Ejercicios de refuerzo del primer trimestre

Hola a todos. Tal y como os indiqué el último día de clase, disponéis de ejercicios de refuerzo para estas vacaciones.

Los ejercicios pueden realizarse en el cuaderno de clase o en hojas aparte, donde os resulte más cómodo.

Ejercicios de refuerzo Matemáticas B

Ejercicios de refuerzo Matemáticas A

• Los alumnos de la asignatura Matemáticas B con una calificación inferior a 6 deben realizar todos los ejercicios de la ficha de su asignatura. En los ejercicios que poseen más de cuatro apartados, no es obligatorio hacerlos todos. Podéis elegir qué cuatro apartados hacéis.
• Los alumnos de la asignatura Matemáticas B con una calificación igual o superior a 6 deben realizar los apartados que se indican a continuación:

• Ejercicio 1: a, h, f
• Ejercicio 2: a
• Ejercicio 3: 1 + e, 2·pi (sólo para milésimas)
• Ejercicio 3: a, d, f (hay un error y aparecen dos ejercicios 3)
• Ejercicio 4: a, b, d
• Ejercicio 5: a, d
• Ejercicio 6: a
• Ejercicio 7: a, c, e
• Ejercicio 8: a, c
• Ejercicio 9: a, c, f
• Ejercicio 11: f, g
• Ejercicio 12: a, b
• Ejercicio 13: a, e
• Ejercicio 14: a, d
• Ejercicio 15: a, c
• Ejercicio 16: a, b, e
• Ejercicio 18: c

Se trata de ejercicios de las unidades 1 y 2. En  breve se publicará una entrada con ejercicios de refuerzo de la unidad 3, cuya entrega no es obligatoria. Si tenéis alguna duda al respecto, podéis contactar conmigo a través de mi dirección de correo electrónico.

Parecen muchos ejercicios, pero la mayoría son bastante cortos. El plazo para entregarlos finaliza el lunes 12 de enero. He contado 37 apartados para 21 días hasta la entrega, menos de dos apartados al día.

¡Felices vacaciones a todos!

Sistemas de ecuaciones exponenciales

Hasta ahora, los sistemas de ecuaciones no lineales vistos en las entradas anteriores de este blog contenían solamente ecuaciones algebraicas. Cuando en alguna de las ecuaciones del sistema (o en ambas) aparece alguna expresión exponencial o logarítmica, el sistema de ecuaciones dejará automáticamente de ser lineal.

A la hora resolverlos disponemos de diferentes métodos. En cada caso nos tendremos que adaptar a la forma que presenten las ecuaciones. A lo largo de los siguientes ejemplos intentaremos analizar varios sistemas de ecuaciones exponenciales y optar por el método más adecuado.

 Ejemplo #1 | 2^x + 5^y = 9, 2^(x+2) - 5^(y-1) = 15 

Para comenzar, aplicaremos las propiedades de las potencias para dejar las expresiones exponenciales en la forma más simple posible. Así:

       2^x +   5^y  =  9

2^x·2^2 - 5^y/5  = 15

A continuación vamos a aplicar un doble cambio de variable, a = 2^x y b = 5^y, de modo que tras introducir ese cambio obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:

  a +     b =  9

4a - b / 5 = 15

Para resolver este sistema vamos a eliminar el denominador de la segunda ecuación multiplicando por 5. El sistema resultante puede ser resuelto directamente por reducción:

    a + b = 9

20a  - b = 75    +  

------------------------

 21a     =  84

Se consigue una solución, a = 4. Si sustituimos en la primera ecuación y despejamos "b" logramos la solución correspondiente b = 5.

Para concuir el ejemplo es necesario deshacer los dos cambios de variable:

• Si a = 4 → 2^x = 4 → 2^x = 2^2 → x = 2
• Si b = 5 → 5^y = 5 → 5^y = 5^1 → y = 1

Por tanto, hemos obtenido una pareja de soluciones, x = 2 e y = 1, que verifican las dos ecuaciones del sistema original.

Sistemas de ecuaciones no lineales (8)

En esta entrada se incluyen más ejemplos fruto de la colaboración de nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | x^2 +y^2 = 25; x + y = 7. Vania Navarro Lazarte. David Vaca Haro. 

En primer lugar despejamos "y" en la segunda ecuación:

 

 y = 7 - x 

Sustituimos en la primera ecuación y operamos:

x^2 + (7 - x )^2 = 25;

x^2 + 49 - 14x + 24 = 0;

x^2 - 7x + 12 = 0

Se realiza la ecuación de segundo grado, consiguiendo dos soluciones, x = 4 y x = 3. Las llevamos a la expresión que despejamos al principio para calcular los valores correspondientes de "y", logrando dos parejas de soluciones :

• x1 = 3 → y1 = 3
• x2 = 4 → y2 = 4

 Ejemplo #2 | x^2 - y^2 = 21 ; x + y = 7. 

La resolución de estos sistemas no lineales se suele realizar mediante el método de sustitución, siguiendo los siguientes pasos.En primer lugar se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente la de 1º grado, dado que es mas fácil:

 y = 7 - x 

Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación:

x^2 - (7 - x)^2  = 21

Se resuelve la ecuación resultante conseguida al operar y agrupar términos. Hemos de realizar la identidad notable (7 - x)^2 y pasar el 25 al otro miembro:

    

x^2 - 49 + 14x - x^2 = 21;

14x = 70

Obtenemos una ecuación de 1er grado y, por tanto, una única solución, x = 5. Al llevarla a la expresión para obtener la solución correspondiente en "y" conseguimos una pareja de soluciones:

• x = 5 → y = 2

Resumen de la unidad 3

Estos son los diagramas realizados con dos aplicaciones distintas, MindMup y LucidChart donde se incluyen todos los contenidos de la Unidad 3.

Diagrama elaborado con MindMup.

Diagrama elaborado con LucidChart.

¿Alguna idea para completarlos?

También podéis acceder a una lista donde se incluyen todas las entradas correspondientes a la Unidad 3 a través de este enlace:

Entradas de la Unidad 3

Ecuaciones logarítmicas (9)

Aquí tenéis más ejemplos aportados por dos de nuestros compañeros sobre ecuaciones logarítmicas.

 Ejemplo #1 | log 4 + 2·log (x-3) = log x. Elena Berenguel Díaz. 

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

log [ 4·(x-3)^2 ] = log x

Como sólo nos ha quedado un log en cada lado del igual, podemos igualar los argumentos:

4·(x-3)^2 = x

Se realizan las operaciones del paréntesis en el que aparece una identidad notable, el cuadrado de un binomio:

4x^2 - 25x + 36 = 0

Se resuelve la ecuación de 2º grado mediante la fórmula general. Las soluciones son x = 4 y x = 9/4. Se comprueban sustituyendo la "x" para ver si hay soluciones no válidas. Solamente x = 4 verifica la ecuación original.

 Ejemplo #2 | 2·log x - 2·log (x-1) = 0. Rubén Seco. 

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

log x^2 - log (x-1)^2 = 0;

log [ x^2 / (x-1)^2 ] = log 1

Igualamos los argumentos:

x^2 / (x-1)^2 = 1;

x^2 = x^2 + 2x + 1;

0 = 2x + 1

Se logra una única solución, x = -1/2. Al intentar comprobarla en la ecuación original se obtiene el logaritmo de un número negativo, por lo que no es válida y nuestra ecuación logarítmica no tiene solución.

