En una de las entradas anteriores sobre sistemas de ecuaciones no lineales se resolvieron un par de ejemplos en los que utilizamos el método de sustitución. La mayoría de los casos solamente pueden ser resueltos de esta manera.
Sin embargo, algunos sistemas se pueden resolver mediante reducción. Para ello es necesario que las incógnitas aparezcan elevadas al mismo exponente en ambas ecuaciones y que todos los monomios estén separados por signos + o -.
Sin embargo, algunos sistemas se pueden resolver mediante reducción. Para ello es necesario que las incógnitas aparezcan elevadas al mismo exponente en ambas ecuaciones y que todos los monomios estén separados por signos + o -.
Ejemplo #1 | x^2 + 2y^2 = 9 ; 2x^2 + y^2 = 6
Como hemos mencionado, vamos a resolver este sistema por el método de reducción. Para ello debemos multiplicar una ecuación por un número, la otra por otro número (si fuera necesario) y posteriormente sumar o restar las ecuaciones resultantes.
En nuestro caso, vamos a multiplicar la primera ecuación por (-2):
-2x^2 - 4y^2 = -18
2x^2 + y^2 = 6 +
-----------------------------
/ -3y^2 = -12
Tras simplificar la ecuación por -3, obtenemos una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"):
Tomamos la raíz cuadrada y se logran dos soluciones distintas para la variable "y". Con esas soluciones, debemos obtener los valores correspondientes de "x". Es necesario despejar esa variable en alguna de las ecuaciones originales:
Conseguimos las siguientes parejas de soluciones:
Tras simplificar la ecuación por 16, obtenemos una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"):
Tomamos la raíz cuadrada y se logran dos soluciones distintas para la variable "x". Con esas soluciones, debemos obtener los valores correspondientes de "y". Es necesario despejar esa variable en alguna de las ecuaciones originales:
Conseguimos las siguientes parejas de soluciones:
Tras simplificar la ecuación por -3, obtenemos una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"):
y^2 = 4
Tomamos la raíz cuadrada y se logran dos soluciones distintas para la variable "y". Con esas soluciones, debemos obtener los valores correspondientes de "x". Es necesario despejar esa variable en alguna de las ecuaciones originales:
x = sqrt ( 9 - 2y^2 )
Conseguimos las siguientes parejas de soluciones:
- x1 = -2 ; y1 = -1
- x2 = -2 ; y2 = 1
- x3 = 2 ; y3 = -1
- x4 = 2 ; y4 = 1
Ejemplo #2 | x^2 + 5y^2 = 29 ; 3x^2 - y^2 = 23
Vamos a resolver este sistema por el método de
reducción. Para ello multiplicaremos la segunda ecuación por 5 para eliminar la variable "y":
x^2 + 5y^2 = 29
15x^2 - 5y^2 = 115 +
--------------------------------
16x^2 / = 144Tras simplificar la ecuación por 16, obtenemos una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"):
x^2 = 9
Tomamos la raíz cuadrada y se logran dos soluciones distintas para la variable "x". Con esas soluciones, debemos obtener los valores correspondientes de "y". Es necesario despejar esa variable en alguna de las ecuaciones originales:
y = sqrt ( 3x^2 - 23 )
Conseguimos las siguientes parejas de soluciones:
- x1 = -3 ; y1 = -2
- x2 = -3 ; y2 =2
- x3 = 3 ; y3 = -2
- x4 = 3 ; y4 =2
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