Ecuaciones logarítmicas (5)

A continuación podéis ver varios ejemplos resueltos por Rafael Arribas Barrios y Carlos Gálvez Álamo sobre ecuaciones logarítmicas. Muchas gracias por vuestra colaboración, Rafael y Carlos.

 Ejemplo #1 | log2 (x+5) + log2 (11-x) = 6. Rafael Arribas Barrios. 

En primer lugar, debemos de agrupar todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión:

log2 [(x+5)·(11-x)] = 6

A continuación transformamos la expresión en una potencia aplicando la definición de logaritmo:

(x+5)·(11-x) = 2^6

Tras realizar la operación de producto de polinomios de la izquierda, la potencia de la derecha, agrupar y ordenar, obtenemos una operación polinómica de 2º grado:

x^2 - 6x + 9 = 0

Obtenemos una solución doble para esta ecuación, que es x = 3. Tras comprobarla en la ecuación original observamos que la solución es válida.

 Ejemplo # 2 | log3 (x+2) + log3 (x-4) = 3. Rafael Arribas Barrios. 

Debemos expresar el número 3 en forma de logaritmo, con el fin de tener logaritmos en ambos miembros. 

log3 [ (x+2)·(x-4) ] = log3 (3^3)

Tras realizar la operación de producto de polinomios de la izquierda y la potencia de la derecha, igualamos los argumentos de ambos logarítmos. Obtenemos una ecuación polinómica de 2º grado:

x^2 - 2x - 35 = 0

Obtenemos dos soluciones para esta ecuación, x = 7 y x = -5 de las cuales solo el x = 7 verifica la ecuación original.

 Ejemplo # 3 | log (x^3) = 3 + 3·log 5. Carlos Gálvez Álamo.  

Para comenzar, debemos darnos cuenta de que el número 3 lo podemos expresar como el logaritmo en base 10 de 1000. El factor 3 que multiplica al log5 lo pasamos como exponente del argumento.

log x^3 = log 1000 + log (5^3)

Después, calcuamos la potencia 5^3 = 125 y agrupamos ambos logaritmos:

log x^3 = log 1000 + log 125
log x^3 = log (1000·125)

Al tener una igualdad de dos logaritmos en la misma base, sus argumentos son necesariamente iguales:

x^3 = 125000

Para resolver esa ecuación polinómica de 3er grado, calculamos la raíz cúbica del miembro de la derecha. Resolvemos la ecuación y nos sale como posible solución x = 50. Si lo comprobamos en la ecuación original, vemos que es correcta.