Ecuaciones logarítmicas (8)

Aquí disponéis de más ejemplos aportados por nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | log9 (x+1) - log9 (1-x) = log9 (2x+3). José Castillo Bonilla. 

Unimos los logaritmos del miembro de la izquierda:

log9 [ (x+1) / (1-x) ] = log9 (2x+3)

Igualamos los argumentos:

(x+1) / (1-x) = 2x + 3

El denominador de la izquierda pasa a la derecha multiplicando:

x + 1 = (2x+3)·(1-x)

Se realizan las operaciones, agrupamos y ordenamos:

x + 1 = 2x - 2x^2 + 3 - 3x;

2x^2 + 2x  -2 = 0;

x^2 + x - 1 = 0

Se realiza la ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones, x = (-1+sqrt(5))/2 y x = (-1-sqrt(5))/2. Tan solo la primera de ellas es válida, x = (-1+sqrt(5))/2 ≈ 0.61803398875... La otra solución, al llevarla al primero de los dos logaritmos del miembro de la izquierda, nos da un argumento negativo y, por tanto, no es una solución válida.

 Ejemplo #2 | log (2x-3) + log (3x-2) = 2-log 25. Luna Luque Castilla. 

En primer lugar, el 2 lo convertimos en un logaritmo:

log (2x-3) + log (3x-2) = log 100 - log 25

A continuación agrupamos aplicando las propiedades de los logaritmos:

log [ (2x-3)·(3x-2) ] = log 100/25

Y ahora, quitamos los logaritmos igualando los argumentos:

(2x-3)·(3x-2) = 4;

6x^2 - 4x - 9x + 6 = 4;

6x^2 - 13x + 2 = 0

Obtenemos dos soluciones para esta ecuación, que son x = 2 y x = 1/6. Tras comprobarlas en la ecuación original solamente x = 2 es válida. Para x = 1/6 nos encontramos con que ninguna de las dos expresiones logarítmicas se puede calcular, ya que no existe el logaritmo (en base positiva) de números negativos.

 Ejemplo #3 | 2 log(5x+4) - 2 log2 = log(x+4). María Millán Carranza. 

Aplicamos las propiedades de los logaritmos para agrupar todos los términos de la izquierda:

 

log [ (5x+4)^2 ] - log [ 2^2 ] = log (x+4);

log [ (5x+4)^2 / 4 ] = log (x+4)

A continuación igualamos los argumentos y operamos:

( 25x^2 + 40x + 16 ) / 4 = x + 4;

25x^2 + 40x + 16 = 4x + 16;

25x^2 + 36x = 0;

x·(25x + 36) = 0

 

Obtenemos dos soluciones, x = 0 y x = -36/25. Al llevarlas a la ecuación original solamente x = 0 resulta ser válida.

Ecuaciones exponenciales (8)

Aquí tenéis más ejemplos compartidos por nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | 5^x + 5^(x+1) = 30. Lucía Hernández Lucena. 

  

En primer lugar debemos descomponer el segundo término del miembro de la izquierda aplicando las propiedades de las potencias.

5^x + 5·5^x = 30

En segundo lugar debemos determinar que 5^x es el numero con exponente más sencillo y lo reemplazamos por "u", efectuando un cambio de variable, es decir, u = 5^x:

u + 5u = 30;
6u = 30;
u = 30/6

Obtenemos que u = 5, pero tenemos que deshacer el cambio:

•  5^x = 5 ==> 5^x = 5^1 ==> x = 1

Al comprobar en la ecuacion original encontramos que x = 1 es la respuesta válida.

 Ejemplo #2 | 2^(2x+1) - 3·2^x + 1 = 0. Álvaro Estepa Molina. 

En primer lugar aplicamos las propiedades para quitar las sumas y diferencias de los exponentes.

2·2^x - 3·2^x + 1 = 0

Después realizamos el cambio de variable t = 2^x ; t^2 = 2^2x. Así:

2t^2 - 3t + 1 = 0

Resolvemos la ecuación y posteriormente deshacemos el cambio de variable. Las dos soluciones en "t" son t = 1 y t = 1/2.

• Si t = 1 ==> 2^x = 1 ==> 2^x = 2^0 ==> x = 0
• Si t = 1/2 ==> 2^x = 1/2 ==> 2^x = 2^(-1) ==> x = -1

Ambas soluciones verifican la ecuación original.

  Ejemplo #3 | 9^x – 3^(x+2) + 18 = 0. Carmen Hidalgo Carmona. 

Es una ecuación exponencial de segundo tipo, en las que la incógnita se nos presenta en más de un término. Debemos utilizar las propiedadesde las potencias para conseguir expresiones más sencillas. De este modo:

3^(2x) - 3^x·3^2 + 18 = 0

Aplicaremos un cambio de variable para transformarla en una ecuación polinómica. Dicho cambio será t = 3^x, t^2 = 3^(2x). Así queda:

t^2 – 9t + 18 = 0

De esa ecuación de 2º grado conseguimos dos soluciones, t = 6 y t = 3. Para concluir el ejemplo, debemos deshacer el cambio:

• Si t = 6 ==> 3^x = 6 ==> x = log3 6
• Si t = 3 ==> 3^x = 3 ==> x = 1

Ambas soluciones verifican la ecuación original.

  Ejemplo #4 | 9^x – 7·3^x + 12 = 0. 

Es una ecuación exponencial de segundo tipo, en las que la incógnita se nos presenta en más de un término. Aplicaremos un cambio de variable para transformarla en una ecuación polinómica. Dicho cambio será t = 3^x, t^2 = 3^(2x). Así queda:

t^2 – 7t + 12 = 0

De esa ecuación de 2º grado conseguimos dos soluciones, t = 4 y t = 3. Para concluir el ejemplo, debemos deshacer el cambio:

• Si t = 4 ==> 3^x = 4 ==> x = log3 4
• Si t = 3 ==> 3^x = 3 ==> x = 1

Ambas soluciones verifican la ecuación original.

Sistemas de ecuaciones no lineales (7)

Estos son dos ejemplos más enviados por nuestros compañeros sobre sistemas de ecuaciones no lineales.

 Ejemplo #1 | x^2 + y^2 = 25; x + y = 7. Jorge López Nevado. 

Despejamos "y" en la segunda ecuación:

 y = 7 - ­ x 

Sustituimos en la primera ecuación, y obtenemos una ecuación de 2º grado. Operamos:

x^2 + (7 - ­ x)^2 = 25;

x^2 + 49 ­ - 14x + x^2 = 25;

2x^2 ­ - 14x + 24 = 0;

x^2 ­ - 7x + 12 = 0

Aplicamos la fórmula de las ecuaciones de 2º grado y conseguimos las soluciones x = 3 y x = 4. Debemos sustituir esos valores de "x" para obtener los correspondientes de la incógnita "y". Se logran estas dos parejas de soluciones (válidas, se puede comprobar en el sistema original):

• x1 = 3 → y1 = 4
• x2 = 4 → y2 = 3

 Ejemplo #2 | 2^x - 5^y = 3; 2^(x+2) - 5^(y+1) = 7. Javier Romero González. 

