Hasta ahora, los sistemas de ecuaciones no lineales vistos en las entradas anteriores de este blog contenían solamente ecuaciones algebraicas. Cuando en alguna de las ecuaciones del sistema (o en ambas) aparece alguna expresión exponencial o logarítmica, el sistema de ecuaciones dejará automáticamente de ser lineal.
A la hora resolverlos disponemos de diferentes métodos. En cada caso nos tendremos que adaptar a la forma que presenten las ecuaciones. A lo largo de los siguientes ejemplos intentaremos analizar varios sistemas de ecuaciones exponenciales y optar por el método más adecuado.
Ejemplo #1 | 2^x + 5^y = 9, 2^(x+2) - 5^(y-1) = 15
Para comenzar, aplicaremos las propiedades de las potencias para dejar las expresiones exponenciales en la forma más simple posible. Así:
2^x + 5^y = 9
2^x·2^2 - 5^y/5 = 15
A continuación vamos a aplicar un doble cambio de variable, a = 2^x y b = 5^y, de modo que tras introducir ese cambio obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:
a + b = 9
4a - b / 5 = 15
Para resolver este sistema vamos a eliminar el denominador de la segunda ecuación multiplicando por 5. El sistema resultante puede ser resuelto directamente por reducción:
a + b = 9
20a - b = 75 +
------------------------
21a = 84
Se consigue una solución, a = 4. Si sustituimos en la primera ecuación y despejamos "b" logramos la solución correspondiente b = 5.
Para concuir el ejemplo es necesario deshacer los dos cambios de variable:
- Si a = 4 → 2^x = 4 → 2^x = 2^2 → x = 2
- Si b = 5 → 5^y = 5 → 5^y = 5^1 → y = 1
Por tanto, hemos obtenido una pareja de soluciones, x = 2 e y = 1, que verifican las dos ecuaciones del sistema original.
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