Ecuaciones logarítmicas (7)

Estos son los ejemplos con los que han contribuido algunos de nuestros compañeros. Espero que os sirvan de ayuda.

 Ejemplo #1 | log (x^3) - 2 log (x) = log (10). Paula Bonilla. 

En primer lugar pasamos el coeficiente 2, que multiplica al logaritmo de x, al exponente del argumento de ese mismo logaritmo:

log (x^3) - log (x)^2 = log 10

Seguidamente, hallamos el valor del miembro de la derecha, y agrupamos todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión:

log (x^3/ x^2) = 1

A continuación, simplificamos el cociente dentro del argumento del logaritmo:

log x = 1

Finalmente, transformamos la expresión aplicando la definición de logaritmo:

10^1 = x

Nos ha salido como posible solución x = 10, y comprobándola en la ecuación original, nos ha salido como solución correcta.

 Ejemplo #2 | log2 (5+x) + log2 (3x+7) = 7. Paula Bonilla. 

Primero agrupamos todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión:

log2 [ (5+x)·(3x+7) ] = 7

A continuación aplicamos la propiedad distributiva dentro del argumento:

log2 [3x^2 + 22x + 35] = 7

Seguidamente transformamos la expresión aplicando la definición de logaritmo:

3x^2 + 22x + 35 = 2^7

Después dejamos el miembro de la derecha como cero y logramos una ecuación de 2º grado:

3x^2 + 22x - 93 = 0

Conseguimos dos soluciones: x = 3 y x = -31/3. Tras llevar ambas a la ecuación original, comprobamos que solamente x = 3 es válida. Al llevar la otra solución a la ecuación logarítmica obtenemos el logaritmo de un número negativo, por lo que no es válida.

 Ejemplo #3 | log 2 + log (11 - x^2) = 2·log (5-x). José Antonio Casares. 

Agrupamos los logaritmos de la izquierda en un único logaritmo:

log [ 2·(11 x^2) ] = log [ (5-x)^2 ]

Igualamos los argumentos:

2·(11-x^2) = (5-x)^2

Desarrollamos el cuadrado de la diferencia del miembro de la derecha y aplicamos la propiedad distributiva en el de la derecha:

22 - 2x^2 = 25 - 10x + x^2

Pasamos todos los términos al miembro de la derecha y conseguimos una ecuación polinómica de 2º grado:

0 = 3x^2 - 10x + 3

 

Los resultados de la ecuación de segundo grado son x = 3 y x = 1/3. Ambas soluciones cumplen la ecuación original.