Se trata de un sistema de ecuaciones exponenciales, ya que las dos incógnitas se encuentran en el exponente de sendas potencia. A la hora de resolverlos, podemos usar varios métodos. En este caso usaremos reducción. Para ello, es necesario dejar en ambas ecuaciones las mismas expresiones exponenciales. Lo conseguimos aplicando las propiedades de las potencias:

    2^x -     5^y = 3

 4·2^x - 5·5^y = 7

Para reducir, multiplicamos la primera ecuación por (-4):

-4·2^x + 4·5^y = -12

 4·2^x -  5·5^y =  7      + 

----------------------------

     /     -  5^y  =  -5

Así pues: 5^y = 5. Obtenemos que y = 1. Para conseguir el valor correspondiente de "x", lo más sencillo en sustituir el valor de "y" en la primera ecuación y resolver una ecuación exponencial sencilla:

2^x - 5 = 3;

2^x = 8;

2^x = 2^3;

x = 3

En resumen, hemos obtenido una pareja de soluciones, que es válida:

• x = 3 → y = 1

El sistema del Ejemplo #2 se podría haber resuelto mediante un doble cambio de varable: a = 2^x, b = 5^y. Así el sistema se convierte en un sistema de ecuaciones lineales.

Después de aplicar el doble cambio de variable y multiplicar la primera ecuación por (-4) queda:

-4a + 4b = -12

 4a  - 5b =   7      + 

----------------------------

     /  -b  =  -5

Conseguimos que b = 5. Para calcular el valor de "a" correspondiente, lo más sencillo es sustituir en la primera ecuación:

a - b = 3;

a = 8

Para terminar nuestro sistema debemos deshacer los cambios:

• Si a = 8 → 2^x = 8 → 2^x = 2^3 → x = 3
• Si b = 5 → 5^y = 5 → 5^y = 5^1 → y = 1

Sistemas de ecuaciones no lineales (6)

Aquí incluimos varios ejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales resueltos por varios de nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | x^2 + y^2 = 10 ; x + y = 4. Marta Pérez Puentes. 

Despejamos "x" en la segunda ecuación:

 x = 4 - y 

Sustituimos teniendo en cuenta las identidades notables :

(4-y)^2 + y^2 = 10;

16 - 8y + y^2+ y^2 = 10;

2y^2 – 8y + 6 = 0

Resolvemos ecuación de segundo grado, en la que obtenemos como resultados dos soluciones y = 3 / y = 1. Sustituimos las soluciones de la ecuación de segundo grado la expresión donde despejamos "x".

• y1 = 3 → x1 = 1
• y2 = 1 → x2 = 3

Ambas parejas de soluciones son válidas.

 Ejemplo #2 | 2x + y^2 - y = 4; y^2 - x = 3. Juan de la Cruz Padilla. 

En primer lugar debemos de despejar una incógnita en la segunda ecuación. Vamos a despejar "x" por simplicidad. 

 x = y^2 - 3 

Ahora sustituimos en la primera ecuación y queda:

2·(y^2-3) + y^2 - y = 4

Simplificamos:

3y^2 - y - 10 = 0

Esto es una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son y = 2 e y = -5/3. A continuación los valores de "x" los obtendremos sustituyendo esos valores en la expresión despejada. Se consiguen dos parejas de soluciones:

• Si y = 2 → x =1
• Si y = -5/3 → x = -2/9

Por tanto, en resumen, las soluciones de este sistema son:

• x1 = 1 → y1 = 2
• x2 = -2/9 → y2 = -5/3 

Ambas parejas de soluciones son válidas.

Ecuaciones radicales (3)

Estos son otros ejemplos enviados por dos de nuestras compañeras para compartir en el blog.

 Ejemplo #1 | sqrt(x+4) = 3 - sqrt(x-1). Marisa de Torres Domenech. 

Aislamos una de las dos raíces (en este caso ya está aislada) y elevamos ambos miembros al cuadrado:

[ sqrt(x+4) ]^2 = [ 3 - sqrt(x-1) ]^2

Al elevar al cuadrado, la raíz de la izquierda se pierde, y en la derecha se efectúa la operación, dándonos cuenta de que es una identidad notable.

x + 4 = 9 - 6·sqrt(x-1) + x - 1

Seguimos teniendo una raíz cuadrada. Tendremos que aislarla y volver a elevar todo al cuadrado.

6·sqrt(x-1) = -x - 4 + 9 + x - 1;

6·sqrt(x-1) = 4;

[ 6·sqrt(x-1) ]^2 = 4^2

Una vez elevado, la raíz se va. Realizamos la operación y despejamos "x":

36·(x-1) = 16;

36x - 36 = 16;

36x = 52;

x= 52/36

Al comprobar la solución x = 13/9 en la ecuación original vemos que la solución obtenida es correcta.

 Ejemplo #2 | x - sqrt(x) = 6. Mª Carmen Ortega Medina. 

Aislamos la raíz:

x - 6 = sqrt(x)

Elevamos al cuadrado, teniendo en cuenta la identidad notable del miembro de la derecha:

x = 36 - 12x + x ^2

Agrupamos y ordenamos para poder resolver una ecuación de 2º grado:

0 = x ^2 - 13x + 36

Conseguimos dos soluciones, x = 9 y x = 4. De las dos soluciones obtenidas, sólo x = 9 es correcta.

Ecuaciones exponenciales (7)

Estos son más ejemplos aportados por algunos de nuestros compañeros. Seguro que nos sirven de ayuda.

 Ejemplo #1 | 2^(x+1) - 5·2^x + 3 = 0. Marta Pérez Páez. 

Aplicamos las propiedades de las potencias dejando las expresiones exponenciales lo más simples posibles.

2^x·2 - 5·2^x + 3 = 0

 
Para resolverla, necesitamos hacer un cambio de variable. El cambio de varible es t = 2^x. La ecuación queda así:

2t - 5t + 3 = 0

Haciendo esta ecuación obtenemos una solución, t = 1. Deshacemos el cambio de variable, por lo que alcanzamos una solución, x = 0, que verifica la ecuación original.

 Ejemplo #2 | 5^x + 5^(x+1) + 5^(x+2) = 775. Ángel Iniesta Valcárcel. 

Primero usamos las propiedades de las potencias para que en los exponentes solo aparezca "x":

5^x + 5^x·5 + 5^x ·5^2 = 775

Ahora hacemos el cambio de variable u = 5^x y sustituimos:

u + 5u + 25u = 775;

31u = 775

Encontramos una solución para u = 25. Deshacemos el cambio de variable:

• Si u = 25 ==> 5^x = 25 ==> 5^x = 5^2 ==> x = 2

Esa solución, x = 2, es válida porque cumple la ecuación original.

 Ejemplo #3 | 2^(x+1) + 2^x + 2^(x-1) = 14. David Benavente Tobajas. 

Lo primero que hay que hacer es conseguir que todas las exponenciales queden lo más sencillas posible para luego hacer el cambio de variable z = 2^x:

2^x·2 + 2^x + 2^x / 2 = 14;

2z + z + 2 / z = 14

Quitamos denominadores y conseguimos una ecuación de 1er grado en "z":

4z + 2z + z = 28;

7z = 28

Obtenemos una solución, z = 4. Al deshacer el cambio:

• Si z = 4 ==> 2^x = 4 ==> 2^x = 2^2 ==> x = 2

Esa solución única, x = 2, es válida porque verifica la ecuación original.

Blog Matemáticas A

Hola a todos de nuevo. Poco a poco se está elaborando el blog de la asignatura de Matemáticas A, tal y como prometí. Hay que dotarlo de contenido, así que durante los próximos días se irán añadiendo nuevas entradas.

Creo que puede resultar útil también a los alumnos de Matemáticas B, ya que hay contenidos que son comunes a ambas asignaturas.

El enlace al blog es mat4acvc.blogspot.com.es.

