Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son aquellas ecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente de una o más potencias. Para resolverlas, como en los demás tipos de ecuaciones, es necesario transformarlas en una ecuación polinómica. En dicha transformación debemos seguir una serie de pasos muy concretos. Resulta fundamental, nuevamente, comprobar los resultados obtenidos en la ecuación original.

 Ejemplo #1 | 2^(3x+1) = 16 

Para resolver esta ecuación debemos, en primer lugar, tratar de expresar el término de la derecha como una potencia que tenga la misma base que el de la izquierda. En este caso, 2^4 = 16. Si no fuera posible, como veremos otro ejemplo más adelante, aplicaremos la definición de logaritmo. Para nuestro caso, la ecuación queda:

2^(3x+1) = 2^4

A continuación, vamos a aplicar un razonamiento bien sencillo: si dos potencias son iguales y poseen la misma base, necesariamente, deben tener también el mismo exponente. Así obtenemos que:

3x + 1 = 4

La ecuación obtenida es una ecuación polinómica de 1er grado y muy fácil de resolver:

3x = 3 -> x = 1

Se logra una única solución: x = 1. Tras llevarla a la ecuación original, vemos que es válida.

 Ejemplo #2 | 2^(5x) = 3 

Para resolver esta ecuación, en primer lugar, debemos de expresar el término de la derecha como una potencia que tenga la misma base que el de la izquierda. En este caso no es posible, ya que 3 no es una potencia del número 2. Por tanto, no nos queda otra opción que aplicar la definición de logaritmo. Para nuestro caso, la ecuación queda:

2^(5x) = 3 -> 5x = log2(3)

La ecuación resultante es, pese a aparecer una expresión logarítmica, una ecuación polinómica de 1er grado. Despejamos "x" y obtenemos que:

x = log2(3) / 5

Es preferible dejar la solución con ese aspecto a realizar la operación en la calculadora para expresarla en forma decimal. Se logra una única solución: x = log2(3) / 5. Tras llevarla a la ecuación original (usando la calculadora) veremos que es válida.