Las ecuaciones que poseen alguna de sus incógnitas en el argumento de un logaritmo se denominan ecuaciones logarítmicas. Para resolverlas será necesario aplicar las propiedades de los logaritmos o la expresión que nos transforma logaritmos en potencias. El objetivo es convertir nuestra ecuación en una ecuación polinómica. No debemos olvidar que al finalizar el ejercicio siempre debemos comprobar nuestras soluciones en la ecuación original, ya que alguna de ellas puede no ser válida.
Recordemos las propiedades que resultarán más útiles:
- logab + logac = loga(b · c)
- logab - logac = loga(b : c)
- n·logab = loga[(b) ^n]
- loga1 = 0 ; logaa = 1
Por otra parte, la expresión que nos permite relacionar potencias y logaritmos es:
- a^b = c <====> logac = b
En general, cuando resulte complicado trabajar con una expresión logarítmica, al transformarla en una potencia obtendremos una expresión más sencilla y viceversa.
Ejemplo #1 | log2(x+6) + log2(x-1) = 3
En primer lugar, debemos agrupar todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión. Para ello aplicaremos aplicaremos las propiedades citadas anteriormente.
log2[(x+6)·(x-1)] = 3
A continuación, vamos a transformar la expresión en una potencia:
(x+6)·(x-1) = 2^3
Tras operar el producto de polinomios de la izquierda y calcular la potencia de la derecha, obtenemos una ecuación polinómica de 2º grado:
x^2 + 5x - 14 = 0
Obtenemos dos soluciones para esta ecuación, que son x = 2 y x = -7. Tras comprobarlas en la ecuación original solamente x = 2 es válida. Para x = -7 nos encontramos con que ninguna de las dos expresiones logarítmicas se pueden calcular, ya que no existe el logaritmo (en base positiva) de números negativos.
En primer lugar, debemos agrupar todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión. Para ello aplicaremos aplicaremos las propiedades citadas anteriormente.
log3[(2x+7)/x] = 2
Obtenemos una solución para esta ecuación, x = 1. Tras llevarla a la ecuación original comprobamos que es válida.
Ejemplo #2 | log3(2x+7) - log3(x) = 2
En primer lugar, debemos agrupar todos los logaritmos del miembro de la izquierda en una sola expresión. Para ello aplicaremos aplicaremos las propiedades citadas anteriormente.
log3[(2x+7)/x] = 2
A continuación, vamos a transformar la expresión en una potencia:
(2x+7)/x = 3^2
Tras hacer el MCM obtenemos una ecuación de 1er grado:
2x + 7 = 9x
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