Ecuaciones polinómicas (3)

Estos son más ejemplos aportados por nuestros compañeros sobre ecuaciones polinómicas. Se trata de dos ecuaciones bicuadradas.

 Ejemplo #1 | x^4 - 13x^2 + 36 = 0. María Campos Gómez. 

En primer lugar debemos fijarnos en el grado de la ecuación, en este caso es de grado 4. Como es una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x^2; t^2 = x^4. Así conseguimos una ecuación de 2º grado en "t":

t^2 - 13t + 36 = 0

Ahora realizamos la ecuación de segundo grado mediante su fórmula. Obtenemos dos soluciones, t = 9 y t = 4 . Debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = ±3
• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = ±2

Obtenemos cuatro soluciones reales para una ecuación de 4º grado, que son x = 2, x = -2, x = 3, x = -3.

 Ejemplo #2 | x^4 - 5x^2 - 36 = 0. María Campos Gómez. 

Se trata de otra ecuación bicuadrada. Resolvemos por el mismo método del ejemplo anterior. Hacemos el cambio de variable t = x^2:

t^2 - 5t - 36 = 0

Ahora realizamos la ecuación de segundo grado mediante su fórmula. Obtenemos dos soluciones, t = 9 y t = -4. Debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = ±3
• Si t = -4 ==> x = sqrt(-4) ==> No tiene solución.

Obtenemos dos soluciones reales para una ecuación de 4º grado, que son x = 3 y x = -3. Las otras dos soluciones son no reales (NR).

 Ejemplo #3 | 3x^4 - 15x^2 + 36 = 0. María Ángeles Castro Luque. 

Se trata de otra ecuación bicuadrada. En primer lugar simplificamos la ecuación por 3 para conseguir coeficientes más sencillos. Resolvemos por el mismo método del ejemplo anterior. Hacemos el cambio de variable t = x^2:

x^4 - 5x^2 + 12 =0;
t^2 - 5t + 4 = 0

La ecuación obtenida puede ser resuelta mediante la fórmula de la ecuación de 2º grado. Alcanzamos dos soluciones, t = 4 y t = 1. Para encontrar la solución en "x" es necesario deshacer el cambio de variable:

• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = ±2
• Si t = 1 ==> x = sqrt(1) ==> x = ±1

Obtenemos las cuatro soluciones reales: x = 2, x = -2, x = 1, x = -1.

Ecuaciones polinómicas (2)

Estos son varios ejemplos sobre ecuaciones polinómicas enviados por varios de nuestros compañeros.

 Ejemplo #1 | x^2 - 9x + 18 = 0. Ana López Pérez. 

En primer lugar nos basamos en la fórmula de las ecuaciones de 2º grado:

x = [ -b ± sqrt( b^2 - 4·a·c) ] / (2·a)

A continuación sustituimos los coeficientes a = 1, b = -9 y c = 18. Nos dan dos resultados, x = 6 y x = 3. Antes de dar por terminada la operación comprobamos los resultados con la ecuación original para verificar qué soluciones son correctas. En este caso, ambas lo son.

 Ejemplo #2 | 3x^4 - 15x^2 + 12 = 0. Ana López Pérez. 

Se trata de una ecuación bicuadrada. En primer lugar debemos saber que resolveremos mediante un cambio de variable, es decir, t = x^2.Por lo que tendríamos que:

3t^2 - 15t + 12 = 0

Como observamos se ha convertido en una ecuación de 2º grado, por lo que aplicamos su fórmula. Al acabar tenemos dos resultados t = 4 y t = 1, como el ejercicio nos pide "x" y tenemos "t", cambiamos la variable, sabiendo que t = sqrt(x).

Conseguimos cuatro soluciones distintas: x = +2, x = -2, x = +1, x = -1.

Para terminar llevamos esos resultados a la ecuación original para comprobar que son correctos. En este caso, todos son válidos.

Ecuaciones exponenciales (6)

Más ejemplos gracias a la colaboración de dos de nuestros compañeros.

 Ejemplo #2 | 3^x + 3^(x-1) +3^(x+1) = 117. Rafael Abad. 

En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias para descomponer:

3^x + 3^x / 3 + 3^x · 3 = 117

A continuación sustituimos 3^x por la variable z y obtenemos la ecuación de 1er grado ( z = 3^x ):

z + z / 3 + 3z = 117;

13z = 351;

z = 27

Calculamos el valor de x:

3^x = 3^3

Obtenemos una solución, x = 3, que es válida.

 Ejemplo #2 | 9^x - 3 · 3^x + 2 = 0. Andrea Salido. 

Para resolver esta ecuación, en primer lugar, debemos aplicar las propiedades de las potencias dejando las expresiones exponenciales lo más simples posibles.

3^2x - 3 · 3^x + 2 = 0

Tras este paso, debemos aplicar el cambio de variable, que en este caso es t = 3^x. Haciendo esto, la ecuación quedaría así.

t^2 - 3 · t + 2 = 0

Hacemos la ecuación correspondiente y nos da dos soluciones, t = 1 y t = 2. Pero "t" no es la solución, habría que deshacer el cambio de variable:

• si t = 2 ==> 3^x = 2 ==> x = log3 2

• si t = 1 ==> 3^x = 1 ==> 3^x = 3^0 ==> x = 0

Ambas soluciones son totalmente válidas.

Sistemas de ecuaciones no lineales (5)

Estos son los ejemplos sobre sistemas de ecuaciones no lineales enviados por dos de nuestros compañeros.

​ Ejemplo #1 | 2x - y = 1; y^2 - 2x^2 = 7​. Silvia Osuna. 

Resolvemos por sustitución:

 y = 1 + 2x 

Sustituimos en la 2ª  ecuación:

(1+2x)^2 - 2x^2 = 7;

1 + 4x + 4x^2 - 2x^2 = 7

Agrupamos y ordenamos la ecuación:

2x^2 + 4x - 6 = 0;

x^2 + 2x - 3 = 0

Hacemos la fórmula de la ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones de "x". Con esos dos valores, volvemos a la expresión de "y" obteniendo las dos parejas de soluciones:

• x1 = 1, y1 = 3

• x2 = -3, y2 = -5

Por último tendríamos que comprobar en las ecuaciones originales.

 Ejemplo #2 | x^2 + y^2 = 169 ; x + y = 17. Gonzalo Luque. 

Resolvemos por sustitución. Despejamos la "x" en la 2ª ecuación:

 x = 17 - y 

Sustituimos en la 1ª ecuación, y nos aparece una identidad notable:

(17-y)^2 + y^2 = 169;

289 - 34y + y^2 + y^2 = 169

Simplificamos y agrupamos:

y^2 - 17y + 60 = 0

Aplicamos la ecuación de 2º grado y nos da dos soluciones de "y" con la que obtenemos otras dos soluciones de "x" sustituyendo:

• y1 = 12 , x1 = 5
• y2 = 5 , x2 = 12

Las dos parejas de soluciones verifican el sistema de ecuaciones original, por lo que son válidas.

Ecuaciones logarítmicas (7)

Estos son los ejemplos con los que han contribuido algunos de nuestros compañeros. Espero que os sirvan de ayuda.

 Ejemplo #1 | log (x^3) - 2 log (x) = log (10). Paula Bonilla. 

