Ecuaciones polinómicas

Las ecuaciones polinómicas son aquellas en las que a ambos lados del signo igual solamente aparecen expresiones polinómicas, sean del grado que sean. El grado de la ecuación vendrá marcado por el monomio de mayor grado.

A la hora de resolverlas podemos usar distintos métodos (fórmula de la ecuación de 2º grado, regla de Ruffini, sacar factor común, identidades notables, cambio de variable, etc.). El método a elegir dependerá del tipo y la dificultad de la ecuación, aunque en muchos casos se podrá o deberá emplear más de un método diferente. 

Ejemplo#1 | x^3 - 4x = 0.

Para resolver esta ecuación de 3er grado deberíamos aplicar la regla de Ruffini. Sin embargo, al no tener término independiente, debemos sacar factor común:

x·(x^2 - 4) = 0

Por tanto, para que ese producto dé cero, debe ser cero alguno de los dos factores que lo componen:

x = 0;

x^2 - 4 = 0;

La primera expresión directamente nos dice que x = 0 debe ser solución de nuestra ecuación. En la segunda, nos aparece una ecuación de 2º grado incompleta (falta "b"). Tras resolverla, se obtienen dos soluciones: x = -2 y x = +2.Tras comprobar las tres soluciones en la ecuación original, vemos que son válidas.

Ejemplo#2 | x^4 - 6x^2 + 5 = 0.

Para resolver esta ecuación de 4º grado podríamos aplicar la regla de Ruffini, ya que posee término independiente. Los posibles divisores de dicho término son únicamente 1 y 5 (tomando ambos signos, + y -).

Sin embargo, la ecuación anterior pertenece a un grupo de ecuaciones conocidas como ecuaciones bicuadradas, ya que el exponente de mayor grado es el doble del menor. Para resolverlas se aplica un método llamado cambio de variable, que consiste en introducir una nueva incógnita que reemplace a la potencia de menor grado. En nuestro caso, el cambio será t = x^2. Así la ecuación queda:

t^2 - 6t + 5 = 0

Al aplicar la fórmula de la ecuación de 2º grado obtenemos dos soluciones: t = 5 y t = 1. No obstante, esas soluciones no son las soluciones de la ecuación original, planteada con la variable "x".

Para finalizar cualquier ecuación donde se haya aplicado un cambio de variable es necesario deshacer el cambio y volver a la incógnita inicial. Debido a esto, al final de este tipo de ecuaciones razonaremos lo siguiente: si t = x^2, entonces x = sqrt(t)

• si t = 1 -> x = sqrt(1) -> x = -1 y x = +1
• si t = 5 -> x = sqrt(5) -> x = -sqrt(5) y x = +sqrt(5)

Hemos obtenido las cuatro soluciones de una ecuación de 4º grado. Resulta interesante comentar que por el método de Ruffini solamente habríamos encontrado las soluciones +1 y -1. Las otras dos soluciones sólo podríamos haberlas logrado haciendo la ecuación de 2º grado obtenida tras dividir por Ruffini.