Ecuaciones exponenciales (7)

Estos son más ejemplos aportados por algunos de nuestros compañeros. Seguro que nos sirven de ayuda.

 Ejemplo #1 | 2^(x+1) - 5·2^x + 3 = 0. Marta Pérez Páez. 

Aplicamos las propiedades de las potencias dejando las expresiones exponenciales lo más simples posibles.

2^x·2 - 5·2^x + 3 = 0

 
Para resolverla, necesitamos hacer un cambio de variable. El cambio de varible es t = 2^x. La ecuación queda así:

2t - 5t + 3 = 0

Haciendo esta ecuación obtenemos una solución, t = 1. Deshacemos el cambio de variable, por lo que alcanzamos una solución, x = 0, que verifica la ecuación original.

 Ejemplo #2 | 5^x + 5^(x+1) + 5^(x+2) = 775. Ángel Iniesta Valcárcel. 

Primero usamos las propiedades de las potencias para que en los exponentes solo aparezca "x":

5^x + 5^x·5 + 5^x ·5^2 = 775

Ahora hacemos el cambio de variable u = 5^x y sustituimos:

u + 5u + 25u = 775;

31u = 775

Encontramos una solución para u = 25. Deshacemos el cambio de variable:

• Si u = 25 ==> 5^x = 25 ==> 5^x = 5^2 ==> x = 2

Esa solución, x = 2, es válida porque cumple la ecuación original.

 Ejemplo #3 | 2^(x+1) + 2^x + 2^(x-1) = 14. David Benavente Tobajas. 

Lo primero que hay que hacer es conseguir que todas las exponenciales queden lo más sencillas posible para luego hacer el cambio de variable z = 2^x:

2^x·2 + 2^x + 2^x / 2 = 14;

2z + z + 2 / z = 14

Quitamos denominadores y conseguimos una ecuación de 1er grado en "z":

4z + 2z + z = 28;

7z = 28

Obtenemos una solución, z = 4. Al deshacer el cambio:

• Si z = 4 ==> 2^x = 4 ==> 2^x = 2^2 ==> x = 2

Esa solución única, x = 2, es válida porque verifica la ecuación original.