En primer lugar pasamos el coeficiente 2, que multiplica al logaritmo de x, al exponente del argumento de ese mismo logaritmo:

log (x^3) - log (x)^2 = log 10

Seguidamente, hallamos el valor del miembro de la derecha, y agrupamos todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión:

log (x^3/ x^2) = 1

A continuación, simplificamos el cociente dentro del argumento del logaritmo:

log x = 1

Finalmente, transformamos la expresión aplicando la definición de logaritmo:

10^1 = x

Nos ha salido como posible solución x = 10, y comprobándola en la ecuación original, nos ha salido como solución correcta.

 Ejemplo #2 | log2 (5+x) + log2 (3x+7) = 7. Paula Bonilla. 

Primero agrupamos todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión:

log2 [ (5+x)·(3x+7) ] = 7

A continuación aplicamos la propiedad distributiva dentro del argumento:

log2 [3x^2 + 22x + 35] = 7

Seguidamente transformamos la expresión aplicando la definición de logaritmo:

3x^2 + 22x + 35 = 2^7

Después dejamos el miembro de la derecha como cero y logramos una ecuación de 2º grado:

3x^2 + 22x - 93 = 0

Conseguimos dos soluciones: x = 3 y x = -31/3. Tras llevar ambas a la ecuación original, comprobamos que solamente x = 3 es válida. Al llevar la otra solución a la ecuación logarítmica obtenemos el logaritmo de un número negativo, por lo que no es válida.

 Ejemplo #3 | log 2 + log (11 - x^2) = 2·log (5-x). José Antonio Casares. 

Agrupamos los logaritmos de la izquierda en un único logaritmo:

log [ 2·(11 x^2) ] = log [ (5-x)^2 ]

Igualamos los argumentos:

2·(11-x^2) = (5-x)^2

Desarrollamos el cuadrado de la diferencia del miembro de la derecha y aplicamos la propiedad distributiva en el de la derecha:

22 - 2x^2 = 25 - 10x + x^2

Pasamos todos los términos al miembro de la derecha y conseguimos una ecuación polinómica de 2º grado:

0 = 3x^2 - 10x + 3

 

Los resultados de la ecuación de segundo grado son x = 3 y x = 1/3. Ambas soluciones cumplen la ecuación original.

Ecuaciones exponenciales (5)

Más ejemplos sobre ecuaciones exponenciales. Los autores figuran junto al enunciado del ejercicio. Espero que os gusten.

 Ejemplo #1 | 7^(4-3x) = 6. Juan Garrido González. 

Aplicamos la definicion de logaritmo para resolver esta ecuación:

4 - 3x = log7 6;

-3x = log7 6 - 4;

x = - ( log7 6 - 4 ) / 3

Obtenemos una única solución, x = ( 4 - log7 6 ) / 3, que es válida.

 Ejemplo #2 | 4^x - 5·2^x + 4 = 0. Juan Garrido González. 

Aplicamos las propiedades de las potencias:

2^(2x) -5·2^x + 4 = 0

Realizamos un cambio de variable, t= 2^x y resolvemos con la fórmula de la ecuación de 2º grado:

t^2 - 5t + 4 = 0

Logramos dos soluciones en "t", pero debemos deshacer el cambio:

• 2^x = 4 ==> 2^x = 2^2 ==> x = 2
• 2^x = 1 ==> 2^x = 2^0 ==> x = 0

Se obtienen dos soluciones x = 0 y x = 2. Ambas, una vez hechas las comprobaciones en la ecuación original, son válidas.

 Ejemplo #3 | 3^x · 9^x = 729. Sofía Aroz Conde. 

En primer lugar, debemos tener la misma base para poder realizar el cambio de variable y operar. Utilizaremos las propiedades de las potencias para conseguir base 3. Vemos que 9 es 3 elevado al cuadrado, por lo que podríamos cambiarlo y quedaría tal que así:

3^x · 3^(2x) = 3^6

Ahora debemos realizar el cambio de variable. En este caso, sería t =3^x. Al sustituir, tenemos:

t · t^2 = 3^6

Volvemos a usar las propiedades de las potencias, al multiplicarse se suman los exponentes:

t^3 = 9^3

Con ello tenemos que t = 9. Ahora debemos deshacer el cambio:

•  Si t = 9 ==> 3^x = 3^2 ==> x = 2

Al final hemos encontrado que la solución es x = 2. Si sustituimos el resultado en la ecuación original, sabremos que es correcta.

Otra manera de resolver esta ecuación, sin necesidad del cambio de variable, sería:

 3^x · 3^(2x) = 3^(3x)

Así pues, la ecuación queda 3^(3x) = 3^6, por lo que 3x = 6. Volvemos a obtener la misma solución pese a seguir un camino distinto.

Ecuaciones exponenciales (4)

Estos son los ejemplos enviados por algunos de nuestros compañeros sobre ecuaciones exponenciales. Espero que os sirvan de ayuda. Sus autores aparecen junto al enunciado de las ecuaciones.

 Ejemplo #1 | 9^x - 3^x - 6 = 0. Francisco Bérchez Moreno. 

Vamos a realizar una ecuación exponencial y para ello debemos realizar una serie de pasos. El primero es conseguir que todas las expresiones que tienen "x" en el exponente posean la misma base. En este caso, como 9 se puede escribir como 3^2, nos permite transformar la ecuación:

3^(2x) - 3^x - 6 = 0

A continuación reemplazamos t = 3^x, y 3^(2x) = t^2. Una vez hecho esto, conseguimos una ecuación de 2º grado.

t^2 - t - 6 = 0

Sus dos soluciones, usando la fórmula de la ecuación de 2º grado, son t = -2 y t = 3. Debemos ahora deshacer el cambio de variable para lograr los respectivos valores de "x":

• si t = -2 ==> 3^x = -2 ==> No tiene solución
• si t = 3 ==> 3^x = 3 ==> x = 1

Comprobamos en la ecuación original que la solución x = 1 es válida.

 Ejemplo #2 | 5^x + 5^(x+1) = 30. Francisco Bérchez Moreno. 

Vamos a realizar una ecuación exponencial. En esta ecuación aparece un término con 5^(x+1). Haciendo uso de las propiedades de las potencias, 5^x·5 = 5^(x+1). Por tanto:

5^x + 5^x·5 = 30

Una vez hecho esto, sustituiremos t = 5^x y realizaremos una ecuación sencilla de 1er grado.

t + 5t = 30;

6t = 30;

t = 30 / 6

La solución es t = 5. Deshaciendo el cambio de variable logramos:

• t = 5 ==> 5^x = 5 ==> 5^x = 5^1 ==> x = 1

Llevando x = 1 a la ecuación original, podemos ver que es válida.

 Ejemplo #3 | 2^(4-x) + 2^(x+2) - 16 = 0. Juan Garrido González. 

Primero, aplicamos las propiedades de las potencias para transformar la ecuación.

2^4 / 2^x + 2^x·2^2 - 16 = 0

Realizamos un cambio de variable t = 2^x:

2^4 / t + t·4 - 16 = 0

Eliminamos denominadores multiplicando cada término por "t":

2^4 + 4t^2 - 16t = 0

Ordenamos los términos y resolvemos con la ecuación de 2º grado:

4t^2 - 16t + 16 = 0

Obtenemos una solución doble, t = 2. Deshacemos el cambio de variable y hallamos las soluciones en "x":

• Si t = 2 ==> 2^x = 2^1 ==> x = 1

Comprobando en la ecuación original, vemos que x = 1 es una solución válida.

Ecuaciones exponenciales (3)

A continuación encontraréis los ejemplos enviados por algunos de nuetros compañeros sobre ecuaciones exponenciales.

