Ecuaciones polinómicas (3)

Estos son más ejemplos aportados por nuestros compañeros sobre ecuaciones polinómicas. Se trata de dos ecuaciones bicuadradas.

 Ejemplo #1 | x^4 - 13x^2 + 36 = 0. María Campos Gómez. 

En primer lugar debemos fijarnos en el grado de la ecuación, en este caso es de grado 4. Como es una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x^2; t^2 = x^4. Así conseguimos una ecuación de 2º grado en "t":

t^2 - 13t + 36 = 0

Ahora realizamos la ecuación de segundo grado mediante su fórmula. Obtenemos dos soluciones, t = 9 y t = 4 . Debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = ±3
• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = ±2

Obtenemos cuatro soluciones reales para una ecuación de 4º grado, que son x = 2, x = -2, x = 3, x = -3.

 Ejemplo #2 | x^4 - 5x^2 - 36 = 0. María Campos Gómez. 

Se trata de otra ecuación bicuadrada. Resolvemos por el mismo método del ejemplo anterior. Hacemos el cambio de variable t = x^2:

t^2 - 5t - 36 = 0

Ahora realizamos la ecuación de segundo grado mediante su fórmula. Obtenemos dos soluciones, t = 9 y t = -4. Debemos deshacer el cambio de variable:

• Si t = 9 ==> x = sqrt(9) ==> x = ±3
• Si t = -4 ==> x = sqrt(-4) ==> No tiene solución.

Obtenemos dos soluciones reales para una ecuación de 4º grado, que son x = 3 y x = -3. Las otras dos soluciones son no reales (NR).

 Ejemplo #3 | 3x^4 - 15x^2 + 36 = 0. María Ángeles Castro Luque. 

Se trata de otra ecuación bicuadrada. En primer lugar simplificamos la ecuación por 3 para conseguir coeficientes más sencillos. Resolvemos por el mismo método del ejemplo anterior. Hacemos el cambio de variable t = x^2:

x^4 - 5x^2 + 12 =0;
t^2 - 5t + 4 = 0

La ecuación obtenida puede ser resuelta mediante la fórmula de la ecuación de 2º grado. Alcanzamos dos soluciones, t = 4 y t = 1. Para encontrar la solución en "x" es necesario deshacer el cambio de variable:

• Si t = 4 ==> x = sqrt(4) ==> x = ±2
• Si t = 1 ==> x = sqrt(1) ==> x = ±1

Obtenemos las cuatro soluciones reales: x = 2, x = -2, x = 1, x = -1.