2-7x+6) / (3-x) < 0. 

Vamos a factorizar por separado el numerador y el denominador:

• Numerador: x^2-7x+6 = 0 →  x = 1 ,  x = 6  →  (x - 1)·(x - 6) 
• Denominador: 3 - x = 0 →  x = 3 * →  -1·(x -3) o (3-x) 

Al factorizar el polinomio del denominador nos damos cuenta de que su coeficiente principal no es 1, sino -1, y debemos indicarlo de algún modo. Hay dos opciones, poner -1 y (x-3) por separado o expresarlos directamente como (3-x).

Una vez que tenemos los tres valores de "x" que anulan esos polinomios, hacemos el análisis del signo en una tabla:

Miramos la desigualdad que indica que el valor debe ser menor que 0, es decir, negativo. La solución es:

• Gráficamente:
  
• Paréntesis y corchetes: ∀x∈ (1, 3) U (6, +∞)
• Comprobar en Google:  y = (x^2-7x+6) / (3 - x)