 Ejemplo #1 | 4^x - 2^(x+1) = 8. Víctor Sabariego Escolar. 

Vamos a transformar 4^x en una potencia de base 2 para qu todas las expresiones exponenciales tengan la misma base. Además, aplicando las propiedades de las potencias 2^(x+1)= 2·2^x. Llevar todos estos cambios a la ecuación:

(2^2)^x -2·2^x = 8

Aplicamos el cambio de variable t = 2^x, t^2 = 2^(2x). De este modo, la ecuación obtenida es:

t^2 - 2t - 8 = 0

Se trata de una ecuación de 2º grado completa, que resolvemos aplicando la fórmula. Sus soluciones son t = 4 y t = -2. Debemos deshacer el cambio de variable. Así pues:

• Si t = 4 ==> 2^x = 4 ==> 2^x = 2^2 ==> x = 2 
• Si t = -2 ==> 2^x = -2 ==> No tiene solución.

Por tanto obtenemos una única solución, x = 2. Tras llevarla a la ecuación original, comprobamos que es válida.

 Ejemplo #2 | 4^x – 9·2^x + 8 = 0. Pablo Rivero Mohedano. 

Lo primero que vamos a hacer es escribir el término 4^x como una potencia de base 2.

(2^x)^2 – 9(2^x) + 8  =  0

A continuación, sustituimos la expresión 2^x por otra incógnita más sencilla para trabajar ("t"). Dicho de otra forma, realizamos un cambio de variable.

t^2 - 9t + 8 = 0

Obtenemos una ecuación polinómica de 2º grado. De esta ecuación obtenemos dos soluciones, t = 1 y t = 8. Sin embargo, nuestro objetivo es conocer el valor de "x" que verifica la ecuación inicial. Para ello debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 1 ==> 2^x = 1 ==> 2^x = 2^0 ==> x = 0
• Si t = 4 ==> 2^x = 4 ==> 2^x = 2^2 ==> x = 2

Conseguimos dos soluciones, x = 0 y x = 2. Una vez llevadas a la ecuación original, vemos que ambas son válidas.

Ejemplo #1 | 5^x + 5^(x-1) + 5^(x+1) = 31. Víctor Sabariego Escolar.

 

Aplicamos las propiedades de las potencias para descomponer:

 

5^x + 5^x / 5 + 5^x·5 = 31

 

Hacemos el cambio de variable t = 5^x. Así la ecuación queda:

t + t /5 + 5t = 31;

5t + t + 25t = 155;

31t = 155

 

Obtenemos una ecuación de 1er grado en "t", cuya solución es t = 5. Por ultimo calculamos el valor de "x" deshaciendo el cambio:

• Si t = 5 ==> 5^x = 5 ==> 5^x = 5^1 ==> x = 1

La única solución obtenida, x = 1, es válida.

Ecuaciones logarítmicas (6)

En esta entrada podéis encontrar más ejemplos sobre ecuaciones logarítmicas realizados por varios compañeros. Los autores de los mismos aparecen junto a cada ejercicio. Seguro que os resultan muy útiles.

 Ejemplo #1 | log7(x-2) - log7(x+2) = 1 - log7(2x-7). Pablo Rivero Mohedano. 

Lo primero que vamos a hacer es cambiar el numero uno por un logaritmo (de base 7), y así poder agruparlos todos.

log7 (x-2) - log7 (x+2) = log7 7 - log7 (2x-7)

A continuación, agrupamos cada miembro de la ecuación logarítmica en un único logaritmo de base 7.

log7 [(x-2) / (x+2)] = log7 [ 7 / (2x-7) ]

Al haber un único logaritmo de base 7 en cada miembro, podemos razonar que dos logaritmos que son iguales y poseen la misma base, deben tener el mismo argumento. Así:

(x-2) / (x+2) = (7) / (2x-7)

Multiplicamos en cruz para quitar denominadores:

7·(x+2) = (x-2)·(2x-7)

Aplicamos la propiedad distributiva en ambos miembros:

2x^2 – 7x -4x + 14 = 7x +14

Reducimos la expresión obtenida agrupando y ordenando, obteniendo una ecuación incompleta de 2º grado.

2x^2 -18x = 0 ;

Simplificamos la ecuación polinómica y sacamos factor común:

x^2 – 9x = 0 ;

x·(x- 9) = 0

Obtenemos las siguientes soluciones, x = 0 y x = 9. Si comprobamos en la ecuación inicial, observamos que la solución x = 0 no es válida, mientras que la solución x = 9 es correcta.

 Ejemplo #2 | log x + log (x+3) = 2·log (x+1). María Gómez Marín. 

Colocamos todos los logaritmos en el miembro de la izquierda:

log x + log (x+3) - 2·log (x+1) = 0

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

log [ x·(x+3) / (x+1)^2 ] = 0

Desarrollamos la identidad notable del denominador y aplicamos la definición de logaritmo para transformarlo en potencia:

(x^2 + 3x) / (x^2 + 2x + 1) = 10^0;

(x^2 + 3x) / (x^2 + 2x + 1) = 1;

x^2 + 3x = x^2 + 2x + 1;

3x = 2x + 1

Pasamos todos los términos en "x" al miembro de la izquierda:

3x - 2x = 1

Obtenemos una única solución que es x = 1 y al comprobarla vemos que es correcta.

  Ejemplo #3 | log (x^2 - 4x + 3) = log (3 - 2x). María Gómez Marín. 

Cuando dos logaritmos que poseen la misma base son iguales, necesariamente deben tener el mismo argumento. Tras agrupar y ordenar se logra la siguiente ecuación:

x^2 - 4x + 3 = 3 - 2x;

x^2 -2x = 0;

x·(x-2) = 0

Si el producto de dos números es cero se debe a que uno de ellos es 0, por tanto, conseguimos dos soluciones, x = 0, y x = 2. Al comprobarlas en la ecuación original vemos que x = 0 es la única solución válida, ya que al sustituir por x = 2, los argumentos de ambos logaritmos salen negativos. No existen logaritmos en base positiva de números negativos.

Ecuaciones logarítmicas (5)

A continuación podéis ver varios ejemplos resueltos por Rafael Arribas Barrios y Carlos Gálvez Álamo sobre ecuaciones logarítmicas. Muchas gracias por vuestra colaboración, Rafael y Carlos.

 Ejemplo #1 | log2 (x+5) + log2 (11-x) = 6. Rafael Arribas Barrios. 

En primer lugar, debemos de agrupar todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión:

log2 [(x+5)·(11-x)] = 6

A continuación transformamos la expresión en una potencia aplicando la definición de logaritmo:

(x+5)·(11-x) = 2^6

Tras realizar la operación de producto de polinomios de la izquierda, la potencia de la derecha, agrupar y ordenar, obtenemos una operación polinómica de 2º grado:

x^2 - 6x + 9 = 0

Obtenemos una solución doble para esta ecuación, que es x = 3. Tras comprobarla en la ecuación original observamos que la solución es válida.

 Ejemplo # 2 | log3 (x+2) + log3 (x-4) = 3. Rafael Arribas Barrios. 

Debemos expresar el número 3 en forma de logaritmo, con el fin de tener logaritmos en ambos miembros. 

log3 [ (x+2)·(x-4) ] = log3 (3^3)

Tras realizar la operación de producto de polinomios de la izquierda y la potencia de la derecha, igualamos los argumentos de ambos logarítmos. Obtenemos una ecuación polinómica de 2º grado:

x^2 - 2x - 35 = 0

Obtenemos dos soluciones para esta ecuación, x = 7 y x = -5 de las cuales solo el x = 7 verifica la ecuación original.

 Ejemplo # 3 | log (x^3) = 3 + 3·log 5. Carlos Gálvez Álamo.  

Para comenzar, debemos darnos cuenta de que el número 3 lo podemos expresar como el logaritmo en base 10 de 1000. El factor 3 que multiplica al log5 lo pasamos como exponente del argumento.

log x^3 = log 1000 + log (5^3)

Después, calcuamos la potencia 5^3 = 125 y agrupamos ambos logaritmos:

log x^3 = log 1000 + log 125
log x^3 = log (1000·125)

Al tener una igualdad de dos logaritmos en la misma base, sus argumentos son necesariamente iguales:

x^3 = 125000

Para resolver esa ecuación polinómica de 3er grado, calculamos la raíz cúbica del miembro de la derecha. Resolvemos la ecuación y nos sale como posible solución x = 50. Si lo comprobamos en la ecuación original, vemos que es correcta.

Los logaritmos y sus propiedades

El siguiente ejemplo nos va a servir para repasar las propiedades de los logaritmos vistas en la unidad 1. Debemos agradecérselo a nuestro compañero Francisco Bérchez Moreno.

 Ejemplo #1 | Desarrolla: log [ x^2 · y^3 · ³√z / 1000 ] 

Para desarrollar este logaritmo aplicaremos las propiedades de los logaritmos. Cuando los términos del argumento del logaritmo aparecen multiplicando se transforman en suma, y los que están dividiendo, en diferencia. Así:

log (x^2) + log (y^3) + log (z^1/3) - 3

Esta sería la manera de desarrollar el logaritmo. Además, en esta fase final, hemos sacado  los exponentes de las letras y los hemos puesto como coeficientes de los logaritmos, en el caso de la raíz cúbica de z hemos puesto por coeficiente 1/3, ya que la raíz cúbica de z equivale a elevar z a un 1/3. El término 3 procede del logaritmo en base 10 de 1000, y se escribe restando, puesto que en el argumento aparecía dividiendo:

2log x + 3log y + 1/3 log z - 3

 Ejemplo #2 | Desarrolla: log2 ( y^2 · z^4 · 32 / ³√ x ) 

Para desarrollar este logaritmo aplicaremos de nuevo las propiedades de los logaritmos:

2log2y + 4log2z + 5log22 - (1/3 log2x)

Los exponentes de las letras los hemos puesto como coeficientes de los logaritmos. El  término 5·log22 procede de la descomposición factorial de 32 (2^5). Por eso el exponente 5 se extrae como coeficiente del logaritmo. En el caso de la raíz cúbica de x, la hemos expresado como x^1/3, puesto que la raiz cúbica de 3 es los mismo que elevar "x". Ese exponente 1/3 se extrae como coeficiente del logaritmo de "x". Además, como log22 = 1, obtenemos:

2log2y + 4log2z + 5 - (1/3 log2x)

Ecuaciones logarítmicas (4)

Los siguientes ejemplos han sido elaborados por nuestros compañeros Clara de Quinto Saco, Ana Montes Gómez y Antonio Morcillo. Muchas gracias, seguro que resultarán útiles al grupo.

 Ejemplo #1 | log(x+6) = 1 + log(x-3). Clara de Quinto Saco. 

Pasamos todos los logaritmos al miembro de la izquierda y los agrupamos en un único logaritmo:

log(x+6) – log(x-3) = 1;

log[(x+6) / (x-3)] = 1

Transformamos la ecuación logarítmica en una potencia aplicando la definición de logaritmo:

( a^b = c ↔ logac = b )

(x+6) / (x-3) = 10

Pasamos el binomio del denominador al miembro de la derecha:

x + 6 = 10·(x-3)

Aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos una ecuación de 1er grado. Pasamos todos los miembros de la ecuación que contengan "x" a la izquierda y los números a la derecha:

x + 6 = 10x - 30;

x - 10x = -30 - 6;

-9x = -36

Obtenemos una única solución, x = 4, que tras llevarla a la ecuación original, vemos que es válida.

 Ejemplo #2 | log(7x+15) - log5 = 1. Ana Montes Gómez. 

Agrupamos todos los logaritmos de la izquierda en una sola expresión:

log[ (7x+15) / 5 ] = 1

Transformamos la expresión en una potencia mediante la definición de logaritmo:

(7x+15) / 5 = 10^1

Pasamos el denominador multiplicando a la derecha, logrando una ecuación de 1er grado:

7x + 15 = 50;

7x = 35

De esa ecuación obtenemos como única solución x = 5. Tras llevarla a la ecuación original, vemos que es válida.

 Ejemplo #3 | log x + log (x+3) = 2 log (x+1). Antonio Morcillo. 

En el primer miembro aplicamos la propiedad que transforma la suma de los logaritmos en un único logaritmo, cuyos argumentos están multiplicando. En el de la derecha, la propiedad del logaritmo de una potencia. Así:

log [ x·(x+3) ] = log [ (x+1)^2 ]

Igualamos los argumentos, obteniendo una ecuación polinómica de 1er grado (aunque aparentemente sea de 2º):

x·(x+3) = (x+1)^2;

x^2 + 3x = x^2 + 2x + 1

Alcanzamos una única solución, x = 1, que verifica la ecuación logarítmica original.

Sistemas de ecuaciones no lineales (4)

A continuación incluimos otro ejemplo más sobre sistemas de ecuaciones no lineales. Debemos agradecer su aportación a uno de nuestros compañeros, Carlos Pérez Aguilar, que ha hecho un muy buen trabajo.

 Ejemplo #1 | 2x - y = -1 ; y^2 - 2x^2 = 7 

Vamos a resolver este sistema por sustitución. Para ello despejamos la incognita "y" en la 1ª ecuación:

 y = 1 + 2x 

Sustituimos en la 2ª ecuación, teniendo en cuenta que aparece una identidad notable:

(1 + 2x)^2 - 2x^2 = 7

1 + 4x + 4x^2 - 2x^2 = 7

Agrupamos y ordenamos, obteniendo una ecuación de 2º grado, que también vamos a simplificar:

2x^2 + 4x - 6 = 0;

x^2 + 2x - 3 = 0

Aplicamos la fórmula de la ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones de la incógnita "x". Con dichas soluciones obtenemos las correspondientes soluciones de "y":

• x1 = 1 ; y1 = 3
• x 2= -3 ; y2 = -5

Para finalizar, tenemos que comprobar esas dos parejas de soluciones en las ecuaciones originales. Ambas son válidas.

Ejercicios de repaso de la Unidad 3

En el siguiente enlace podréis encontrar una colección de ejercicios de repaso de la Unidad 3.

Ejercicios de Repaso de la Unidad 3

Ecuaciones logarítmicas (3)

A continuación vamos a mostrar algunos de los ejemplos elaborados por vuestros compañeros. En concreto, la autora de estos dos primeros ejemplos es Clara Vélez Martínez, que ha hecho un magnífico trabajo.

 Ejemplo #1 | log2x + log2(x+3) = 2·log2(x+1). Clara Vélez Martínez. 

En el primer miembro aplicamos la propiedad que transforma la suma de dos logaritmos en el logaritmo del producto. En el segundo miembro, el coeficiente se introduce como el exponente del argumento:

log2[x·(x+3)] = log2[(x+1)^2]

Podemos prescindir de los logaritmos e igualar sus argumentos. En el segundo miembro nos queda una identidad notable (cuadrado de una suma). Desarrollamos:

x^2 + 3x = x^2 + 2x + 1

Pasamos todo a uno de los miembros e igualamos a cero:

x^2 + 3x - x^2 - 2x - 1 = 0

Como los términos de 2º grado se anulan, nos queda una ecuación lineal o de 1er grado:

x - 1 = 0

Obtenemos una unica solución, x = 1. Si la comprobamos en la ecuación original vemos que es válida.

 Ejemplo #2 | log10(16 - x^2) / log10(3x - 4) = 2. Clara Vélez Martínez. 

Pasamos el denominador del primer miembro como factor al 2º miembro:

log10(16 - x^2) = 2·log10(3x - 4)

En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia y, a continuación, igualamos los argumentos:

16 - x^2 = (3x - 4)^2

Realizamos la identidad notable del 2º miembro (cuadrado de una diferencia):

16 - x^2 = 9x^2 - 24x + 16

Pasamos todos los términos a un miembro y agrupamos. Nos queda una ecuación incompleta de 2º grado en la que falta el término independiente:

10x^2 - 24x = 0

Sacamos factor común 2x para obtener las dos soluciones:

2x·(5x - 12) = 0

• 2x = 0 ==> x = 0
• 5x - 12 = 0; 5x = 12; x = 12/5

Tenemos dos soluciones de las cuales solo x = 12/5 es válida, ya que si sustituimos en la ecuación original nos aparece en el denominador el logaritmo de un número negativo.

Sistemas de ecuaciones no lineales (3)

Los sistemas de ecuaciones no lineales, al igual que los sistemas lineales, pueden ser resueltos mediante representación gráfica. Para ello, es necesario tener cierta destreza a la hora de transformar nuestras ecuaciones en funciones explícitas, es decir, funciones en las que aparece despejada la variable "y".

Sólo en algunos casos, dicha representación gráfica será un proceso sencillo. En la mayoría de las ocasiones vamos a enfrentarnos a funciones que no sabemos representar con las herramientas matemáticas de las que disponemos en este nivel.

Sin embargo, existe una infinidad de aplicaciones, sea cual sea la plataforma que utilicemos (web, Windows, Mac, Android, Linux...), que permiten representar gráficamente cualquier función con solo introducir su expresión. La inmensa mayoría de ellas incluso nos permite representar simultáneamente varias funciones en una misma gráfica, lo cual es perfecto para encontrar su intersección.

En esta entrada del blog vamos a centrarnos en el buscador de Google, ya que, si expresamos adecuadamente nuestros términos de búsqueda, se convierte en una herramienta de representación gráfica tremendamente potente. Al margen de esto, resulta una herramienta multiplataforma, puesto que podemos hacer uso de ella desde nuestro ordenador (portátil o sobremesa), tablet, móvil o incluso smart TV. Es más, no importa qué navegador estemos usando (Firefox, Chrome, Safari, Explorer...).

 Ejemplo #1 | 3xy + x = 7 ; x + 2y = 5 

Como hemos mencionado, vamos a resolver este sistema por el método gráfico. Para ello debemos multiplicar despejar la incógnita "y" en ambas ecuaciones, transformándolas así en funciones explícitas:

 y = ( 5 - x ) / 2 
 y = ( 7 - x ) / 3x 

Si queremos representar gráficamente ambas funciones usando Google, solamente tenemos que escribir en el cuadro de búsqueda esas dos expresiones separadas por una coma tal y como mostramos en el cuadro verde:

El resultado de nuestra representación gráfica son dos funciones que podemos distinguir porque aparecen con colores diferentes. En este caso, hay dos intersecciones y, por tanto, dos parejas de soluciones. Para expresarlas correctamente, sería recomendable hacer zoom sobre cada una de ellas y anotar las coordenadas "x" e "y" de ambos puntos.

Este método tiene un inconveniente, puesto que si las soluciones son números que no coinciden con una división de los ejes, solamente podremos obtener una aproximación de la misma. Para obtener las soluciones exactas no hay que emplear los otros métodos.

Si seguimos el método de sustitución para resolver este mismo sistema de ecuaciones no lineal alcanzamos dos soluciones también:

• x1 = 1 ; y1 = 2
• x2 = 14/3 ; y2 =1/6

Una vez llevadas al sistema de ecuaciones original, comprobamos que ambas parejas de soluciones son válidas.

Sistemas de ecuaciones no lineales (2)

En una de las entradas anteriores sobre sistemas de ecuaciones no lineales se resolvieron un par de ejemplos en los que utilizamos el método de sustitución. La mayoría de los casos solamente pueden ser resueltos de esta manera.

Sin embargo, algunos sistemas se pueden resolver mediante reducción. Para ello es necesario que las incógnitas aparezcan elevadas al mismo exponente en ambas ecuaciones y que todos los monomios estén separados por signos + o -.

 Ejemplo #1 | x^2 + 2y^2 = 9 ; 2x^2 + y^2 = 6 

Como hemos mencionado, vamos a resolver este sistema  por el método de reducción. Para ello debemos multiplicar una ecuación por un número, la otra por otro número (si fuera necesario) y posteriormente sumar o restar las ecuaciones resultantes.

En nuestro caso, vamos a multiplicar la primera ecuación  por (-2):

-2x^2 - 4y^2  = -18

 2x^2 + y^2   =  6       + 

-----------------------------

    /      -3y^2 = -12

Tras simplificar la ecuación por -3, obtenemos una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"):

y^2 = 4

Tomamos la raíz cuadrada y se logran dos soluciones distintas para la variable "y". Con esas soluciones, debemos obtener los valores correspondientes de "x". Es necesario despejar esa variable en alguna de las ecuaciones originales:

 x = sqrt ( 9 - 2y^2 ) 

Conseguimos las siguientes parejas de soluciones:

• x1 = -2 ; y1 = -1
• x2 = -2 ; y2 = 1
• x3 = 2 ; y3 = -1
• x4 = 2 ; y4 = 1

Debemos comprobar las cuatro parejas de soluciones en el sistema de ecuaciones original. Vemos que todas son soluciones válidas.

 Ejemplo #2 | x^2 + 5y^2 = 29 ; 3x^2 - y^2 = 23 

Vamos a resolver este sistema  por el método de reducción. Para ello multiplicaremos la segunda ecuación por 5 para eliminar la variable "y":

    x^2 + 5y^2  = 29

15x^2  - 5y^2  = 115       + 

--------------------------------

16x^2       /      = 144

Tras simplificar la ecuación por 16, obtenemos una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"):

x^2 = 9

Tomamos la raíz cuadrada y se logran dos soluciones distintas para la variable "x". Con esas soluciones, debemos obtener los valores correspondientes de "y". Es necesario despejar esa variable en alguna de las ecuaciones originales:

 y = sqrt ( 3x^2 - 23 ) 

Conseguimos las siguientes parejas de soluciones:

• x1 = -3 ; y1 = -2
• x2 = -3 ; y2 =2
• x3 = 3 ; y3 = -2
• x4 = 3 ; y4 =2

Debemos comprobar las cuatro parejas de soluciones en el sistema de ecuaciones original. Vemos que todas son soluciones válidas.

Ejercicios de repaso de la Unidad 2

En el siguiente enlace podréis encontrar una colección de ejercicios de repaso de la Unidad 2.

Ejercicios de Repaso de la Unidad 2